phan tic binh luan cac bai toan bat dang thuc trong de thi toan thcs

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG

THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em tuyển tập phân tích và lời giải các bài toán bất đẳng thức trong các đề thi HSG lớp 9 và Chuyên toán trên cả nước Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về bất đẳng thức trong các kì thi gần đây.Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán các cấp, nội dung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thi với các bài toán ngày càng hay và khó hơn Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh của các cấp học trong các năm gần đây

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập Hy vọng tuyển tập các bài toán

về bất đẳng thức này sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán các cấp, nội dung về bất đẳng

thức và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đềthi với các bài toán ngày càng hay và khó hơn Trong chủ đề này, chúng tôi đãtuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏnhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh của các cấp họctrong các năm gần đây

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta có

Do bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều cần chứng minh

Trở lại bài toán Do a, b, c là các số nguyên dương nên biểu thức P được viết lại

Đặt

= b = c =a

, khi đó ta được x, y, z dương thỏa mãn xyz 1=

Ta viết lại biểu thức P và áp dụng một đánh giá quen thuộc thì được

Từ đó ta được

≥ 3

Q4, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 1= = =

Từ giả thiết của bài toán ta được a b c 3+ + =

Do vai trò của a, b, c như nhau nênkhông mất tính tổng quát ta giả sử 0 a b c< ≤ ≤

Đặt T 3a= 2+3b2+3c2+4abc

Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có a b c+ >

, do đó từ giả thiết của bàitoán ta được

, thay vào biểu thức P ta được

nên suy ra

− ≤ 1 2

3 t t4 hay t2+ −4t 12 0≥

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + =( )

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là

−3

62, đạt được tại

hay 4abc c 2ac 2bc+ ≥ +

.Kết hợp các kết quả trên ta được

≤ 5

P8, dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

= = =1

a b c

2

•

Lời giải 2 Từ giải thiết ta được 2abc 1 a= −( 2+b2+c2)

Do đó ta có 2P 2 ab bc ca= ( + + )−2abc 2 ab bc ca 1 a= ( + + )− + +2 b2+ = + +c2 (a b c)2−1

Để ý rằng từ giả thiết của bài toán ta được 1 a,b,c 1< ≤

nên ta có biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a bc b ca c ab a abc b abc c abc a b c 3abc

Hay ta được 2 a( 2+b2+ +c2 3abc)≥ + +(a b c)2⇔a2+b2+ +c2 6abc 2 ab bc ca≥ ( + + )

Chứng minh tương tự như trên ta được

≤1

abc8 Do đó ta được

2 ab bc ca abc

4

Do đó

≤ 5

P

8, dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

= = =1

a b c

2

Bài 5 Cho ba số thực dương thỏa mãn x y z 2 xyz+ + + =

Do đó bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

= = = 1

a b c

3 hay x y z 2= = =

Bài 6 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 1 0+ − + =

Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức

Bài 9 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

= = = 3

a b c

2018 2019

.Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 1009 2019, đạt được tại

Nhận xét Đây là một bài toán bất đẳng thức khó, lại không thể sử dụng các

bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá Để chứng minh được bất đẳng thức trên

ta phải thực hiện được các công việc như

+ Dự đoán điểm rơi để quy bài toán về chứng minh hai bất đẳng thức.

luôn tồn tại hai số cùng dấu Không mất tình

tổng quát ta giả sử hai số đó là a b−

và b c−

Khi đó áp dụng bất đẳng thức trên ta được

Thật vậy, ta có

+ + ≥ + = + − ≥

2 2

6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Hải Dương năm học 2016 –

Ta có 6a2+8ab 11b+ 2=(2a 3b+ )2+2 a b( − ) (2≥ 2a 3b+ )2

, dấu bằng xẩy ra khi a b=

.Suy ra 6a2+8ab 11b+ 2≥2a 3b+

2a 3b6a 8ab 11b

a 3ab b 3a 2b

56a 8ab 11b

Do đó ta được a b a c ab2 − 2 − 2+abc 0≥ ⇒ab2+ca2≤a b abc2 +

Do đó ab2+bc2+ca2+abc=(ab2+ca2)+bc2+abc≤(a b abc2 + )+bc2+abc b a c= ( + )2

Với các số dương x, y, z ta luôn có

( )

 + + + + 

 +  +   + + + =  ÷ ÷≤  ÷ =  ÷ =

    ÷÷  

3

3 2

a c a cb

và P đạt giá trị nhỏ nhất khi

= = =1

a b c

3

Bài 13 Với mọi số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2=2

a) Chứng minh rằng x y z 2 xy+ + ≤ +

Do đó giá trị lớn nhất của P là 1, dấu bằng xẩy ra tại x y 1;z 0= = =

và các hoán vị

và các hoán vị

•

Nhận xét Câu a của bài toán chính là gợi ý để tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P Ngoài ra ta có thể tìm giá trị lớn nhất của P độc lập với gợi ý ở câu a như sau

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được

2

2 2

P

t 10

t t 22t

2 2

12t 2 t 10 t 2 t 5 2 02

.

Bài 14 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

( )

+ ++ + + +

+ ++ +

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ a b c= =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

−4

3, đạt được tại a b c= =

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Bình Định năm học 2017 – 2018

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Phú Thọ năm học 2017 – 2018

( ) ( )

− ≤ − ⇔ − − ≤

−

2 2

Bài 17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1=

.Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức:

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 9 Tỉnh Nghệ An năm học 2017 – 2018

Khi đó ta được abc 1=

và bất đẳng thức trên được viết lại thành

Vậy giá trị lớn nhất của P là

13 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x y z 1= = =

Bài 18 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 3+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

cùng các hoán vị Như vậy ta có

Đến đây ta suy ra được

≤+

.Thật vậy, do y nằm giữa x và z nên ta có (y x y z− ) ( − ≤ ⇔) 0 y2+zx xy yz≤ +

cùng các hoán vị

Bài 19 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3+ + =

Chứng minhrằng:

Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì 3 ab bc ca= + + ≥ abc a( + b+ c)Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

= = = 1

a b c

2

2 2

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được

= = = 1

a b c

2

Bài 22 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

+ + 2

2

4a 3b 3c4a 3b 3c b c

25 5

25 a b c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 23 Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho a b c 6+ + =

Chứng minhrằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do b nằm giữa a và b

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh xong

Bài 24 Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với mọi a, b, c là các số thực không âm

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Thành Phố Hải Phòng năm học 2014

Hay 1 4ab a b≥ ( + +) 4bc b c( + +) 4ca c a( + +) 3abc

Để ý đến giả thiết ta viết lại được bất đẳng thức trên thành

(a b c+ + )3≥4ab a b( + )+4bc b c( + +) 4ca c a( + +) 3abc

Hay a3+b3+ +c3 3abc ab a b≥ ( + +) bc b c( + +) ca c a( + )

Biến đổi tương đương ta được abc≥ + −(a b c b c a c a b) ( + − ) ( + − )

Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đúng và dễ dàng chứng minh được.Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z= =

Bài 26 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 1+ + =

Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học

Suy ra

≤ 1

P

3 hay giá trị lớn nhất của P là

13 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

= = = 1

x y z

3

Bài 27 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1+ + =

Chứng minhrằng:

Hay a b c 9abc+ + ≥

Để ý đến giả thiết ab bc ca 1+ + =

, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Bài 28 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết của bài toán.

Áp dụng một đánh giá quen thuộc ta có x4+y4+z4≥3 x( 2+y2+z2)2

Hoàn toàn tương tự ta được

+ + 2

2

4a 3b 3c4a 3b 3c b c

25 5

25 a b c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 31 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+ +c2 ab 2c a b= ( + )

+ + ++ + +

2 2

2 2

x y z 1

x yz x 1

.Thật vậy do x 0≥

nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có

≤+ + ++ + +

2 2

x y z 1

x yz x 1

Từ đó ta được

2 2

Ta đi chứng minh bất đẳng thức xyz 2 x y z+ ≥ + +

Có hai cách để chứng minh bất đẳng thức xyz 2 x y z+ ≥ + +

như sau

Cách 1 Không mất tỉnh tổng quát ta giả sử z là số lớn nhất trong ba số x, y,

z Khi đó từ giả thiết của bài toán ta có

= 2+ 2+ 2≤ 2⇒ ≥ 2

3.Cũng từ giả thiết ta có x2+y2+z2= ⇔2 (x y+ )2+z2= +2 2xy

.Đặt a x y= +

, khi đó ta có 2xy a= 2+ −z2 2

Như vậy bất đẳng thức cần chứng minh trên trở thành

(x y z xyz+ + − )2≤ ⇒ + + −4 x y z xyz 2≤ ⇔ +2 xyz x y z≥ + +

Như vậy với xyz 2 x y z+ ≥ + +

.Vậy giá trị lớn nhất của M là 1, xẩy ra tại x 0;y z 1= = =

và các hoán vị

Bài 33 Cho a, b, c là các số thực không âm, trong đó không có hao số nào

đồng thời bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy phép chứng minh hoàn tất

Bài 35 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đến đây ta xét các trường hợp sau.

•

Trường hợp 2 Nếu y 1≤

thì ta có

Điều này có nghĩa là bất đẳng thức cần chứng minh đúng.

Vậy bài toán được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1= =

Bài 37 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn (a b b c c a+ ) ( + ) ( + =) 10

Chứng minh rằng:

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

 =

+ + + =

+ + ≤+ + + + + +

b c 2a c a 2b a b 2c 4

Bất đẳng thức trên tương đương với

+ + + + + ≥+ + + + + +

b c 2a c a 2b a b 2c 2

.Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường ĐHKHTN Hà Nội năm học

= = = 1

x y z

3

Bài 40 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện xyz 1=

Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức

Trường hợp 2 Nếu trong ba số x, y, a có một số âm, hai số dương Không

mất tổng quát ta giả sử x và y âm và a dương Đặt x1= − >x 0

Áp dụng bất đẳngthức Cauchy – Schwarz ta được

Bài 41 Cho ba số thực dương thay đổi a,b,c thỏa mãn

Trích đề thi chọn HSG môn Toán THPT tỉnh Nghệ An năm học 2015 –

Bài 42 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

+ + = 3 3

a b c

2 Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức:

= = = 3

a b c

2

Như vậy phép chứng minh sẽ kết thúc khi ta chỉ ra được

+ + + −

≥+ + +

4 a b c 4 a c 6 a b c 2 a b c

2 a b c 2 a c 3 a b c a b c

b ab bc ca 0 a b b c 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do a b c≥ ≥

Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn

Bài 43 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1=

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

, khi đó ta được abc 1=

Biểu thức P được viết lại thành

b c c a a b 2Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta được

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bài toán được chứng minh xong.

Bài 45 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a b c 1+ + =

Chứng minh rằng:

+ + ≤ + + ++ + +

9

a b b c c a a b c

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Thành Phố Hà Nội năm học 2015 –

Do đó bất đẳng thức trên đúng Vậy bài toán được chứng minh xong

Bài 46 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

+ + = + +a b c

a b c

b c a

Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức:

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Trường Đại học Vinh năm học 2015

– 2016

(a2+b2) (b2+c2) (+ b2+c2) (c2+a2) (+ c2+a2) (c2+a2) ≥a2+b2+ +c2 ab bc ca+ +

Mà từ giả thiết ta được ab bc ca 3+ + ≥

Do vậy ta được

(a2+b2) (b2+c2) (+ b2+c2) (c2+a2) (+ c2+a2) (c2+a2) ≥a2+b2+ +c2 3

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 3 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1= = =

Vậy bài toán được chứng minh xong

Bài 48 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 1+ + =

Chứng minh rằng:

Trích đề thi chọn HS dự thi HSGQG Tỉnh Kiên Giang năm học 2015 –

+ + − + + ≤ − 1 =2 3

33Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

= = = 1

x y z

3

Bài 49 Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn

 

1;9

và x y;x z≥ ≥

Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức:

Trích đề thi chọn HSG môn Toán 12 Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2016 –

2017

Lời giải

Trước hết ta chứng minh bài toán phụ: Với a, b dương thỏa mãn ab 1≥

ta có bấtđẳng thức

+ ≥+ + +

1 a 1 b 1 ab

.Thật vậy, do a, b là các số thực dương nên biến đổi tương đương bất đẳng thứctrên ta được

Do vậy ta có

+ ≥+

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

12 khi và chỉ khi x 4y 2z= =

Bài 50 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn y z x y+ = ( 2+z2)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+ + ++ 2 + 2 + 2

( ) ( ) ( )

+ + + ≥ ⇔ + + + ≥ ++

1 x216x 648x 108x 108 91x 273x 273x 91125x 375x 165x 17 0 5x 1 5x 17 0

Dễ thấy rằng bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi x 0>

≥ 91

P108

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

91108 đạt được khi

=1 = =

x ;y z 55

Mặt khác với x, y là các số dương thì ta luôn có

x y z

Khi đó do x, y, z dương nên ta suy ra được 0 t 1< <

Do vậy ta được

≥16

M25 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

Điều này dẫn đến c2−3a2≤2 a( 2+b2+ −c2 ab bc ca− − )

, do đó 3t2−2t3≤1

hay P 1≤

.Vậy giá trị lớn nhất của P là 1

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1;b 2;c 3= = =

hoặc a= −1;b= −2;c= −3

Bài 53 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab bc ca 2abc 1+ + + =

Chứng minh rằng:

Khi đó từ bất đẳng thức trên ta được

Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được

•

Lời giải 2 Ta có với x, y, z là các số thực dương thì ta có

ta luôn tìm được x, y, z dương để

x y z xy yz zx 9

16

2 x y y z z x

.Bất đẳng thức trên tương đương với 9 x y y z z x( + ) ( + ) ( + ≥) (8 x y z xy yz zx+ + ) ( + + )

.Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số dương ta có

Bài 54 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2x y+

và 2y x+

khác 2 Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức:

9 a b 6 a b 2ab 1 2ab 1 0 3 a b 2ab 1 0

Do bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều cần chứng minh

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −1

, dấu bằng xẩy ra chẳng hạn tại

+

= =9 65

x y

4

Bài 55 Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn

Trước hết ta phát biểu và chứng minh bất đẳng thức phụ: Với x, y, z là các số

thực dương Khi đó ta luôn có 9 x y y z z x( + ) ( + ) ( + ≥) (8 x y z xy yz zx+ + ) ( + + )

2 x y y z z x

Từ giả thiết xyz 1=

ta suy ra được xy yz zx 3+ + ≥

Do vậy áp dụng bất đẳng thứcphụ trên ta được

9 x y y z z x 8 x y z xy yz zx 3.8 x y z

Từ đó suy ra 8 x y z( + + ≤) (3 x y y z z x+ ) ( + ) ( + )

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Do vậy ta được

+ ++ + ≤

x y y z z x

3 Theo một đánh giá quen thuộc thì ta có

x y zy

Phép chứng minh kết thúc Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

= = = 1

x y z

3

•

Lời giải 2 Hoàn toàn tương tự ta có

+ ++ + ≤

x y y z z x

3