Đề thi HSG lớp 10 (năm hoc 2006-2007) Câu 1: Cho PT bậc hai ( ) 2 2 4 3 3 0x m x m m+ + + = . Tìm m để PT có hai nghiệm 1 2 ,x x đều khác 1 Khi đó chứng minh rằng: 2 2 1 2 1 2 49 7 1 1 9 mx mx x x < + Câu 2: Giải PT 2 2 3 2 4 3 2 2 2 x x x x x x + = + + Câu 3: Giải hệ PT: 3 2 1 1 3 2 1 1 x y y x + + = + + = Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đờng tròn tâm O. D là trung điểm AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh OE vuông góc với CD. Câu 5: Cho x, y, z dơng và xyz=32. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 4 2 4P x y z xy= + + + Đề thi HSG năm học (2005-2006) Câu 1 : Cho PT 2 2 4 5 2 3 0x mx m m + + = Gọi 1 2 ,x x là hai nghiệm của PT. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 2 2 3 3A x x x x= + Câu 2 1) Giải hệ PT ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 15 x y x y x y x y = + + = 2) Giải PT: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x + + + = + + Câu 3: 1) Với giá trị nào của m các nghiệm 1 2 ,x x của PT: 2 2 2 1 0x x m + + = và các nghiệm 3 4 ,x x của PT: ( ) 2 3 1 2 4 2 1 ( 1) 0 thoả mãnx m x m m x x x x + + = 2) Tìm m để bất PT: ( ) 2 2 1 3( 2) 0 nghiệm đúng mọi x 2 m x m x m + = Câu 4: Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c thoả mãn: 4 4 4 c a b= + cmr: 1) Tam giác ABC nhọn 2) 2 2sin tan .tanC A B= Câu 5: Chứng minh rằng: Nếu 2 2 2 2 2 0thì ta luôn có BĐT 16y 13 9 0y x x y x x y x + Đề thi HSG năm học (2004-2005) Câu 1 :Cho PT bậc hai với tham số a: 2 1 2 2a 4 0 ,x x có nghiệm là x x+ + = a) Xác định các giá trị của a để 1 2 ,x x là các số dơng b) Hãy tính các biểu thức M, N theo a 4 4 1 2 1 2 ,M x x N x x= + = + c) Xác định a sao cho 2 2 1 2 2 1 4 x x x x + ữ ữ Câu 2: Cho hệ PT : 2 2 2 3 1 0 2 0 x ax a y by x + = + = a) Giải hệ PT khi a=-3, b=2 b) Xác định các giá trị nguyên của a và b để hệ có đúng3 nghiệm Câu 3: a) Cho hàm số ( ) ( ) 2 p p f x x và g x x x x = + = + trong đó p là một số thực cho trớc. Với x>0 hãy xác định giá trị nhỏ nhất của f(x) và g(x) b) Giả sử x, y, z là ba số thực dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh : 3 4 3 x xy xyz+ + Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn .Gọi (O 1 ),(O 2 ) lần lợt là đờng tròn bàng tiếp trong góc C và B của tam giác ABC . Đờng tròn tâm O 1 tiếp xúc với AB, AC và BC lần lợt tại C 1 , G và E, đờng tròn tâm O 2 tiếp xúc với AC, BC và AB lần lợt là B 1 , F và H. Gọi P là giao của EG và FH; I là giao của PA và BC. Chứng minh rằng: a) Ba điểm O 1 , A, O 2 thẳng hàng. b) 1 2 O A IE IF O A = . Đề thi HSG năm học (2003-2004) Câu 1 : Giải hệ PT: 3 3 3 3 4 2 6 6 3 9 8 x y x y z y x x z + = + + = + + = + Câu 2: a) Chứng minh rằng với bất kỳ số thực p, q ta đều có : ( ) 2 2 1 1p q p q+ + > + b) Tìm số thực b lớn nhất sao cho với mọi số thực p, q bất đẳng thức sau luôn đúng ( ) 2 2 1 1p q bp q+ + + Câu 3: Giải PT nghiệm nguyên sau: 3 3 2 2 1x y y= + + Câu 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) . Tiếp tuyến với đờng tròn (C) tại các điểm A và C cắt nhau tại P. Giả sử PA 2 = PD.PB và P không nằm trên đờng thẳng BD. Cmr: a) Tam giác APD đồng dạng với tam giác BPC b) Giao điểm của AC vàBD là trung điểm AC Đề thi HSG năm học (2002-2003) HD(năm 2006-2007) Câu 1: PT có nghiệm ( ) 1 2 2 0 2 , 1 3 1 0 0, 2 m x x f m m (*) Khi đó theo viet ta có 1 2 2 1 2 4 . 3 3 x x m x x m m + = = + Khi này ta có 2 2 3 2 2 1 2 1 2 8 13 2 6 1 1 1 2 mx mx m m m m m x x m + + = = + Đặt ( ) 2 6 1f m m m= + với m thoả mãn điều kiện (*) ta thấy f(m) là hàm nghịch biến trên ( ) ( ) 2 2 ;2 2 đpcm 3 3 f f m f < ữ ữ Câu 2: Do x=0 không là nghiệm của PT, nên chia cả tử và mẫu vế trái của PT cho x ta đợc PT tơng đơng 3 2 4 2 2 3 2x x x x + = + + Đặt 4 2 3 2 ta được PT : 4 9 3 2 4 t t x x t t t = = + + = = Với t=4 2 2x = Với 2 9 4 9 8 0 4 t x x VN= + = Vây PT có nghiệm 2 2x = Câu 3: Xét hệ: ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 1 1 2 x y y x + + = + + = Điều kiện của ẩn 1 , 2 x y . Lấy (1) trừ (2) ta đợc ( ) 3 2 1 3 2 1 3x x y y+ + + = + + + Ta thấy hàm ( ) 1 3 2 1 là hàmđồng biến / ; ) 2 f x x x = + + + Khi ®ã tõ (3) suy ra f(x)=f(y) x y ⇔ = Khi ®ã ta cã tõ (1) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 1 1 5 2 7 4 2 1 1 x x x x x x  − ≤ ≤  ⇒ + = − ⇔ ⇔ = −   + = −  VËy nghiÖm cña hÖ lµ: 5 2 7 5 2 7 x y  = −   = −   C©u 4: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 1 3 2 3 3 2 6 CD CA CB OA OB OC OE OA OD OC OA OA OB OC OA OB OC = + = + −   = + + = + + + = + +  ÷   uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do ®ã ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 .6 2 3 2 3 4 4 . 4 . 4 4 . 0 CD OE OA OB OC OA OB OC OA OB OC OA OB OA OC OA OB OC OA CB = + − + + = + − + − = − = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur VËy OE vu«ng gãc víi CD C©u 5: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 256 Ta cã 2 2 8 2 2 2 4 8 48 128 2 48 96 96 MinP=96, dÊu = x¶y ra khi x=4, y=2, z=4 P x y z xy z z z z z z z z z = = + ≥ + = + − +   − + = + = + ≥  ÷   ⇒ A C D B E . Đề thi HSG lớp 10 (năm hoc 2006-2007) Câu 1: Cho PT bậc hai ( ) 2 2 4 3 3 0x m x. xyz=32. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 4 2 4P x y z xy= + + + Đề thi HSG năm học (2005-2006) Câu 1 : Cho PT 2 2 4 5 2 3 0x mx m m + + = Gọi 1