Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp HCM Đáp án môn: TOÁN A1 (MATH130101)
điểm
1
a
z7 = − 3
2 = cos 5π
6
0,5
z = cos
5π
7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+ isin
5π
7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟ , trong đó k = 0,6
0,5
b
L = e x lim→+∞x ln
2 x+3
2 x+1
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟
0,5
L = e x lim→+∞x
2 x+3
2 x+1−1
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ = e x lim→+∞
2 x
2 x+1
⎛
Ta có lim
2
a g'(0) = lim
x→0
g(x) − g(0)
x − 0 = limx→0
ln(1+ 3x2
)
b
Ta có công thức Taylor của hàm h(x) tại lân cận điểm x = 1 là
h(x) = x −1
2 + x =
x −1
3
⎛
3
⎛
3
⎛
⎝⎜ ⎞ ⎠⎟
n=0
∞
3n+1 ( x −1 )n+1
n=0
∞
0,5
Suy ra h(2016)(1) = ( ) −12015
32016 2016 ( ) !
0,5
3
a
I = lim
b→+∞
3dx
x2− 6x +10 =
1
b
b→+∞
3dx
x− 3
+1 1
b
= lim
b→+∞[arctan(x− 3)]1b
=π
b
Khi x → 2+: x
2+ 3x −1 (x − 2)(x + 3)
5(x − 2)
0,5
5(x− 2)
2
3
dx
(x− 2) 5
2
3
5< 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra J hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 2)
0.5
4
a
Ta có lim
n→∞
4n3− n2+ 3
2n3+ n n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟= 2 ≠ 0
0,5
3− n2+ 3
2n3+ n n
n=1
∞
b
n
2n n
n=1
∞
Bán kính hội tụ của chuỗi (2) là R = lim
n→∞
an
an+1 = lim
n→∞
2n+1 n +1
2n
n
⎡
⎣
⎦
⎥ = 2
0,5
Trang 2Tại X = 2 ta có chuỗi số 1
n
n=1
∞
Tại X = −2 ta có chuỗi số ( )−1n
n
n=1
∞
∑ là chuỗi đan dấu, hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz
Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi (x+1)n
2n n
n=1
∞
0,5
c Các hệ số Fourier
a0 = −3
−
π 2
∫ dx = − 9
2
0,25
an = −3
−
π 2
n ( sin nx )−π2 = − 3
n sin
n π 2
0,25
bn = −3
−
π 2
n ( cos nx )−π2 = 3
n cos
n π
2 − −1 ( )n
⎛
0,25
Tại x ≠ kπ, x≠π
2 + l2π, k,l ∈Z ta có khai triển Fourier
f (x) = − 9
n sin
n π
2 cos nx + 3
n cos
n π
2 − −1 ( )n
⎛
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n=1
∞
0,25