1 số đề thi HSG toán 12

Xác định các giá trị của m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng.. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của điểm C xuống đư

Cho hàm số y(x21)2 (m1) (12  m)2 ( m là tham số )

1 Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số trên với trục hoành

2 Xác định các giá trị của m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

có hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng

Bài II ( 5 điểm )

1 Giải phương trình : 9( 4x 1 3x 2) x 3

2 Cho dãy số ( )u n có

2

n

n

P u

A

 với n là số nguyên dương (P n là số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử, A n n2 là số chỉnh hợp chập n của n+2 phần tử)

Đặt S n u1u2 u n Tìm limS n

Bài III (5 điểm)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Với M là một điểm thuộc cạnh AB, chọn điểm N thuộc cạnh D’C’ sao cho AM + D’N = a

1 Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

2 Tính thể tích của khối chóp B’.A’MCN theo a Xác định vị trí của điểm M để khoảng cách từ B’ tới mặt phẳng (A’MCN) đạt giái trị lớn nhất Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a

3 Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của điểm C xuống đường thẳng MN khi điểm M chạy trên cạnh AB

Bài IV (4 điểm)

1 Cho hai số thực x, y thoả mãn 1  x y 0

Chứng minh rằng :

x y y x

xy

x y

 



 

2 Viết phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y = (x - 1) (x3 + x2 + 1) tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số

……… Hết………

( Giám thị không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:………Phòng thi:……Số báo danh:…………

Bài I: (4 điểm)

Giải phương trình: 5x1 3x 2 8 x2 15x213x 2 23

Bài II: (7 điểm)

y x  mx  x m  (1) với m là tham số

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1) Tìm m để

khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó là nhỏ nhất

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Gọi các hoành độ giao điểm đó là: x1, x2, x3

a, Tìm m để x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng

x x x 

Bài III: (4 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A với B(-3;0), C(7;0) Tìm toạ độ tâm I của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, biết bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó là r = 5 2 5

Bài IV: (5 điểm)

Cho đường tròn tâm O , có bán kính OK vuông góc với bán kính OA Gọi M là trung điểm của đoạn OK, phân giác của góc OMA cắt bán kính OA tại N Qua N vẽ đường thẳng song song với đường thẳng OK, cắt cung nhỏ AK tại B Chứng minh rằng : AB là một cạnh của ngũ giác đều nội tiếp của đường tròn đã cho

……… Hết………

( Giám thị không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:………

Phòng thi:………

Số báo danh:………

Bài I : (3 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 5 2

f x  x  x với x 0

Bài II: (7 điểm)

( )x 4

yf  x ax bx c

1 Tìm a, b,c biết đồ thị hàm số đi qua các điểm O(0;0); A(1;1) và B(-1;1)

2 Gọi (C ) là đồ thị hàm số ứng với a; b; c tìm được ở câu 1

CMR: hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng 1

2

y  là x1 cos9



2

7

9

x cos  ; 3

13 9

x cos 

3 Gọi các giao điểm theo thứ tự là M M M1, 2, 3 các tiếp tuyến tại các điểm M M M1, 2, 3 lần lượt cắt đồ thị (C ) tại các điểm N N N1, 2, 3 (với M i N i; I = 1, 2, 3 )

CMR các điểm N N N1, 2, 3 thẳng hàng

Bài III: (6 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ): x2y2 4y0 và đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y + 7 = 0 MP và MQ là các tiếp tuyến kẻ từ một điểm M bất kỳ trên đường thẳng d tới đường tròn (C ), tiếp điểm là P, Q

1 Xác định toạ độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho độ dài đoạn thẳng PQ đạt giá trị nhỏ nhất

2 CMR: Nếu M di động trên đường thẳng d thì đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định

Bài IV: (4 điểm)

Cho hình tứ diện ABCD có AB = 1,5; CD = 3 các cạnh còn lại đều bằng 2

a, Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b, P là một điểm tuỳ ý trong không gian

CMR: PA + PB + PC + PD  5

……… Hết………