Phương pháp hàm số trong khảo sát các dạng toán về dãy số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG————————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG KHẢO SÁT CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN H

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

————————–

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG KHẢO SÁT CÁC DẠNG

TOÁN VỀ DÃY SỐ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng - Năm 2015

MỞ ĐẦU 5

1.1 Định nghĩa và các định lí cơ bản 81.2 Một số tính chất cơ bản của dãy số 17CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP MỘT

2.1 Thiết lập dãy số hội tụ từ phương trình 242.2 Thiết lập dãy số từ phương trình bậc hai 342.3 Thiết lập dãy số các dãy số nguyên từ phương trình Diophant 392.4 Thiết lập dãy số nguyên từ phương trình Pell 432.5 Thiết lập dãy số từ các hàm số phân tuyến tính 50CHƯƠNG 3 SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH KHẢO SÁT DÃY

3.1 Hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính trên tập số tự nhiên 573.2 Ứng dụng phương trình hàm để xác định dãy số 63

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từngđược ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn ký và ghi rõ họ tên

Nguyễn Thị Phương Thảo

Kí hiệu Tên gọi

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình Toán học bậc Trung học phổ thông các bài toán

về dãy số chiếm một vị trí khá quan trọng Đặc biệt hơn, nhiều kỳ thi họcsinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên giữacác trường đại học và cao đẳng thì các bài toán liên quan đến dãy số cũnghay đề cập và thường thuộc loại toán rất khó Phương pháp giải các bàitoán về dãy số rất đa dạng Trong quá trình giảng dạy và học tập tôi nhậnthấy chuyên đề dãy số có rất nhiều điều thú vị liên quan đến các phéptoán số học, tính chất đại số hay tính chất giải tích

Hai mảng lớn mà luận văn nhằm chú ý đến là trình bày một số cáchxây dựng bài tập về dãy số, nêu cách sử dụng phương trình hàm để khảosát dãy số (xem [1]-[9]) Đặc biệt là các bài toàn tìm số hạng tổng quátcủa một dãy số và bài toán tìm giới hạn của một dãy số Ngoài ra, luậnvăn còn xét một số vấn đề liên quan đến ứng dụng của dãy số như là mộtcách tiếp cận của phương pháp dãy số Tuy nhiên, không phải tất cả cácvấn đề của dãy số đều được đề cập trong luận văn này như phần dãy số

và bất đẳng thức, các bài toán về đồng dư,

Đề tài "Phương pháp hàm số trong khảo sát các dạng toán về dãysố" nhằm đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp màsau này có thể phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chất lượng giảng dạycủa mình trong nhà trường phổ thông

Luận văn gồm ba chương :

Chương 1 nhằm hệ thống lại các khái niệm, các công thức cơ bản cầnnắm vững trước khi tìm hiểu dãy số

Chương 2 trình bày một trong những vấn đề quan trọng của dãy số

là cách xây dựng chúng và phương pháp để giải bài toán dãy số

Chương 3 đề cập đến một số bài toán về phương trình dãy

2 Mục tiêu nghiên cứu

Khảo sát các bài toán về dãy số thông qua các hệ thức của hàm sốnhư công thức nghiệm của đa thức, tính tuần hoàn, phản tuần hoàn cộngtính, nhân tính,

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Khảo sát các hàm số và các dãy số liên quan, Tuy nhiên không đềcập đến những dãy số (hàm số) xác định trên Z và Q cũng như trên cáctập rời rạc khác

- Đề cập tới các bài toán liên quan đến số hạng tổng quát của dãy số

và giới hạn của dãy số

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo, phân tích và tổng hợp các tài liệu chuyên đề, sách giáokhoa, các tài liệu của giáo viên hướng dẫn, tài liệu trên mạng

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinhgiỏi toán bậc trung học phổ thông

- Giới thiệu đến học sinh phổ thông cũng như giáo viên một phươngpháp trong việc nghiên cứu các dạng toán về dãy số

- Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy và họccác chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo

từ những bài toán cơ bản nhất

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được chiathành ba chương

MỞ ĐẦU

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Định nghĩa và các định lí cơ bản

1.2 Một số tính chất cơ bản của dãy số

Chương 2 Một số phương pháp thiết lập một số dãy số

2.1 Thiết lập dãy số hội tụ từ phương trình

2.2 Thiết lập dãy số từ phương trình bậc hai

2.3 Thiết lập dãy số các dãy số nguyên từ phương trình Diophant2.4 Thiết lập dãy số nguyên từ phương trình Pell

2.5 Thiết lập dãy số từ các hàm số phân tuyến tính

Chương 3 Sử dụng phương trình hàm khảo sát dãy số

3.1 Hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính trên tập số tựnhiên

Dãy số {un} được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M

sao cho ∀n ∈ N∗, un ≤ M

Dãy số {un} được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m

sao cho ∀n ∈ N∗, un ≥ m

Dãy số {un} được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa

bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại một sốM và một số m sao cho∀n ∈ N∗, m ≤

un ≤ M

Định nghĩa 1.3 ([1],[2],[5]) Ta nói dãy số {un} có giới hạn hữu hạn a

nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un

và ε) sao cho với mọi n > N0 ta có |un− a| < ε

lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N, ∀n > N0 : |un− a| < ε

Ta nói dãy số {un} dần đến +∞ nếu với mọi số thực dương M lớn tùy ý,tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un và M) sao cho với mọi

n > N0 ta có un > M

Định lý 1.1 ([1],[3]) Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.

Chứng minh Ta thấy rằng nếu a1, a2 ∈ R và |a1 − a2| < ε

Với mọi ε dương nhỏ tùy ý cho trước thì a1 = a2

Thật vậy, nếu a1 6= a2 ta chọn ε = |a1 − a2|

2 ⇒ |a1 − a2| > ε, mâu thuẫn.Giả sử lim

x→+∞un = a1, lim

x→+∞vn = a2.Khi đó ∀ε > 0 : ∃n1, ∀n > n1 : |un − a1| < ε2 và ∃n2, ∀n > n2 :

Cho dãy số thực(un) và dãy số nguyên dương (nk) sao cho n1 < n2 <

· · · < nk < Dãy (unk) = {un1, un2, , unk, } được gọi là dãy concủa dãy (un)

Ta chú ý rằng n1 ≥ 1, n2 > n1 ≥ 1 ⇒ n2 ≥ 2, tương tự ta có

nk ≥ k, ∀k ∈N∗

Dãy (un) là dãy con của chính nó với nk = k

Định lý 1.2 ([1]) Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùnggiới hạn của dãy

x→+∞un = a, theo định nghĩa ta có:

∀ε > 0, ∃n0, ∀n > n0 : |un − a| < ε

Cho (unk) là dãy con của (un)

Khi đó ∀k > n0, ta có nk ≥ k > n0

Định lý 1.3 ([1]) Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ

Nếu {un}, {vn} là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thìcác dãy số {un + vn} , {un − vn} , {un.vn} ,



un

vn

cũng hội tụ và có giới

hạn tương ứng là a + b, a − b, a.b,a

b (trong trường hợp dãy số thương, ta

giả sử vn 6= 0 và b 6= 0

Chứng minh Trường hợp lim (xn + yn) = a + b

Ta có lim xn = a nên với mọi ε

=

≥

xn+√

2 − 2

< √

√22

!n−1

x1 −√2

Mà lim

√

22

!n−1

x1 −√2

... data-page="25">

số thường giải từ phương trình Chính lẽ đó, mà tôisuy nghĩ đến việc sáng tạo tập dãy số< /p>

2.1 Thiết lập dãy số hội tụ từ phương trình

Có thể xây dựng dãy số hội tụ số? ? xuất... vơ s? ?các số hạng (an) xây dựng đoạn [xk+1; yk+1] tronghai nửa [xk; yk] chứa vô số số hạng (an)

Như thế, ta xây dựng dãy. ..

Hàm ngược hàm ex (hay exp(x)) logex hay ln x (đọc logarit

tự nhiên x hay logarit Neper x)

1.2 Một số tính chất dãy số

Định nghĩa 1.7 ([4]) Dãy số