Líi mð ¦uPh÷ìng ph¡p h m âng mët vai trá quan trång trong gi£i t½ch to¡n håc v th÷íng ÷ñc khai th¡c trong c¡c k¼ thi Olympic quèc gia, quèc t¸, ký thi Olympic sinh vi¶n... Ti¸ng anh [8.]
Trang 1I HÅC QUÈC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN
L H×ÌNG THO
PH×ÌNG PHP HM V ÙNG DÖNG
LUN VN THC Sß KHOA HÅC
Trang 2I HÅC QUÈC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN
L H×ÌNG THO
PH×ÌNG PHP HM V ÙNG DÖNG
LUN VN THC Sß KHOA HÅC
Chuy¶n ng nh : Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p
M¢ sè : 60460113
NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC PGS.TS Nguy¹n ¼nh Sang
H NËI - NM 2015
Trang 3Möc löc
1 Ki¸n thùc chu©n bà 6
1.1 C¡c ành lþ cì b£n v· h m kh£ vi 6
1.1.1 ành ngh¾a iºm cüc trà 6
1.1.2 ành lþ Fermat 6
1.1.3 ành lþ Rolle 6
1.1.4 ành lþ Lagrange 7
1.1.5 ành lþ Cauchy 8
1.2 Cæng thùc Taylor 8
1.2.1 Cæng thùc Taylor vîi sè d÷ d¤ng Lagrange 8
1.2.2 Cæng thùc Taylor vîi sè d÷ d¤ng Peano 9
1.3 G½a trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t 11
1.3.1 ành ngh¾a 11
1.3.2 Ph÷ìng ph¡p t¼m GTLN, GTNN 13
2 Ùng döng ph÷ìng ph¡p h m 14 2.1 Ph÷ìng ph¡p h m trong gi£i ph÷ìng tr¼nh 14
2.1.1 Ùng döng cæng thùc Taylor 14
Trang 42.1.2 Ùng döng c¡c ành lþ cì b£n v· h m kh£ vi 30
2.2 Ph÷ìng ph¡p h m trong gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh 51
2.2.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p 51
2.2.2 p döng 52
2.3 Ph÷ìng ph¡p h m trong chùng minh b§t ¯ng thùc 57
2.3.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p 57
2.3.2 p döng 57
3 Gi£i v bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh v b§t ph÷ìng tr¼nh chùa tham sè 63 3.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p 63
3.2 p döng 64
T i li»u tham kh£o 70
2
Trang 5Líi mð ¦u
Ph÷ìng ph¡p h m âng mët vai trá quan trång trong gi£i t½ch to¡n håc v th÷íng ÷ñc khai th¡c trong c¡c k¼ thi Olympic quèc gia, quèc t¸, ký thi Olympic sinh vi¶n ¥y l mët cæng cö r§t hi»u lüc trong vi»c gi£i c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n sü tçn t¤i nghi»m v c¡c t½nh ch§t nghi»m cõa c¡c d¤ng ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh , b§t ph÷ìng tr¼nh kh¡c nhau
Vîi suy ngh¾ â,chóng tæi ¢ chån · t i: "Ph÷ìng ph¡p h m
v ùng döng" º l m luªn v«n cõa m¼nh Luªn v«n n y tr¼nh
b y t÷ìng èi ¦y õ c¡c t½nh ch§t h m kh£ vi v ùng döng cõa chóng v o vi»c kh£o s¡t t½nh ch§t nghi»m ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh ,b§t ph÷ìng tr¼nh
B£n luªn v«n gçm ba ch÷ìng, líi mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o v möc löc:
Ch÷ìng 1 : Ki¸n thùc chu©n bà: Ch÷ìng n y tr¼nh b y ki¸n thùc c¦n thi¸t cho ch÷ìng sau nh÷ : t½nh ch§t cì b£n v· h m kh£ vi cõa h m mët bi¸n m trång t¥m l c¡c ành lþ cì b£n v·
h m kh£ vi v cæng thùc Taylor
Ch÷ìng 2 : Nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i to¡n câ ùng döng k¸t qu£ trong ch÷ìng I ta gåi l ph÷ìng ph¡p h m Möc ½ch ch½nh cõa ch÷ìng n y l : Ùng döng ph÷ìng ph¡p h m º gi£i ph÷ìng
Trang 6tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, b§t ¯ng thùc Trong ch÷ìng n y s³ ¡p döng khai triºn Taylor º gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc ba, bªc bèn,
sû döng t½nh ìn i»u, ành lþ Largange, ành lþ Cauchy º gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, b§t ¯ng thùc Ch÷ìng 3 : Gi£i v bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa tham sè: Ch÷ìng n y tr¼nh b y c¡c ùng döng, c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh nh÷ ð ch÷ìng II cëng th¶m mët v i ph÷ìng ph¡p mîi º gi£i v bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh chùa tham sè
º ho n th nh luªn v«n n y em xin ch¥n th nh c£m ìn tîi ng÷íi th¦y k½nh m¸n PGS.TS Nguy¹n ¼nh Sang ¢ d nh nhi·u thíi gian h÷îng d¨n, ch¿ d¤y trong suèt thíi gian x¥y düng ·
t i cho ¸n khi ho n th nh luªn v«n Em xin ch¥n th nh c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Cì - Tin håc, Ban Gi¡m Hi»u, Pháng Sau ¤i håc tr÷íng HKHTN ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi trong thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng
M°c dò ¢ câ nhi·u cè gng nh÷ng do thíi gian v n«ng lüc cán h¤n ch¸ n¶n b£n luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, r§t mong th¦y cæ v c¡c b¤n gâp þ x¥y düng Em xin ch¥n th nh c£m ìn!
H Nëi, ng y 25 th¡ng 9 n«m 2015
Håc vi¶n L¶ H÷ìng Th£o
4
Trang 7B£ng c¡c k½ hi»u vi¸t tt
N Tªp c¡c sè tü nhi¶n
N∗ Tªp c¡c sè tü nhi¶n kh¡c 0
Z Tªp c¡c sè nguy¶n
Z+ Tªp c¡c sè nguy¶n d÷ìng
Z− Tªp c¡c sè nguy¶n ¥m
R Tªp c¡c sè thüc
R∗ Tªp c¡c sè thüc kh¡c 0
R+ Tªp c¡c sè thüc d÷ìng
R− Tªp c¡c sè thüc ¥m
i ìn và £o
C Tªp c¡c sè phùc
Trang 8Ch֓ng 1
Ki¸n thùc chu©n bà
1.1 C¡c ành lþ cì b£n v· h m kh£ vi
1.1.1 ành ngh¾a iºm cüc trà
Cho kho£ng (a, b) ⊂ R , h m sè f : (a, b) → R Ta nâi r¬ng h m f ¤t c÷c ¤i àa ph÷ìng (t÷ìng ùng cüc tiºu àa ph÷ìng) t¤i x0 ∈ (a, b), n¸u tçn t¤i mët sè δ > 0 sao cho (x0− δ, x0+ δ) ⊂(a,b) v f (x) ≤ f (x0)(t÷ìng ùng f (x) ≥ f (x0) ) vîi måi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)
Cüc ¤i àa ph÷ìng ho°c cüc tiºu àa ph÷ìng gåi chung l cüc trà cõa
h m f iºm (x0, y(x0)) l iºm cüc trà
1.1.2 ành lþ Fermat
Cho kho£ng (a, b) ⊂ R , h m sè f : (a, b) → R N¸u h m sè ¤t cüc trà t¤i x = c v tçn t¤i f0(c) th¼ f0(c) = 0
1.1.3 ành lþ Rolle
Gi£ sû h m f : [a, b] → R câ c¡c t½nh ch§t:
(1)f li¶n töc tr¶n [a, b]
(2) f kh£ vi trong kho£ng (a, b)
(3) f (a) = f (b)
6
Trang 9Khi â tçn t¤i ½t nh§t mët iºm c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0.
1.1.4 ành lþ Lagrange
Gi£ sû h m f:[a, b] → R câ c¡c t½nh ch§t:
(1) f li¶n töc tr¶n [a, b]
(2) f kh£ vi trong kho£ng (a, b)
Khi â tçn t¤i ½t nh§t mët iºm c ∈ (a, b) sao cho :
f (b) − f (a) = f0(c)(b − a) (1) Nhªn x²t: ành lþ Rolle l tr÷íng hñp °c bi»t cõa ành lþ Lagrange
H» qu£
Gi£ sû f : [a, b] → R li¶n töc tr¶n [a,b] v kh£ vi trong kho£ng [a,b] Khi â:
(a) N¸u f0(x) = 0 vîi ∀x ∈ (a, b) th¼ f l h m h¬ng tr¶n [a,b]
(b) N¸u f0(x) ≥ 0(f0(x) ≤ 0) v f0(x) = 0 t¤i húu h¤n iºm tr¶n (a,b) th¼ f t«ng (gi£m) thüc sü tr¶n [a,b]
Chùng minh:
a) Gi£ sû a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b Theo ành lþ Lagrange tçn t¤i c ∈ (a, b)
sao cho:
f (x2) − f (x1) = f0(c)(x2 − x1) (2)
V¼ f0(c) = 0, tø â suy ra f (x2) = f (x1) Vªy f l h¬ng sè
b) N¸u f0(x) ≥0 vîi måi x ∈ (a, b), th¼ tø (2) do f0(c) ≥0
N¶n f (x2) − f (x1) ≥ 0
Vªy f l h m t«ng
Trang 101.1.5 ành lþ Cauchy
Gi£ sû c¡c h m f,g : [a, b] → R câ c¡c t½nh ch§t :
(1) f v g li¶n töc tr¶n [a,b]
(2) f,g kh£ vi tr¶n (a,b)
Khi â tçn t¤i c ∈ (a, b) sao cho:
[f (b) − f (a)]g0(c) = [g(b) − g(a)]f0(c) (3) Hìn núa, n¸u g0(x) kh¡c 0 vîi måi x ∈ (a, b) th¼ cæng thùc (3) câ d¤ng:
f0(c)
g0(c) =
f (b) − f (a) g(b)g(a) (4)
Nhªn x²t: ành lþ Lagrange l tr÷íng hñp ri¶ng cõa ành lþ Cauchy vîi h m g(x) = x
1.2 Cæng thùc Taylor
1.2.1 Cæng thùc Taylor vîi sè d÷ d¤ng Lagrange
Gi£ sû f : [a, b] → R câ ¤o h m ¸n c§p (n+1) trong kho£ng (a,b),
x0 ∈ (a, b) Khi â, vîi ∀x ∈ (a, b), ta câ:
f (x) =
n
X
k=0
f(k)(x0) k! (x − x0)
k + f
(n+1)(c) (n + 1)! (x − x0)
n+1 (1.4)
trong â c n¬m giúa x v x0
Nhªn x²t: V¼ c n¬m giúa x v x0 n¶n (1.4) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng sau:
f (x) =
n
X
k=0
f(k)(x0) k! (x − x0)
k+ f
(n+1)(x0 + θ(x − x0))
(n + 1)! (x − x0)
n+1 (1.5)
8
Trang 11T i li»u tham kh£o
Ti¸ng vi»t
[1.] Tæ V«n Ban, Gi£i t½ch nhúng b i tªp n¥ng cao, NXB Gi¡o Döc, 2005 [2.] Tr¦n ùc Long, Nguy¹n ¼nh Sang, Ho ng Quèc To n, Gi¡o tr¼nh gi£i t½ch, B i tªp gi£i t½ch I, II, NXB HQG H Nëi, 2007
[3.] Nguy¹n V«n Mªu, Mët sè chuy¶n · gi£i t½ch bçi d÷ïng håc sinh giäi trung håc phê thæng, NXB Gi¡o Döc, 2010
[4.] Nguy¹n V«n Mªu, D¢y sè v ¡p döng, a thùc v ¡p döng, NXB Gi¡o Döc, 2004
[5.] o n Quýnh, Tr¦n Nam Dông, Nguy¹n Vô L÷ìng, °ng Hòng Thng,
T i li»u chuy¶n · to¡n ¤i sè v gi£i t½ch 11, NXB Gi¡o Döc, 2010 [6.] T¤p ch½ to¡n håc tuêi tr´, C¡c b i thi olympic to¡n trung håc phê thæng Vi»t Nam, NXB Gi¡o Döc, 2007
[7] Phòng ùc Th nh, Luªn v«n : Ùng döng ¤o h m º gi£i c¡c b i to¡n phê thæng, 2011
Ti¸ng anh
[8.] W.J.Kackor , M.T.Nowark, Problem in mathematical analysis I, Real number, Sequences and Series, AMS, 2000
[11] W.J.Kackor, M.T.Nowak, Problem in mathematical analysis II, Real number, Con-tinuity and differentiation, AMS, 2001