Các bài toán cực trị trong tam giác

LỜI NÓI ĐẦU Các bài toán cực trị trong tam giác là một phần quan trọng của toán sơ cấp, và nó có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức trong tam giác ở phương pháp giải.. về bài toán bất đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐINH VĂN TUYÊN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐINH VĂN TUYÊN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

STT

MỤC LỤC 01

Lời cảm ơn……….02

Lời nói đầu……….03

Bố cục chính của luận văn……… 04

Một số ký hiệu dùng trong luận văn……… 07

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị………08

1.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác……….08

1.2 Một số bất đẳng thức đại số cơ bản……… 12

1.3 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác……… 15

Chương 2 Các bài toán cực trị trong tam giác……….17

2.1 Một số phương pháp giải các bài toán cực trị trong tam giác…… 17

2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……… 18

2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai……… 21

2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……….29

2.1.4 Dùng các bất đẳng thức đại số cơ bản……… 33

2.2 Một số bài toán cực trị trong tam giác……….44

Chương 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác………… 55

Kết luận……… 77

Tài liệu tham khảo……… 78

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

LỜI NÓI ĐẦU

Các bài toán cực trị trong tam giác là một phần quan trọng của toán sơ cấp, và

nó có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức trong tam giác ở phương pháp giải Có rất nhiều các dạng toán thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề này

Điểm khác biệt quan trọng giữa bài toán cực trị trong tam giác và bài toán bất đẳng thức trong tam giác là: bài toán bất đẳng thức trong tam giác biết trước cái đích ta phải đi đến (tức là biết cả hai vế), còn bài toán cực trị trong tam giác thì không

Ví dụ:

a (về bài toán bất đẳng thức trong tam giác): Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

b.(về bài toán cực trị trong tam giác): Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  3 cosA 2cosB 2 3 cosC

do vậy bài toán cực trị trong tam giác có độ phức tạp hơn bài toán bất đẳng thức trong tam giác Tuy nhiên, nếu nắm vững được các phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức trong tam giác thì cũng dễ dàng làm được các bài toán cực trị trong tam giác, và ngược lại

Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, các bài toán liên quan đến Các bài toán cực trị trong tam giác cũng hay được đề cập và thuộc loại khó Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cực trị trong tam giác hay nhận dạng tam giác đã được đề cập nhiều ở các tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông

Các kết quả nghiên cứu về nội dung này đến nay đã tương đối đầy đủ và hoàn thiện Chính vì vậy để có kết quả mới có ý nghĩa về nội dung này là một việc làm rất khó đối với bản thân tôi

3 cosA 2cosB 2 3 cosC 4

Tuy nhiên, với sự nỗ lực và nhận thức của bản thân, trong luận văn của mình tôi đã cung cấp một số kiến thức cơ bản về đẳng thức và bất đẳng thức trong tam giác, và hệ thống được một số phương pháp trong việc giải bài toán cực trị trong tam giác, nêu ra được một số bài toán cực trị trong tam giác Đồng thời tôi cũng đưa

ra được một số cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác

Trong quá trình hoàn thành luận văn tác giả đã không ngừng nỗ lực để học hỏi, tìm tòi và sưu tầm các bài toán cực trị trong tam giác Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân, điều kiện thời gian và khuân khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những khiếm khuyết Tác giả mong được sự chỉ dạy của các thầy (cô) giáo và các quí bạn đọc để luận văn của tôi thêm hoàn thiện hơn

Bố cục của luận văn bao gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm các định lí, công thức và một số đẳng thức, bất đẳng thức

cơ bản trong tam giác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, các công thức

tính diện tích tam giác, công thức tính bán kính, công thức đường trung tuyến, công thức đường phân giác, công thức hình chiếu, một số đẳng thức cơ bản trong tam giác, một số bất đẳng thức đại số cơ bản thường gặp, một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

Chương 2 Các bài toán cực trị trong tam giác

để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác

Phần 2: Sử dụng tính chất về dấu của tam thức bậc hai

để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác

Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác

Phần 4: Dùng các bất đẳng thức để giải bài toán cực trị trong tam giác

Phần 5: Nêu ra một số bài toán cực trị trong tam giác

Chương 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác

Trong chương này tác giả dùng các kiến thức phổ thông, các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác, các bất đẳng thức đã biết, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức Jensen … để xây dựng lên các bài toán cực trị trong tam giác

Ngày … tháng 12 năm 2016

Học viên

Một số ký hiệu dùng trong luận văn

1) ABC: tam giác ABC

A;B;C: là các đỉnh, đồng thời là số đo ba góc của tam giác ABC a; b;c: lần lượt là số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB

2) h h h a; b; c: là độ dài các đường cao tương ứng các cạnh a; b; c

3) l l l a; ;b c: là độ dài các đường phân giác tương ứng các cạnh a; b; c 4) m m m a; b; c: là độ dài các đường trung tuyến tương ứng các cạnh a; b; c 5) r r r a; ;b c: là bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng các góc:A;B;C 6) R; r: là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC 7) p; S: thứ tự là nửa chu vi và diện tích tam giác ABC

8) Min; max: lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

9) : với mọi

10) CMR: chứng minh rằng

11) Đpcm: Điều phải chứng minh

12)    ; ; : lần lượt là tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác

1.1.1 Các định lí và công thức cơ bản trong tam giác

2

2R sinAsinBsinC

  p p a p b p c(  )(  )(  ) (công thức He - ron)

1.1.1.5 Công thức bán kính:

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

R

- Bán kính đường tròn nội tiếp:

( ) tan ( ) tan ( ) tan

b

ca B l

c a



 2

cos 2

c

ab C l

a b



 2

cos 2

a

bc A l

.cos cos (cot cot )

Chứng minh ( Xem trong [1] )

1.1.2 Một số đẳng thức cơ bản trong tam giác

Trong mọi ABC ta luôn có:

sin A sin B sin C 2cosAcosBcosC 2

Các bài từ 1.1.2.1 đến 1.1.2.6 đều chứng minh tương tự nhau đó là sử dụng các

công thức lượng giác để biến đổi vế trái thành vế phải

2 cos( ) cos( ) cos

2 cos cos( ) cos

2 cos ( 2).sin sin

1.1.2.9 cotAcotBcotBcotCcotCcotA1

1.1.2.10 tanAtanBtanCtanAtanBtanC (ABC không vuông)

Chứng minh ( Xem trong [1] )

1.1.3 Một số bài toán đẳng thức dạng tổng quát

Chứng minh rằng trong mọi ABC và k ta luôn có:

1.1.3.1 sin(2k 1)A sin(2k 1)B sin(2k 1)C

( 1) 4 cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)

sin 2kA sin 2kB sin 2kC  ( 1)k 4sinkAsinkBsinkC

1.1.3.3 cos(2k 1)A cos(2k 1)B cos(2k 1)C

1 ( 1) 4sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1)

1.1.3.4 cos 2kA cos 2kB cos 2kC    1 ( 1) 4cosk kAcoskBcoskC

1.1.3.5 tankAtankBtankCtankAtankBtankC

tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) 1

Ta có: sin(2k 1)A sin(2k 1)B sin(2k 1)C

2sin(2 1) cos(2 1) 2sin(2 1) cos(2 1)

Bài 1.1.3.2.; bài 1.1.3.3.; bài 1.1.3.4 lần lượt là bài tổng quát của bài

1.1.2.2.; bài 1.1.2.3.; bài 1.1.2.4 cách chứng minh tương tự bài 1.1.3.1

Bài 1.1.3.5 là bài tổng quát của bài 1.1.2.10

Từ đó có được: tankAtankBtankCtankAtankBtankC

Bài 1.1.3.6 là bài tổng quát của bài 1.1.2.7 chứng minh tương tự bài 1.1.3.5 Bài 1.1.3.7 là bài tổng quát của bài 1.1.2.8

cos kA cos kB cos kC

=1(1 cos 2 ) 1(1 cos 2 ) ( 1) cos cos ( )

   

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1a2   a n

Điều kiện đủ dùng để xét xem khi nào một hàm số là lồi (hoặc lõm)

Cho f(x) là hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai trên  a b,

- Nếu như f ''( )x    0; x ( , )a b thì f x( ) là hàm lồi trên  a b,

- Nếu như f ''( )x    0; x ( , )a b thì f x  là hàm lõm trên  a b,

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2   x n.

1.3 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

a)

2

3 cos cos

cosA B C (ABC nhọn)

b)

2

3 3 sin sin

sinA B C 

c)

2

3 2

sin 2

sin 2 sin A B  C 

d)

2

3 3 2

cos 2

cos 2 cos A B  C 

e)

8

1 cos cos

f)

8

3 3 sin sin sinA B C 

g)

8

3 3 2 cos 2 cos 2

h)

8

1 2 sin 2 sin 2

tan 2 tanA B C 

2

cot 2

cot 2 cot A B  C m) tan tan tanA B C3 3

n)

33

12tan.2tan.2tanA B C 

Chứng minh (Xem trong [1])

Chương 2 Các bài toán cực trị trong tam giác

2.1 Một số phương pháp giải bài toán cực trị trong tam giác

Nhận xét: Tuy số lượng các bài toán bất đẳng thức cũng như các bài toán cực trị

trong tam giác tương đối nhiều và khó, nhưng nếu chúng ta nắm được các cách giải

và vận dụng linh hoạt thì nó sẽ trở thành đơn giản Các cách giải đó là gì? đó là dựa vào các phép biến đổi tương đương và sử dụng các phương pháp giải phù hợp như phương pháp vectơ, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp đạo hàm…đó là

sử dụng một số bất đẳng thức đã biết Đặc biệt, đó là chú ý đến một đánh giá rất quan trọng sau về hàm số lượng giác cos, tức là cosx 1 với mọi x Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0

M  sin + sin B - cosA C



sin sin 1 cos

3

P A B C

T= 3 cosA 2cosB 2 3 cosC

0 2e 3e e    4 3 1 2 3 cosA2cosB2 3 cosC

Suy ra 3 cosA 2cosB 2 3 cosC 4 (đpcm) Vậy maxT 4 2e1 3e22 3e3 0

 

0 2

2

2 3

0 2

PcosAcosB cosC x  ; x 

1 1 2 cos 2 cos 2 cos 0

cos (cos cos ) 1 ,

M = cos 2A cos 2B cos 2C

P= 3(cos 2A cos 2 ) cos 2B  C

Q = 3 cos 2 Acos 2Ccos 2B

Lời giải

Tương tự bài toán trên, từ bất đẳng thức:

Nhận xét: Ở phương pháp Vectơ này đòi hỏi ngưởi sử dụng cũng phải rất linh hoạt,

tuy nhiên thông qua 7 ví dụ ở trên thì chúng ta nhận thấy một điều là:

Bài toán có dạng PxcosAycosBzcosCthì ta sử dụng phương pháp gọi

Bài toán có dạng Pxcos 2Aycos 2Bzcos 2C thì sử dụng phương pháp gọi

O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và sử dụng tính chất

k OA m OB n OC    sao cho m n  , x k n  , y k m  .z

2.1.2 Phương pháp tam thức bậc hai

Sử dụng tính chất về dấu của tam thức bậc hai

Ví dụ 8 Cho tam giác ABC với a, b, c là độ dài 3 cạnh, plà nửa chu vi Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 (1)

sin 2 cos 2 0 sin 2 sin 2 (2)

sin 2 sin 0

2

      ( mâu thuẫn)

Vậy (3) không xảy ra

Từ đẳng thức (4)  A C.Thay vào (2) có được sin 2 sin 2

Ví dụ 9 Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2sin sin sin

B C P

PcosAcosB cosC x 

B C

A x

1 cos( ) cos( ) sin 0

1 cos cos( ) (1 cos ) 0

k M

k M

k



 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:



M  A Bk C Ta có:

k k

A B C 

Ví dụ 13 Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:

M  cos 2A cos 2Bkcos 2 ;C  k 0

Lời giải:

Ta có: M cos 2Acos 2B k cos 2C

cos 2Acos 2B k cos 2C M 0

2

2

2 cos cos( ) (2 cos 1) 0

k

 

 Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:

 Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự ở ví dụ 13, ta có thể chứng minh các kết quả tổng quát sau:

Ví dụ 14 Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của :

M cos3Acos3B k cos3 C

.2

k M

Hay tam giác ABC cân tại C và có sin3 1

.2

k M

k



 Khi và chỉ khi:

3 3cos

M  cos3A cos3B cos C 3

Lời giải

Áp dụng kết quả bài tập trên với k 1

Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh các kết quả tổng quát sau:

2.1.3 Phương pháp đạo hàm

Tìm giá trị lớn nhất của M cosAcosBcos C

2 2

B C

B C A

Nhận xét: Ở bài này nếu chúng ta không thể áp dụng phương pháp vectơ để giải

được, vì nếu sử dụng phương pháp vectơ thì giá trị lớn nhất đạt được khi và chỉ khi

ABC

 đều, mà giả thiết lại cho ABC vuông hoặc có 1 góc tù Điều này cho chúng

ta thấy được một phần điểm mạnh của phương pháp đạo hàm…điểm chú ý khi chúng ta áp dụng phương pháp đạo hàm để giải bài toán cực trị trong tam giác là chuyển từ bài toán ba biến {A;B;C} về bài toán chỉ còn một biến hoặc A, hoặc B, hoặc C…

M  sinA sinB 3 sin C

Từ (3.5) và (3.6) suy ra:

4 6 sin sin 3 sin 2 cos 3 sin

Ví dụ 19 Cho tam giác ABC không có góc tù, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

sau: sin sin sin

cos cos cos

Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0;1

A A

2

A

A A

Nhận xét chung: Ở mục này, ngoài việc áp dụng các bất đẳng thức cơ bản thì

chúng ta còn phải sử dụng đồng thời các hệ thức lượng giác, các phép biến đổi tương đương, các đẳng thức và bất đẳng thức đã biết trong tam giác…

2.1.4.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Nhận xét:

 Bất đẳng thức Cauchy chỉ áp dụng được cho các số không âm

 Bất đẳng thức Cauchy rất quen thuộc đối với học sinh phổ thông, việc sử dụng nó có tốt hay không phụ thuộc vào sự linh hoạt, đòi hỏi người dùng phải chọn ra dãy số a a1, 2, ,a n n(  2)phù hợp để áp dụng

Một số hệ quả của Bất đẳng thức Cauchy

Với n số dương: a a1, 2, ,a n n(  2) ta luôn có

Quy ƣớc: Việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

thì đều được gọi chung là sử dụng bất đẳng thức Cauchy

a)

2 sin 1

2 sin 1

2 sin

1

C B

A

b)

2 cos 1

2 cos 1

2 cos

1

C B

A

c)

C B

A

C

sin

1 sin

1 sin



d)

C B

A

D

cos

1 cos

1 cos

sin2sin

32

sin12sin12

sin

1

C B A C

Nên (1)

3

8132sin12sin12sin



C B

2 sin 1

2 sin 1

2 sin



C B

A

sin2sin

2

sin2

sin2

sin6

min

C B A

C B

A

Nhận xét: Bài toán trên cũng có thể giải bằng bất đẳng thức Jensen và tổng

quát của nó như sau Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

b) MinB 2 3  ABCđều

c) MinC 2 3  ABCđều

d) MinD6ABCđều

Ví dụ 21 Cho tam giác ABC, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

.

) sin sin

(sin

sin sin sin

2

C B

A

C B A P

(sinsin

sinsin

3

C B

A C

sin sin

Nhận xét: Cùng với bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopski cũng rất

quen thuộc đối học sinh phổ thông Việc áp dụng nó đòi hỏi người sử dụng cần phải linh hoạt lựa chọn ra hai dãy số thích hợp: a a1; 2; ;a nvà b b1; ; ; 2 b n ( không cần phải điều kiện các số không âm như ở việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy)

Ví dụ 22 Cho tam giác ABC nhọn, tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

a, A=

2 sin tan

2 sin tan

2 sin

tan

C

C B

B A

b, B=

2 tan cot

2 tan cot

2 tan

C

C B

B A

Lời giải

a, Do tam giác ABC nhọn, suy ra tanA; tanB; tanC 0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy sau:

tan tan tan

sin 2 sin

tan tan

tan

2 sin tan

2 sin tan

2 sin

C B

A

C B

A C

C B

B A

sin 2

sin 2 sin A B C  và tanA tanB tanC 3 3

23

332sintan2

sintan2sin

B A

sin 2

sin 2 sin

3 3 tan tan

tan

2 sin tan

2 sin tan

2 sin tan

C B

A

C B

A

C

C B

B A

A

ABC



Ví dụ 23 Cho tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2sin 2sin sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin sin

Vậy minP     1 a b c ABCđều

Ví dụ 24 Cho tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

C B

A

F

2 cos 2

1 2

cos 2

1 2

cos 2

A

F

2cos22cos22cos2

)111

A

F

2 cos 2

cos 2

cos 6

[cos 2 6

9

2

C B

A C

2 2

] cos 2

) cos(

[ 2 ) ( cos 2

1 7

9

C B

A B

2

1 7

C

B A

C B

A

C B

A

B A

F

120 30

2 cos 2

cos 2

cos

0 cos 2

) cos(

1 ) cos(

5

6 min

2.1.4.3 Sử dụng bất đẳng thức Trêbƣsep

Nhận xét: Sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep trong chứng minh bất đẳng thức nói

chung, trong các bài toán cực trị nói riêng là một trong các phương pháp chứng minh hiệu quả Trong nhiều trường hợp nó giúp cho bài toán được giải quyết đơn giản hơn Điểm đặc biệt khi dùng bất đẳng thức Trêbưsep là nó dùng cho hai dãy số

được sắp thứ tự

Ví dụ 25 Tam giác ABC không có góc tù, tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

.coscos

coscos

cos

coscos

cos

B A

C A

C

B C

B

A E

A C

C B

C B

A

cos cos

1 cos

cos

1 cos

cos 1

cos cos

Áp dụng bất đẳng thức Trưbưsep cho hai dãy này, ta được

cos cos

1 cos

cos

1 cos

cos

1 ).

cos cos

(cos 3

A C

C B

C B

A E

)coscos

.(cos2

9

4

3.3

1

C B