Câu 5: 2 điểm Cho hình chữ nhật ABCD, đờng vuông góc với AC tại C cắt AB và AD lần lợt tại E và F.
Trang 1đề thi vào lớp 10 - lam sơn (29)
môn: toán học - Thời gian 150 phút Câu 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng ∀n ∈ N* ta có
1 )
1
(
1
+ +
n n
b) Tính tổng
S =
100 99 99 100
1
4 3 3 4
1 3
2 2 3
1 2
2
1
+ +
+ +
+ +
+ +
Câu 2: (2 điểm)
Tìm trên đờng thẳng y = x + 1 những điểm có toạ độ (x, y) thoả mãn
y2 - 3y x + 2x = 0
Câu 3: (1 điểm)
Tìm n ∈ Z sao cho n2 + 2006 là số chính phơng
Câu 4: (2 điểm)
Cho đờng (0, R) và 2 điểm A, B nằm ngoài đờng tròn (0) sao cho 0A = 2R Tìm điểm M ∈ (0) sao cho P = MA + 2MB nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu 5: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, đờng vuông góc với AC tại C cắt AB và AD lần lợt tại E và F Chứng minh :BE CF + DF CE = AC EF
Câu 6: (1 điểm)
Tìm x, y , z ∈ N* sao cho x + y + z = xyz
Trang 2Hớng dẫn chấm
Câu 1:
a) ta có
) 1 ( )
1 (
1 )
1 ( 1 )
1 (
1
2
2 − + +
+
− +
= + +
n n n n n
n n n
=
1
1 1
) 1 (
1 )
1
(
+
−
= +
+
−
+
n n n
n
n n n
n
b) áp dụng đẳng thức trên với n = 1, n = 2 n = 99.…
2
2
1 = −
+
3 212 3 = 12 − 13
+
………
100
1 99
1 100 99
99
100
(
+
- cộng theo từng vế
S = 1 - 1001 =109
Vậy S =
10
9
1.0
0.25
0.5
Câu 2: Điều kiện : x ≥0
Gọi M (x, y) là điểm cần tìm => (x, y) là nghiệm của
( ) 2 0 2 3
1 1
+
=
x x y
y
x
y
Giải (2) ta có y1 = 2 x
y2 = x
Với y1 = 2 x (1) trở thành x + 1 = x ú ( x − 1 )2 = 0 ú x = 1
Với y2 = x (1) trở thành x + 1 = x ú x - x+ 1 = 0
ú ( x
-2
1
)2 +
4
3
= 0 vô n0
vậy điểm M cần tìm: M (1, 2)
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25
Trang 3Câu 3:
Giải sử n2 + 2006 là số chính phơng => n2 + 2006 = m2 (m ∈ Z)
Ta có m2 - n2 = 2006 ú (m - n) (m + n) = 2006
Nếu m, n khác tính chẵn lẻ => m2, n2 khác tính chẵn lẻ => m2 - n2 là số
lẻ => vô lí
Hay m, n cùng tính chẵn lẻ
Khi đó {
2
4 ) )(
( 2 ) (
n
m
n m n m n
m
+
− +
<=>
−
Nhng 2006 không chia hêt cho 4 vậy không tồn tại n ∈ N để
n2 + 2006 là số chính phơng
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4:
Gọi C là giao điểm của 0A và (0)
I là trung điểm 0C => I cố định
Xét tam giác 0IM và tam giác 0MA
Có góc Ô chung
2
1
0
0
0
0
=
=
A
M
M
I
(gt)
=> tam giác 0IM ∼ tam giác 0MA => AM = 2IM
Vậy MA + 2MB = 2 (IM + MB) ≥2BI không đổi
Đẳng thức xảy ra ú B, M, I thẳng hàng
KL: P = MA + 2MB nhỏ hhất = 2BI khi B, M, I thẳng hàng Khi đó M là
giao điểm của BI và (0)
0.25
0.25
0.25
0.254
Câu 5:
áp dụng định lý ta lét
1
=
+
= +
=
AF
DF
AE
AF
EF
CF AF
DF
EF
CE
AE
BE
nhân 2 vế với AE.AF ta có
BE AF + AE.DF = AE AF
0.5
Trang 4Lại có AE AF = AC EF = 2 S∆AEF
Nên BE AF + AE DF = AC EF (1)
Mặt khác: AF2 = CP EF => AF = CF EF
DF2 = CE EF -> DF = CE EF
Thay vào (1): BE CF.EF +DF CE.EF =AC.EF
ú BE CF + DF CE = AC EF
0.5
0.5
0.5
Câu 6:
Ta có : x, y, z ∈ N*
x + y + z = xyz ú 1 + 1 + 1 = 1
yz xz
Do x ,y, z có vai trò bình đẳng nh nhau nên ta giả sử
1 ≤ x ≤ y ≤ z nên (1) <-> 1 = 2 2 2 2
3 1 1 1 1 1 1
x x x x xz yz
xy+ + ≤ + + =
-> x2 ≤3 do x ∈ N* => x = 1
khi đó ta có 1 + y + z = yz ú (z-1) (y-1) = 2
do
−
≥
−
∈
−
−
1 1
1
,1
y
z
N y
z
=>
=
−
=
−
2 1
1
1
z
y
=>
=
=
3
2
z y
vậy 3 số cần tìm là 1, 2 , 3
0.25
0.25
0.25
0.25