Phương pháp hàm và ứng dụng

Líi mð ¦uPh÷ìng ph¡p h m âng mët vai trá quan trång trong gi£it½ch to¡n håc v th÷íng ÷ñc khai th¡c trong c¡c k¼ thi Olympicquèc gia, quèc t¸, ký thi Olympic sinh vi¶n... Cüc ¤i àa ph÷ìng

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

L– H×ÌNG THƒO

PH×ÌNG PHP H€M V€ ÙNG DÖNG

LUŠN V‹N TH„C Sß KHOA HÅC

H€ NËI - N‹M 2015

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

H€ NËI - N‹M 2015

Möc löc

1.1 C¡c ành lþ cì b£n v· h m kh£ vi 6

1.1.1 ành ngh¾a iºm cüc trà 6

1.1.2 ành lþ Fermat 6

1.1.3 ành lþ Rolle 6

1.1.4 ành lþ Lagrange 7

1.1.5 ành lþ Cauchy 8

1.2 Cæng thùc Taylor 8

1.2.1 Cæng thùc Taylor vîi sè d÷ d¤ng Lagrange 8

1.2.2 Cæng thùc Taylor vîi sè d÷ d¤ng Peano 9

1.3 G½a trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t 11

1.3.1 ành ngh¾a 11

1.3.2 Ph÷ìng ph¡p t¼m GTLN, GTNN 13

2 Ùng döng ph÷ìng ph¡p h m 14 2.1 Ph÷ìng ph¡p h m trong gi£i ph÷ìng tr¼nh 14

2.1.1 Ùng döng cæng thùc Taylor 14

2.1.2 Ùng döng c¡c ành lþ cì b£n v· h m kh£ vi 30

2.2 Ph÷ìng ph¡p h m trong gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh 51

2.2.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p 51

2.2.2 p döng 52

2.3 Ph÷ìng ph¡p h m trong chùng minh b§t ¯ng thùc 57

2.3.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p 57

2.3.2 p döng 57

3 Gi£i v  bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh chùa tham sè 63 3.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p 63

3.2 p döng 64

Líi mð ¦u

Ph÷ìng ph¡p h m âng mët vai trá quan trång trong gi£it½ch to¡n håc v  th÷íng ÷ñc khai th¡c trong c¡c k¼ thi Olympicquèc gia, quèc t¸, ký thi Olympic sinh vi¶n ¥y l  mët cæng cör§t hi»u lüc trong vi»c gi£i c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n sü tçn t¤inghi»m v  c¡c t½nh ch§t nghi»m cõa c¡c d¤ng ph÷ìng tr¼nh, h»ph÷ìng tr¼nh , b§t ph÷ìng tr¼nh kh¡c nhau

Vîi suy ngh¾ â,chóng tæi ¢ chån · t i: "Ph÷ìng ph¡p h m

v  ùng döng" º l m luªn v«n cõa m¼nh Luªn v«n n y tr¼nh

b y t÷ìng èi ¦y õ c¡c t½nh ch§t h m kh£ vi v  ùng döngcõa chóng v o vi»c kh£o s¡t t½nh ch§t nghi»m ph÷ìng tr¼nh, h»ph÷ìng tr¼nh ,b§t ph÷ìng tr¼nh

B£n luªn v«n gçm ba ch÷ìng, líi mð ¦u, k¸t luªn, t i li»utham kh£o v  möc löc:

Ch÷ìng 1 : Ki¸n thùc chu©n bà: Ch÷ìng n y tr¼nh b y ki¸nthùc c¦n thi¸t cho ch÷ìng sau nh÷ : t½nh ch§t cì b£n v· h mkh£ vi cõa h m mët bi¸n m  trång t¥m l  c¡c ành lþ cì b£n v·

h m kh£ vi v  cæng thùc Taylor

Ch÷ìng 2 : Nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i to¡n câ ùng döng k¸tqu£ trong ch÷ìng I ta gåi l  ph÷ìng ph¡p h m Möc ½ch ch½nhcõa ch÷ìng n y l  : Ùng döng ph÷ìng ph¡p h m º gi£i ph÷ìng

tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, b§t ¯ng thùc Trong ch÷ìng n y s³ ¡pdöng khai triºn Taylor º gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc ba, bªc bèn,

sû döng t½nh ìn i»u, ành lþ Largange, ành lþ Cauchy º gi£iph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, b§t ¯ng thùc.Ch÷ìng 3 : Gi£i v  bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nhchùa tham sè: Ch÷ìng n y tr¼nh b y c¡c ùng döng, c¡c ph÷ìngph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh nh÷ ð ch÷ìng II cëngth¶m mët v i ph÷ìng ph¡p mîi º gi£i v  bi»n luªn ph÷ìngtr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa tham sè

º ho n th nh luªn v«n n y em xin ch¥n th nh c£m ìn tîing÷íi th¦y k½nh m¸n PGS.TS Nguy¹n ¼nh Sang ¢ d nh nhi·uthíi gian h÷îng d¨n, ch¿ d¤y trong suèt thíi gian x¥y düng ·

t i cho ¸n khi ho n th nh luªn v«n Em xin ch¥n th nh c£m ìntîi c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Cì - Tin håc, Ban Gi¡m Hi»u,Pháng Sau ¤i håc tr÷íng HKHTN ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñitrong thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng do thíi gian v  n«ng lüccán h¤n ch¸ n¶n b£n luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât,r§t mong th¦y cæ v  c¡c b¤n gâp þ x¥y düng Em xin ch¥n th nhc£m ìn!

H  Nëi, ng y 25 th¡ng 9 n«m 2015

Håc vi¶nL¶ H÷ìng Th£o

Cüc ¤i àa ph÷ìng ho°c cüc tiºu àa ph÷ìng gåi chung l  cüc trà cõa

h m f iºm (x0, y(x0)) l  iºm cüc trà

Khi â tçn t¤i ½t nh§t mët iºm c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0.

1.1.4 ành lþ Lagrange

Gi£ sû h m f:[a, b] → R câ c¡c t½nh ch§t:

(1) f li¶n töc tr¶n [a, b]

(2) f kh£ vi trong kho£ng (a, b)

Khi â tçn t¤i ½t nh§t mët iºm c ∈ (a, b) sao cho :

f (b) − f (a) = f0(c)(b − a) (1)Nhªn x²t: ành lþ Rolle l  tr÷íng hñp °c bi»t cõa ành lþ Lagrange

H» qu£

Gi£ sû f : [a, b] → R li¶n töc tr¶n [a,b] v  kh£ vi trong kho£ng [a,b].Khi â:

(a) N¸u f0(x) = 0 vîi ∀x ∈ (a, b) th¼ f l  h m h¬ng tr¶n [a,b]

(b) N¸u f0(x) ≥ 0(f0(x) ≤ 0) v  f0(x) = 0 t¤i húu h¤n iºm tr¶n (a,b)th¼ f t«ng (gi£m) thüc sü tr¶n [a,b]

Chùng minh:

a) Gi£ sû a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b Theo ành lþ Lagrange tçn t¤i c ∈ (a, b)

sao cho:

f (x2) − f (x1) = f0(c)(x2 − x1) (2)

V¼ f0(c) = 0, tø â suy ra f (x2) = f (x1) Vªy f l  h¬ng sè

b) N¸u f0(x) ≥0 vîi måi x ∈ (a, b), th¼ tø (2) do f0(c) ≥0

N¶n f (x2) − f (x1) ≥ 0

Vªy f l  h m t«ng

g0(c) =

f (b) − f (a)g(b)g(a) (4)

Nhªn x²t: ành lþ Lagrange l  tr÷íng hñp ri¶ng cõa ành lþ Cauchyvîi h m g(x) = x

1.2 Cæng thùc Taylor

1.2.1 Cæng thùc Taylor vîi sè d÷ d¤ng Lagrange

Gi£ sû f : [a, b] → R câ ¤o h m ¸n c§p (n+1) trong kho£ng (a,b),

x0 ∈ (a, b) Khi â, vîi ∀x ∈ (a, b), ta câ:

k + f

(n+1)(c)(n + 1)! (x − x0)

n+1 (1.4)

trong â c n¬m giúa x v  x0

Nhªn x²t: V¼ c n¬m giúa x v  x0 n¶n (1.4) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng sau:

k+ f

(n+1)(x0 + θ(x − x0))

(n + 1)! (x − x0)

n+1 (1.5)

Trong â 0 < θ < 1 ¤i l÷ñng:

rnx = f

(n+1)(x0 + θ(x − x0))

(n + 1)! (x − x0)

n+1

÷ñc gåi l  sè d÷ thù n cõa cæng thùc Taylor d÷îi d¤ng Lagrange

1.2.2 Cæng thùc Taylor vîi sè d÷ d¤ng Peano

Gi£ sû f :(a, b) → R kh£ vi ¸n c§p n trong mët l¥n cªn n o â cõa

x0 ∈ (a, b) v  f(n)(x) li¶n töc t¤i x0 Khi â vîi x ð trong l¥n cªn nâi tr¶ncõa x0 ta câ :

f (x) = f (x0) + f

0(x0)1! (x − x0) + +

f(n)(x0)n! (x − x0)

¤i l÷ñng rn(x) = o((x − x0)n) ÷ñc gåi l  sè d÷ d¤ng Peano

Nhªn x²t : Khai triºn Taylor cõa h m f(x) trong l¥n cªn cõa iºm

x0 = 0 cán ÷ìc gåi l  khai triºn Mac-Laurin

Sau ¥y l  mët sè khai triºn Mac-Laurin cõa mët sè h m sì c§p cì b£n

1) H m f (x) = ex H m n y kh£ vi væ h¤n v  f(n)(x) = ex vîi måi

n ∈ N Taà x0 = 0 ta câ fn(0) = 1 vîi måi n Do â :

ex = 1 + x

1! +

x22! + +

xnn! + o(x

n)

2) H mf (x) = sin x kh£ vi måi c§p v  f(n)(x) = sin(x + nπ

7

7! + + (−1)

n−1 x2n−1(2n − 1)! + o(x

2n)

3) H m f (x) = cos x kh£ vi måi c§p v  f(n)(x) = cos(x + nπ

2).T¤i x0 = 0 ta câ f(2n)(0) = (−1)n, f(2n+1)(0) = 0 Do â:

cos x = x − x

2

2! +

x44! − x

6

6! + + (−1)

n x2n(2n)! + o(x

p”n(a)2! (x − a)

2

+ + p

(n)

n (a)n! (x − a)

n

[a,b] f (x) = min{f (a), f (b)}

3) iºm døng: C¡c iºm thuëc tªp x¡c ành cõa h m f(x) m  t¤i â

¤o h m cõa nâ b¬ng 0 ho°c khæng tçn t¤i ÷ñc gåi l  iºm døng (iºmtîi h¤n) cõa h m sè ¢ cho

4) Gi£ sû f(x) l  h m sè li¶n töc tr¶n [a,b]⊂ R v  ch¿ câ mët sè húuh¤n i¶m tîi h¤n x1, x2, , xn Khi â:

[a,b] f (x) = min{f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)}

• Ph÷ìng ph¡p tr¶n l  ph÷ìng ph¡p thæng döng nh§t trong to¡n phêthæng, ngo i ra cán mët sè ph÷ìng ph¡p nh÷: ph÷ìng ph¡p mi·n gi¡trà, b§t ¯ng thùc, l÷ñng gi¡c hâa, h¼nh håc, vecto Ta s³ g°p nhúngph÷ìng ph¡p n y ð mët sè b o to¡n cö thº trong ch÷ìng sau

H m sè y = f (x) l  h m kh£ vi trong R, vîi α ∈ R b§t ký th¼ khai

triºn Taylor cõa f(x) l  :

n−1

+(x−α)n(2.2)

Tòy tøng b i to¡n cö thº ta câ thº chon α th½ch hñp º ÷a ph÷ìng

tr¼nhf (x) = 0vîi h» sè khuy¸t.D÷îi ¥y l  ùng döng cõa khai triºn Taylor

trong gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc ba, bªc bèn

Ta c¦n t¼m u, v sao cho :3uv + p = 0 ⇒ u3v3 = −p3

Nh÷ vªy u3, v3 l  hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh :

Tø â, ta câ ba nghi»m thüc cõa ph÷ìng tr¼nh (2.3):

X²t ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm chung cõa (C) vîi tröc Ox:

f (x) = f0(α)(x − α) + (x − α)3 = 0 ⇐ x = α ho°c x − α = ±p−f0(α)

Tø â, ta câ ho nh ë c¡c giao iºm cõa (C) vîi Ox l  :

x2 = α; x1 = α −p−f0(α); x3 = α +p−f0(α)

Ta th§y x1, x2, x3 lªp th nh c§p sè cëng vîi cæng sai d = −f0(α).

i·u ki»n c¦n:

Gi£ sû ç thà h m bªc ba c­t tröc Ox t¤i ba iºm câ ho nh ë lªp

th nh c§p sè cëng d¤ng : x0 − d, x0, x0 + d

Khi â theo ành lþ Vi-et èi vîi ph÷ìng tr¼nh bªc ba:

a0+a1x++a2x2+x3 = 0ta câ:(x0−d)+x0+(x0+d) = −a2 ⇐ x0 = −a2

3

Do x0 l  nghi»m cõa f(x) n¶n f (x0) = 0 hay f (−a2

3 ) = 0 Vªy suy rachån α = −a2

3 th¼ f (α) = 0, hay tçn t¤i α thäa m¢n (i)

Ta s³ chùng minh thäa m¢n (ii) v  (iii)

Ta câ f ”(x) = 2a2 + 6x n¶n f ”(α) = 2a2 − 2a2 = 0

Vªy (ii) ÷ñc thäa m¢n

M°t kh¡c tø ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa (C) vîi tröc ho nh

Sau ¥y l  c¡c v½ dö ¡p döng ph÷ìng ph¡p tr¶n :

V½ dö 1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau:

x3 − 3√2x2 + 2x − 6√

2 = 0 (1)Líi gi£i:

X²t h m sè f(x)=x3 − 3√2x2 + 2x − 6√

2 = 0

Ta câ f0(x) = 3x2 − 6√2x + 2 v  f"(x)=6x − 6√

2.Gåi α ∈ R sao cho: f ”(α) = 0 ⇔ 6α − 6√

√2

r

23

Khi â (1) vi¸t d÷îi d¤ng t½ch :

(1) ⇔ (x − 3√

2)(x2 + 2) = 0 ⇔ x1 = 3√

2; x2,3 = ±√

2i.Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ ba nghi»m :x1 = 3√

Vîi α ∈ R sao cho f ”(α) = 0 ⇔ 6α + 6 = 0 ⇔ α = −1.

3+(x−α)4 (2.13)

N¸u t¼m ÷ñc α º f (α) = 0 th¼ (2.12) trð th nh ph÷ìng tr¼nh bªc ba.N¸u t¼m ÷ñcα ºf0(α) = 0v f(3)(α) = 0th¼ (2.12) trð th nh ph÷ìngtr¼nh tròng ph÷ìng

N¸u t¼m ÷ñc α sao cho f(3)(α) = 0 ⇔ α = −a3

4 Khi â, (2.12) câd¤ng:

Tø i·u tr¶n ta t¼m ÷ñc bèn nghi»m t1,2,3,4 v  do â ph÷ìng tr¼nh (2.12)

Ta câ f(3)(x) = 24x + 24 v  f(3)(1) = 0.

p döng cæng thùc Taylor :f (x) =⇔ (x+1)4−3(x+1)2−10(x+1)−4

°t t = x + 1 Ph÷ìng tr¼nh (1) câ d¤ng:

t4 = 3t2 + 10t + 4 ⇔ t4 + 2βt2 + β2 = (3 + 2β)t2 + 10t + β2 + 4 ⇔(t2 + β)2 = (3 + 2β)t2 + 10t + β2 + 4 (3)

t3,4 = −√5 ± ip4√

5 − 12

Vªy ph÷ìng tr¼nh (1) câ bèn nghi¶m:

Ta công câ thº gi£i ph÷ìng tr¼nh t4 − 3t2 − 10t − 4 = 0 b¬ng c¡chkh¡c.

2 v o (**) ta t¼m ÷ñc t = ±√

6 ho°c t = ±√

3

Tùc x = −2 ±√

6 ho°c x = −2 ±√

3.Tr÷íng hñp β = ±3√

Vªy m = 4 thäa m¢n i·u ki»n · b i

B i tªp tham kh£o

B i tªp 1 Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau :

¡p sè x = {2 ±

√2

1) Ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0 câ nhi·u nh§t l  mët nghi»m tr¶n [a,b].

2) Ph÷ìng tr¼nh f (x) = f (y) t÷ìng ÷ìng vîi ph÷ìng tr¼nh x = y n¸u x,

y ·u thuëc [a,b]

Chùng minh:

Gi£ sû f(x) çng bi¸n (tr÷íng hñp nghàch bi¸n t÷ìng tü)

1) Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0 câ nghi»m x = a, tùc f (a) = 0 Dof(x) çng bi¸n n¶n :

• x > a tùc f (x) > f (a) = 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0 væ nghi»m

• x < a tùc f (x) < f (a) = 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0 væ nghi»m.Vªy ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0 câ nhi·u nh§t l  mët nghi»m

2) Do f(x) çng bi¸n n¶n n¸u :

• x > y th¼ f (x) > f (y) tr¡i vîi gi£ thi¸t

• x < y th¼ f (x) < f (y) tr¡i vîi gi£ thi¸t

Vªy x = y

ành lþ 2.1.2.2

Gi£ thi¸t f(x) l  h m li¶n töc v  ìn i»u t«ng tr¶n [a,b], g(x) l  h m

li¶n töc ìn i»u gi£m tr¶n [a,b] Khi â ph÷ìng tr¼nh f (x) = g(x) cânhi·u nh§t mët nghi»m tr¶n [a,b].

Chùng minh:

Gi£ sû x = a l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh f (x) = g(x),

tùc f (a) = g(a) Do f(x) çng bi¸n, g(x) nghàch bi¸n n¶n n¸u :

• x > a th¼ f (x) > f (a) = g(a) < g(x) n¶n f (x) = g(x) væ nghi»m

• x < a th¼ f (x) < f (a) = g(a) > g(x) n¶n f (x) = g(x) væ nghi»m.Vªy ph÷ìng tr¼nh f (x) = g(x) câ nhi·u nh§t mët nghi»m

2px +√

7x + 2 > 0 ∀x ∈ D

Do â f(x) çng bi¸n tr¶n D M°t kh¡c x = 1 l  nghi»m

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t x = 1

2 V½ dö 3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau:

Vªy x = 25 l  nghi»m duy nh§t.

V½ dö 4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh (K¼ thi Quèc Gia 2015)

èi chi¸u i·u ki»n, nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l  x = 2, x = 3 +

√13

2 V½ dö 5 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:

°t g(x) = 2x + 1 Hai h m tr¶n l  h m li¶n töc v  çng bi¸n tr¶n R.Khi â : (I) t÷ìng ÷ìng vîi:

N¸u câ nghà¶m (x0, y0, z0) Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sûx0 < y0 <

z0 Khi â f (x0) < f (z0) çng ngh¾a vîi g(y0) < g(z0) i·u n y l  væ lþv¼ g(x) l  h m çng bi¸n

y = 15

Vªy h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m :(4

5,

1

5)

B i tªp tham kh£o

B i tªp 1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau:

2 + 3x + 2

¡p sè x = −1 x = −2 (°t u = x2 + x + 3, v = 2x2 + 4x + 5, f (t) =log3t + t)

B i tªp 3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau:

2

√ 3−x = −x2 + 8x − 14

¡p sè x = 3

B i tªp 4 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:

z + 4)log5z = log3(√

Nhªn x²t: Mët sè k¸t qu£ quan trång d÷îi ¥y l  h» qu£ trüc ti¸p cõa

ành lþ Rolle v  l  cì sð cõa ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh

H» qu£ 2.1.2.1 N¸u x1, x2 l  hai nghi»m li¶n ti¸p cõa ph÷ìng tr¼nh

f (x) = 0 vîi x1 ≤ x2, x1, x2 ∈ (a, b) th¼ ph÷ìng tr¼nh f'(x)=0 câ ½t nh§tmët nghi»m x* ∈ (x1, x2) ⊂ (a, b)

H» qu£ 2.1.2.2 Gi£ sû f(x) l  h m kh£ vi c§p k, k 6= 0, k ∈ N N¸uph÷ìng tr¼nh f (x) = 0 câ nghi»m ph¥n bi»t th¼ ph÷ìng tr¼nh f0(x) = 0

câ ½t nh§t n-1 nghi»m ph¥n bi»t Ph÷ìng tr¼nh f(k)(x) = 0 câ ½t nh§t n-knghi»m ph¥n bi»t (k = 1, 2, )

Chùng minh : Suy ra trüc ti¸p tø ành lþ Rolle

H» qu£ 2.1.2.3 N¸u f0(x) > 0(< 0) vîi måi x thuëc (a,b), ph÷ìngtr¼nh f (x) = 0 câ nghi»m x0 th¼ x0 l  nghi»m duy nh§t.

Chùng minh :

Gi£ sû ng÷ñc l¤i cánx1 6= x0 công l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nhf (x) = 0.Khi â, theo ành lþ Rolle, tçn t¤i c∈ (x0, x1)(khæng m§t t½nh têng qu¡tgi£ sû x0 < x1) sao cho f0(c) = 0 i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

f0(x) > 0 vîi måi x∈ (a, b) Vªy x0 l  nghi»m duy nh§t

H» qu£ 2.1.2.4 N¸u ph÷ìng tr¼nh f0(x) = 0 câ nghi»m duy nh§t th¼ph÷ìng tr¼nh f(x)=0 câ khæng qu¡ hai nghi»m

Chùng minh:

Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh f (x) = 0 câ qu¡ hai nghi»m, khæng m§t t½nh têngqu¡t gi£ sû x1 < x2 < x3 l  nghi»m ph÷ìng tr¼nh Khi â, theo ành lþRolle, tçn t¤i c1 ∈ (x1, x2), c2 ∈ (x2, x3) sao cho :f0(c1) = 0 v  f0(c2) = 0

Do (x1, x2) ∩ (x2, x3) = φ n¶n c1 6= c2 hay ph÷ìng tr¼nh f0(x) = 0

câ hai nghi»m ph¥n bi»t i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t f0(x) = 0 cânghi»m duy nh§t

Ta câ i·u c¦n chùng minh

H» qu£ 2.1.2.5 N¸uf ”(x) > 0(< 0) vîi måi x thuëc (a,b) th¼ ph÷ìngtr¼nh f (x) = 0 câ khæng qu¡ hai nghi»m

Chùng minh:

H» qu£ tr¶n ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø h» qu£ 2.1.2.3 v  2.1.2.4 Thªtv¥y v¼ f ”(x) > 0(< 0) vîi måi x thuëc (a,b)n¶n theo h» qu£ 2.1.2.3 th¼

f0(x) = 0 n¸u câ nghi»m x0 th¼ x0 l  duy nh§t Khi â theo h» qu£ 2.1.2.4th¼ f (x) = 0 câ khæng qu¡ hai nghi»m

V¼ f ”(x) > 0vîi måi x thuëc R n¶n theo h» qu£ 2.1.2.5 th¼ f (x) = 0

câ khæng qu¡ hai nghi»m

Do â f (x) câ khæng qu¡ ba nghi»m.

Ta th§y f (2) = f (1) = f (0) = 0 Vªy ph÷ìng tr¼nh câ ba nghi»m

x = 0, x = 1, x = 2

B i tªp tham kh£o

B i tªp 1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau:

√

x +√

3x + 1 = x2 + x + 1

¡p sè x = 0, x = 1

B i tªp 2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau:

N¸u f0(x) 6= 0 vîi måi x thuëc (a, b) th¼ ph÷ìng tr¼nh :

f (x1) = f (x2) ⇔ x1 = x2 vîi måi x1, x2 ∈ (a, b)

H» qu£ 2.1.2.7

N¸u y = f (x) thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ Lagrange v 

2 V½ dö 3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau:

f (log5(1 + 4x)) = 5log5 (1+4x)+ log5(1 + 4x) = 1 + 4x + log5(1 + 4x).Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng:

Theo h» qu£ cõa ành lþ Rolle th¼ g(x) = 0 câ khæng qu¡ hai nghi»m

Ta câ g(1) = g(0) = 0 suy ra x = 0 ho°c x = 1

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m: x = 1, x = 0

⇔ x2 − 4 = 0 (do 2cln2 + 2x−2 6= 0 vîi måi x ∈ R )

⇔ x = ±2

Thû l¤i th§y x = ±2 thäa m¢n

Vªy ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m x = 2 x = −2

V½ dö 5(Thi håc sinh giäi Quèc Gia Vi»t Nam 1994) Gi£i h» ph÷ìngtr¼nh:

Ta câ f (f (x)) = f (y) = z suy ra f (f (f (x))) = f (z) = x

Theo h» qu£ 2.1.2.7 th¼ f (x) = x hay y = x suy ra x = y = z

Vªy h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m l  (0, 0) ho°c (2015, 2015).

B i tªp tham kh£o

B i tªp 1 Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau:

4log3 x+ 2log3 x = 2x

¡p sè x = 1, x = 2 (°t t = log3x)

B i tªp 2 Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh sau:

Chùng minh:

a) Gi£ sû h» câ nghi»m a < x1 < x2 < < xn < b (n ∈ R)

Do g0(x) 6= 0 n¶n theo ành lþ Cauchy, tçn t¤i c ∈ (x1, x2) sao cho:

A = f

0(c)

g0(c) =

(i) f (x2) − f (x1)g(x2) − g(x1) =

(ii) f (x2) − f (x1)

f (x1) − f (xn)

Tø (i) suy ra A > 0 v  tø (ii) suy ra A < 0 (væ lþ) Vªy h» khæng cânghi»m ph¥n bi»t tùc h» câ nghi»m tròng nhau gi£ sû x1 = x2, khi âtheo ành lþ Cauchy câ:

(iii) g(x3) − g(x2)g(x2) − g(x1)

Tø (i) suy ra A > 0 v  (iii) suy ra A < 0(væ lþ) Lªp luªn nh÷ tr¶n ta

câ x1 = x2 = = xn

X²t n ch®n Gi£ sûx1 = x2, t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta câ x2 = x3 = = xn

i·u n y væ lþ do f,g kh¡c t½nh ìn i»u v  n l´ Nh÷ vªy trong tr÷ínghñp n ch­n, n¸u h» câ nghi»m th¼ nghi»m khæng li·n nhau

Khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sû x1 = x3 Khi â theo Cauchy tçn t¤i

c∈ (a, b) sao cho:

f0(c)[g(x3) − g(x1)] = g0(c)[f (x3) − f (x1)]

⇔ f0(c).0 = g0(c)[g(x4) − g(x2)]

⇔ x2 = x4