DS c3 UNG DUNG TICH PHAN

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=tanx , trục hoành và hai đường thẳng Câu 14... Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường π + π Câu 43..

CHỦ ĐỀ 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn

[ ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a; = , x b= được xác định: ( )

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y= ( ), x h y= ( ) và hai

y f x

y 0 H

( )

b a

2 ( )C

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( )

V = π∫ f x dx

a

= ( )

y f x y

c y

O

d

x

( ): ( ) ( ):

V = π∫ g y dy

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Những điểm cần lưu ý:

Trường hợp 1 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường y=f x y g x x a x b( ), = ( ), = , = là ( ) ( )

Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường y=f x y g x( ), = ( ) là S f x( ) g x dx( )

b a

=ò - Trong đó , a b là

nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình ( )f x =g x( ) (a£ < £a b b) .

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình ( ) f x =g x( ) tìm các giá trị ,a b

Bước 2 Tính S f x( ) g x dx( )

b a

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ) , liên tục trên

[ ; ]a b trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < cho bởi công thức:)

Câu 5. Cho hàm số y=f x( ) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ; ]a b Diện

tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị củay=f x( ), trục hoành và hai

đường thẳng x a= , x b= được tính theo công thức

Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f x( ) liên tục

trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b= được tính theocông thức

Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f x( ), y g x= ( )

liên tục trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b= được tínhtheo công thức

Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=sinx , trục

hoành và hai đường thẳng x p= , 3

2

x= p

là

A 1 B 1

2

Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=tanx , trục

hoành và hai đường thẳng

Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y e= 2 x, trục hoành

+

=+ , trụchoành và đường thẳng x=2là

Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=cos 2x , trục

hoành và hai đường thẳng 0,

2

= = là

Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= -4 3x2- , trục4

hoành và hai đường thẳng x= , 0 x= là 3

+

=+ , trụchoành và đường thẳng x= là 2

Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=cos 2x , trục

hoành và hai đường thẳng 0,

e

-C 22

e

-D 12

Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :P y x= + , tiếp tuyến của (P) tại2 3

điểm có hoành độ x= và trục tung bằng 2

A 1 e- 5 B 1 e+5 C 1 2e+ 5 D 1 2e- 5

II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

π + π

Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x Ox x( ), , , = a x = b quay

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x−1 ; trục Ox và đường

thẳng x=3 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành

Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 =x x a x b, = , = (0< <a b) quay

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= − +x2 2x, y 0= quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y= 1 x , y 0− = quay xung quanhtrục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt

phẳng x=0;x=π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tạiđiểm ( ;0;0)x bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là:

Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1= + x , Ox, x = 0, x = 4 quay

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

πVẬN DỤNG

Câu 52 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình

tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2

x +y =16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vậtbởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông.Thể tích của vật thể là:

Câu 53. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y2 =4x và đường thẳng x=4

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ln ,x y=0, x=2 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y a.x , y bx (a,b 0)= = ≠ quay xungquanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

3

1 1

3 5

b V

3 5

b V a

Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 2

Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=3 ,x y=x x, =0, x=1 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 58. Gọi ( )H là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong ( )C : y f x1 = ( ) ,

( )C : y g x2 = ( ), hai đường thẳng x a= , x b= , a b< Giả sử rằng ( )C và 1 ( )C2

không có điểm chung trên [ ]a, b và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khiquay ( )H quanh Ox là b( ( ) ( ) )

Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ln ,x y=0, x e= quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= −3 6x2+9 ,x y=0 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình

tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2

x +y =16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật

bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều.Thể tích của vật thể là:

.3

Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2 ,x y2 2 =4x quay xung quanh

trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 88

5

.70

.3

.5

y= -x x là:

Câu 68. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong:

Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y x= 2−2x+2 tiếp tuyến với

Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0 Tính

diện tích của miền D

p

C 1715

p

D 4815

p

Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

đường y x= 2;8x=y2 quay quanh trục Oy là:

A 21

15

p

B 2315

p

C 2415

p

D 48

5

p

Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng

giới hạn bởi trục Ox và Parabol ( ) y ax x (C = − 2 a>0)là:

Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S

giới hạn bởi các đường: y x e x= ,x =1,y=0(0≤ ≤x 1)là:

-C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

( )

y g x= liên tục trên [ ; ]a b và hai đường thẳng x a = , x b= (a b< là:)

A S =pòa b f x( )- g x dx( ) B S=òa b( ( )f x - g x dx( ))

C S =òa b( ( )f x - g x( )) 2 dx D S =òa b f x( )- g x dx( )

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ) , liên tục trên

[ ; ]a b trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < cho bởi công thức:)

0 h(x) x

Câu 5. Cho hàm số y=f x( ) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ; ]a b Diện

tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị củay=f x( ), trục hoành và hai

đường thẳng x a = , x b= được tính theo công thức

b

a

S =òf x dx

Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f x( ) liên tục

trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b= được tính theocông thức

b

a

S =ò f x dx

Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f x( ), y g x= ( )

liên tục trên đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b= được tínhtheo công thức

Hướng dẫn giải

Ta có x3³ trên đoạn [1;3] nên 0

3 4

204

Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=sinx , trục

hoành và hai đường thẳng x p= , 3

Ta có sinx£0 trên đoạn ;3

2

p p

Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=tanx , trục

hoành và hai đường thẳng

6tan tan ln(cos ) ln

3

p p

Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= -3 3x2 , trục

hoành và hai đường thẳng x= , 1 x= là 4

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= -4 3x2- , trục4

hoành và hai đường thẳng x= , 0 x= là 3

Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 1

2

x y x

+

=+ , trụchoành và đường thẳng x= là 2

Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=cos 2x , trục

hoành và hai đường thẳng 0,

4 4

+

=+ , trụchoành và đường thẳng x=2 là

A 3 2 ln 2+ B 3 ln 2- C 3 2 ln 2- D 3 ln 2+

Hướng dẫn giải

Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=cos 2x , trục

hoành và hai đường thẳng 0,

= Û

ê =ëNên

= + = - + + Û =

ê

ê =ëNên

14

14

4

Câu 29 Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x= + -2 x 2, y x= +2

và hai đường thẳng x=-2;x= Diện tích của (H) bằng3

e

-D 12

Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x2-1 , y= + x 5

x 0 1

3

x - - 0 +Vậy 1( 2 ) 3( 2 )

Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) :P y x= + , tiếp tuyến của (P) tại2 3

điểm có hoành độ x= và trục tung bằng 2

ê =

ë

2 3

Biến đổi về hàm số theo biến số y là x=-y2+2 ,y x=-y

Xét pt tung độ giao điểm (- y2+2 )y - -( )y = có nghiệm 0 y=0, y=3

Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

10( 2 )

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 41. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

4.( ) 12

2 0

Câu 43. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x Ox x( ), , , = a x = b quay

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x−1 ; trục Ox và đường

thẳng x=3 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành

bằng:

A 3

Giao điểm của hai đường y= x−1và y= 0 là A(1;0) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

3

1

V=π∫(x 1)dx 2 − = π

Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= 3+1, y 0, x 0, x 1= = = quay

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 46. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 =x x a x b, = , = (0< <a b) quay

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 47. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= − +x2 2x, y 0= quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y= 1 x , y 0− = quay xung quanhtrục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

4

3

ππ

−

Câu 49. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt

phẳng x=0;x=π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tạiđiểm ( ;0;0)x bất kỳ là đường tròn bán kính sin x là:

A V =2. B V =π. C V =4 π D V =2 π

Hướng dẫn giải

Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường x=0;x=π; y= s ni x Ox; quay trục Ox

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1= + x, Ox, x = 0, x = 4 quay

xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 52 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình

tròn giới hạn bởi đường tròn x2+y2 =16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vậtbởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông.Thể tích của vật thể là:

A 32π B 64π C 16π D 4π

Hướng dẫn giải

Giao điểm của hai đường y2= 4xvà x=4 là D(4; 4)− và E(4;4) Phần phía trên

Ox của đường y2= 4xcó phương trình y=2 x Từ hình vẽ suy ra thể tích của

Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ln ,x y=0, x=2 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 55. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

y a.x , y bx (a,b 0)= = ≠ quay xungquanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

3

1 1

3 5

b V

3 5

b V a

Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=3 ,x y=x x, =0, x=1 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 58. Gọi ( )H là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong ( )C : y f x1 = ( ) ,

( )C : y g x2 = ( ), hai đường thẳng x a= , x b= , a b< Giả sử rằng ( )C và 1 ( )C2

không có điểm chung trên [ ]a, b và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khiquay ( )H quanh Ox là b( ( ) ( ) )

a

V= π∫ f x  −g x  dx Khi đó( )1 : f x( ) >g x , x( ) ∀ ∈[ ]a, b

Câu 59. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= ln ,x y=0, x e= quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

3

4e 1.9

+

3

4e 1.9

−

3

2e 1.9

+

3

2e 1.9

−π

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của đường x e= với y x= lnx là điểm C(3;3) Tọa độ giao điểm của đường y x= lnx với y=0 là A(1;0) Vậy thể tích của khối tròn xoaycần tính là:

3 2

Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= −3 6x2+9 ,x y=0 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 61. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình

tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2

x +y =16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vậtbởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều.Thể tích của vật thể là:

A 256 3

.3

Giao điểm của thiết diện và Ox là H Đặt OH =x suy ra cạnh của thiết diện

là 2 16 x− 2 Diện tích thiết diện tại H là 3 2

Câu 62. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2 ,x y2 2 =4x quay xung quanh

trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 69. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: y x= 2−2x+2 tiếp tuyến với

Câu 71. Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0 Tính

diện tích của miền D

quay quanh Ox.

A 14

15

p

B 1615

p

C 1715

p

D 4815

p

Câu 74. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

đường y x= 2;8x=y2 quay quanh trục Oy là:

15

p

B 2315

p

C 2415

p

D 48

5

p

Câu 75. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng

giới hạn bởi trục Ox và Parabol ( ) y ax x (C = − 2 a>0)là:

Câu 76. Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S

giới hạn bởi các đường: y x e x= ,x =1,y=0(0≤ ≤x 1)là: