Các bài toán cực trị dạng karamata trong lớp hàm khả vi

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG KARAMATA VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 16 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA... Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cựctrị của các tổng, tích cũng như các bài toán xá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Ngườiăhư ngăd năkhoaăh c:ăGS.TSKH NGUYỄNăV NăM U

ĐàăN ngă- N mă2015

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kỳ công trình nào khác.

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2015

Học viên

Huỳnh Thị Thanh Diệu

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LỒI (LÕM)

(LÕM) KHẢ VI 4

1.1.1 Định nghĩa của hàm số lồi (lõm) khả vi 4

1.1.2 Tính chất của hàm số lồi (lõm) khả vi 4

1.2 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT VỀ HÀM TỰA LỒI (LÕM) KHẢ VI 11

1.2.1 Định nghĩa của hàm số tựa lồi (lõm) khả vi 11

1.2.2 Tính chất của hàm số tựa lồi (lõm) khả vi 12

1.3 BIỂU DIỄN HÀM LỒI (LÕM) VÀ TỰA LỒI (LÕM) KHẢ VI 13

1.3.1 Biểu diễn hàm lồi (lõm) khả vi 13

1.3.2 Biểu diễn hàm tựa lồi (lõm) khả vi 14

1.4 HÀM ĐƠN ĐIỆU LIÊN TIẾP 15

CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG KARAMATA VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 16 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA 16

2.2 BẤT ĐẲNG THỨC ĐAN DẤU 20

2.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG ĐỐI VỚI HÀM LỒI 22 2.4 CÁC ĐỊNH LÍ DẠNG KARAMATA 30

2.5 MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG 38

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ DẠNG

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan trọngtrong giải tích và đại số Có nhiều dạng toán hình học, lượng giác và nhiềumôn học khác cũng đòi hỏi cần giải quyết các vấn đề cực trị và tối ưu Rất nhiều học sinh và sinh viên gặp khó khăn khi phải đối mặt với vấn

đề này Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng trong toán học, khôngchỉ là đối tượng để nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trong các bàitoán liên tục, lí thuyết rời rạc, lí thuyết phương trình Trong hầu hếtcác cuộc thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán khu vực hay quốc

tế các bài toán về bất đẳng thức cũng rất hay được đề cập và thườngthuộc loại khó và rất khó Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cựctrị của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một sốbiểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán ướclượng tương ứng

Lí thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rấtphong phú và cực kỳ đa dạng Có rất nhiều ý tưởng và cách tiếp cậnkhác nhau để giải các bài toán này Với đề tài “ Các bài toán cực trị dạngKaramata trong lớp hàm khả vi” tôi trình bày một cách khái quát nhất

về bất đẳng thức Karamata đồng thời đưa ra một số dạng bài toán có thểgiải bằng bất đẳng thức Karamata

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài “Các bài toán cực trị dạng Karamata trong lớp hàm khả vi” đượcnghiên cứu với mục đích hệ thống hóa lại các kiến thức về bất đẳng thứcKaramata và các bài toán cực trị dạng Karamata trong lớp hàm khả vi

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

− Đối tượng nghiên cứu: các tài liệu về bất đẳng thức Karamata, về

hàm lồi (lõm), tựa lồi (lõm) khả vi, một số bài toán cực trị dạng Karamatatrong đại số và lượng giác

− Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên hướng

dẫn, các bạn học viên trong lớp, và các tài liệu sưu tầm được, đồng thời

sử dụng các trang wed như: diendantoanhoc.net, math.vn,

4 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm cốt lõi nội dung kiến thức từ đósắp xếp trình bày một cách có hệ thống và khai thác các ứng dụng theo

đề tài đã chọn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng thức mata, một số ứng dụng bất đẳng thức Karamata trong đại số và lượnggiác

Kara-Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinhgiỏi ở trường Trung học Phổ thông

6 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1 Các tính chất của hàm số lồi (lõm) và tựa lồi (lõm) khả vi.1.1 Định nghĩa và tính chất về hàm lồi (lõm) khả vi

1.2 Định nghĩa và tính chất của hàm số tựa lồi (lõm) khả vi

1.3 Biểu diễn hàm lồi (lõm) và tựa lồi (lõm) khả vi

1.4 Hàm đơn điệu liên tiếp

Chương 2 Các bất đẳng thức dạng Karamata và một số bài toán liênquan

2.6 Bài toán tương tự.

Chương 3 Các bài toán cực trị dạng Karamata trong đại số và lượnggiác

3.1 Các bài toán cực trị trong lớp hàm đa thức

3.2 Các bài toán cực trị trong lớp hàm lượng giác

3.3 Các bài toán cực trị trong lớp hàm chứa căn thức

3.1 Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit

Kết luận

Tài liệu tham khảo

1.1.1 Định nghĩa của hàm lồi (lõm) khả vi.

Định nghĩa 1.1 Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi (lồi dưới ) trên tập

Nếu dấu đẳng thức trong (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nóihàm số f (x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên I(a, b)

Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm (lồi trên ) trên tập I (a, b) ⊂ R nếu với

1.1.2 Tính chất của hàm lồi (lõm) khả vi

Tính chất 1.1 Nếu f (x) lồi (lõm) trên I (a, b)thì g(x) := cf (x) là hàmlõm (lồi) trên I (a, b) khi c < 0 (c > 0)

Tính chất 1.2 Tổng hữu hạn của các hàm lồi trên đoạn I (a, b) là mộthàm lồi trên I (a, b).

Các tính chất trên đây đều dễ dàng nhận thấy

Tính chất 1.3 Nếu f (x) là hàm số liên tục và lồi trên I (a, b) và nếu

g(x) lồi và đồng biến trên tập giá trị của f (x) thì g(f (x)) là hàm lồi trên

I(a, b)

Chứng minh

Thật vậy, theo giả thiết, f (x) là hàm số liên tục trên I(a, b) nên tập giátrị của nó cũng là một tập dạng I(c, d) ⊂ R Theo giả thiết f (x) là hàmlồi trên I (a, b) nên với mọi x1, x2 ∈ I (a, b) và với mọi cặp số dương α, β

Tính chất 1.4 i Nếu f (x) là hàm số liên tục và lõm trên I (a, b) và nếu

g(x) lồi và nghịch biến trên tập giá trị của f (x) thì g(f (x)) là hàm lồitrên I (a, b)

ii Nếu f (x) là hàm số liên tục và lõm trên I (a, b) và nếu g(x) lõm vàđồng biến trên tập giá trị của f (x) thì g(f (x)) là hàm lõm trên I(a, b).iii Nếu f (x) là hàm số liên tục và lồi trên I (a, b) và nếu g(x) lõm vànghịch biến trên tập giá trị của f (x) thì g(f (x)) là hàm lõm trên I(a, b).Tính chất 1.5 Nếu f (x) là hàm số liên tục và đơn điệu thực sự (đồngbiến hoặc nghịch biến) trên I (a, b) và nếu g(x) là hàm ngược của f (x)

thì ta có các kết luận sau:

i f (x) lõm, đồng biến ⇔ g (x) lồi, đồng biến,

ii f (x) lõm, nghịch biến ⇔ g (x) lõm, nghịch biến,

iii f (x) lồi, nghịch biến ⇔ g (x) lồi, nghịch biến

Ngược lại, giả sửf′(x)là hàm đơn điệu tăng vàx1 < x < x2(x, x1, x2 ∈ I (a, b)).

Theo Định lý Lagrange, tồn tại x3, x4 với x1 < x3 < x < x4 < x2 sao cho

Về sau, ta thường sử dụng các tính chất sau:

Định lý 1.1 Nếu f (x) khả vi bậc hai trên I (a, b) thì f (x) lồi (lõm) trên

I(a, b) khi và chỉ khi f′′(x) ≥ 0 (f′′(x) ≤ 0) trên I (a, b)

Chứng minh

Suy trực tiếp từ tính chất 1.6

Định lý 1.2 Nếu f (x) lồi trên I (a, b) thì tồn tại các đạo hàm một phía

f+′ (x) và f−′ (x) với mọi x ∈ (a, b) và

f−′ (x) ≤ f′

Chứng minh

là một hàm đơn điệu tăng và khi v giảm dần tới 0 thì g(v) đơn điệu giảm

và bị chặn (theo (1.8)) nên tồn tại giới hạn một phía

Theo Định lý 1.2 thì tồn tại các đạo hàm một phía f−′ (x) và f+′ (x) với

Suy ra f (x) tại mọi điểm trong (a, b)

Nhận xét 1.2 Hàm lồi trên đoạn [a, b] có thế không liên tục tại đầu mútcủa đoạn [a, b]

Thật vậy, chẳng hạn hàm số

f (x) =



1, khix = 1

là hàm lồi trên [0, 1] nhưng không liên tục tại x = 1

Như vậy hàm lồi luôn là hàm liên tục trong khoảng đang xét Về sau, taluôn quan tâm đến các hàm số lồi và liên tục trên I (a, b) Tính chất sauđây cho phép ta dễ dàng kiểm chứng tính lồi (lõm) đối với một hàm sốcho trước

Định lý 1.4 (Jensen) Giả sử f (x) liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó điềukiện cần và đủ để hàm số f (x) lồi trên I(a, b) là

Nếu α là số vô tỷ thì β(= 1 − α) cũng là số vô tỷ Chọn dãy số hữu tỷ

dương un trong khoảng (0, 1) có giới hạn bằng α:

lim

Khi đó, hiển nhiên dãy vn := 1 − un cũng nằm trong (0, 1) và

x →∞vn = β.Theo chứng minh trên ứng với trường hợp α hữu tỷ, thì

Tiếp theo, ta đặc biệt quan tâm đến lớp con của lớp các hàm lồi Đó làlớp các hàm lồi hai lần khả vi

Định lý 1.5 Giả sử f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a, b) Khi

đó điều kiện cần và đủ để hàm số f (x) lồi trên (a, b) là

mâu thuẫn với (1.14)

Điều kiện đủ Ta sử dụng giả thiết f′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) để chứng

Thật vậy, theo Định lý Lagrange thì

f′(x) ≤ f (x) + f (x0)

, khi x > x0,và

f′(x) ≥ f (x) + f (x0)

, khi x < x0.Suy ra

1.2.1 Định nghĩa của hàm tựa lồi (lõm) khả vi

Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x) xác định trong (0, b) ⊂ (0, +∞) được gọi

là hàm tựa lồi trong khoảng đó, nếu

Định nghĩa 1.3 Hàm số f (x) xác định trong (0, b) ⊂ (0, +∞) được gọi

là hàm tựa lõm trong khoảng đó, nếu

Từ định nghĩa trên ta có ngay khẳng định

Nhận xét 1.4 Mọi hàm số f (x) lồi (lõm) trong (0, b) ⊂ (0, +∞) đều làhàm tựa lồi (lõm) trong khoảng đó

Nhận xét 1.5 Nếu hàm f (x) tựa lồi trong (0, b) ⊂ (0, +∞) thì nó làhàm tựa lồi trong khoảng (0, a) với 0 < a ≤ b.

Nhận xét 1.6 Mọi hàm f (x) tựa lồi (lõm) trong (0, b) ⊂ (0, +∞) thì

nó là hàm lồi (lõm) trong khoảng (0, a) với 0 < a ≤ b

2.1.2.2 Tính chất của hàm tựa lồi (lõm) khả vi

Định lý 1.6 Giả thiết rằng hàm f (x) có đạo hàm cấp hai và lồi trên

sẽ là một hàm tựa lồi trong (0, b)

Nhận xét 1.7 Kết luận của định lý trên vẫn đúng đối với hàm h(x)

lồi tùy ý trên



0, b2



Định lý 1.7 Cho hàm số h(x) liên tục và lồi trên



0, b2

 Xét hàm số

f (x) xác định theo công thức sau:



2h



b2

Khi đó, f (x) là một hàm tựa lồi trên (0, b)

Định lý 1.8 Để hàmf (x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa lồi trongkhoảng đó, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

i f (x) lồi trong



0, b2

,



b2





0, b2



Định lý 1.9 Để hàm f (x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa lõmtrong khoảng đó, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau đây được thỏamãn:

i f (x) lõm trên



0, b2

,



b2





0, b2



1.3 BIỂU DIỄN HÀM LỒI (LÕM) VÀ TỰA LỒI

(LÕM) KHẢ VI

1.3.1 Biểu diễn hàm lồi (lõm) khả vi

Để đơn giản cách trình bày, về sau, nếu không có chú thích đặc biệt, tachỉ xét lớp các lớp hàm lồi (lõm) khả vi bậc hai Như vậy hàm f (x) đơnđiệu tăng trong I (a, b) khi và chỉ khi

Do vậy, ta có thể phát biểu tính chất biểu diễn hàm lồi như sau:

Định lý 1.10 Hàm f (x) lồi trên I (a, b) khi và chỉ khi hàm g(x) đơnđiệu tăng trong I (a, b) và số c ∈ (a, b), sao cho

Ta có, nếu hàm f (x) là hàm lồi liên tục trên đoạn [a, b] và với α >

αf(a) + βf (b) = f (αa + βb)

thì f (x) là hàm số (đa thức) bậc nhất

Vì vậy, khi hàmf (x)lồi và khả vi trên I(a, b)thì đồ thị của nó luôn thuộcnửa mặt phẳng trên tạo nên bởi tiếp tuyến tại mỗi điểm tùy ý cho trướccủa đồ thị đó, tức là với mọi cặp x0, x ∈ I (a, b) ta đều có:

diễn đối với hàm lõm Khi hàm f (x) lõm và khả vi trên I (a, b) thì đồ thịcủa nó luôn thuộc nửa mặt phẳng dưới tạo nên bởi tiếp tuyến tại mỗi điểmtùy ý cho trước của đồ thị đó, tức là với mọi cặp x0, x ∈ I (a, b)ta đều có:

1.3.2 Biểu diễn hàm tựa lồi (lõm) khả vi

Từ định lý 1.8 và 1.9, ta có được phương pháp biểu diễn hàm tựa lồi (lõm)như sau

Hệ quả 1.1 Để hàm f (x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa lồi trongkhoảng đó, điều kiện cần và đủ là tồn tại hàm số h0(x) liên tục và lồitrong



0, b

2

sao cho

Hệ quả 1.2 Để hàm f (x) xác định trong (0, b) là một hàm tựa lõm trongkhoảng đó, điều kiện cần và đủ là tồn tại hàm số h0(x) liên tục và lõmtrong



0, b

2

sao cho

1.4 HÀM ĐƠN ĐIỆU LIÊN TIẾP

Định nghĩa 1.4 Hàm số f (x) xác định trên tập I (a, b) được gọi là hàmđơn điệu tăng trên I(a, b) nếu thỏa

f (x1) ≤ f (x2) ⇔ x1 ≤ x2,∀x1, x2 ∈ I (a, b).

Đặc biệt, khi với mọi cặp số x1, x2 ∈ I (a, b), ta đều có

f (x1) < f (x2) ⇔ x1 < x2

thì ta nói rằng, f (x) là hàm đơn điệu tăng thực sự trên I (a, b)

Ngược lại, khi

f (x1) ≥ f (x2) ⇔ x1 ≤ x2,∀x1, x2 ∈ I (a, b)

thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu giảm trên I(a, b)

Đặc biệt, khi với mọi cặp số x1, x2 ∈ I (a, b), ta đều có

CHƯƠNG 2

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG KARAMATA

VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chương này trình bày các kiến thức về bất đẳng thức Karamata và một

số bất đẳng thức dạng Karamata Chương này tham khảo trong các tài

liệu [4]

2.1 BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA

Trong mục này ta đặc biệt quan tâm đến dạng bất đẳng thức sau

(thường được gọi là bất đẳng thức Karamata) có rất nhiều ứng dụng

trong thực tiễn

Định lý 2.1 (Bất đẳng thức Karamata) Cho hai dãy số{xk, y ∈ I (a, b) , k = 1, 2,

thỏa mãn các điều kiện

một bộ số giảm, tức là

t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tn

Khi đó, để chứng minh (2.3), ta chỉ cần chứng minh rằng

Sk(x) := x1 + x2 + · · · + xk

Vì rằngf′′(x) > 0nênf′(xk) ≤ f′(xk −1).Mặt khác, doSk(x) ≥ Sk(y)(k =

Hệ quả 2.1 (Bất đẳng thức Jensen) Với mọi hàm lồi f(x) trên I(a, b) vàvới mọi xi ∈ I(a, b)(i = 1, 2, , n), ta luôn có bất đẳng thức.

Định lý 2.3 Cho hàm sốy = f (x) có đạo hàm cấp hai tại mọi x ∈ (a; b)

sao cho f′(x) ≥ 0 với mọi x∈ [a; b] và f′′(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b).

Giả sửa1, a2, , an vàx1, x2, , xn là các số ∈ [a; b], đồng thời thỏa mãncác điều kiện a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an và x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn và

là một bộ số giảm, tức là

t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tn.Khi đó ta chỉ cần chứng minh rằng

x1f′(t1) + x2f′(t2) + · · · + xnf′(tn) ≥ y1f′(t1) + y2f′(t2) + · · · + ynf′(tn)

Sử dụng biến đổi Abel

được ngay điều cần chứng minh.

Hoàn toàn tương tự , ta cũng có

Định lý 2.4 Cho hàm sốy = f (x) có đạo hàm cấp hai tại mọi x ∈ (a; b)

sao cho f′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a; b] và f′′(x) < 0 với mọi x ∈ (a; b).

Giả sửa1, a2, , an vàx1, x2, , xn là các số ∈ [a; b], đồng thời thỏa mãncác điều kiện a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an và x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn và

Định lý 2.5 Cho hàm sốy = f (x) có đạo hàm cấp hai tại mọi x ∈ (a; b)

sao chof′′(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) Giả sửa1, a2, , an vàx1, x2, , xn

là các số ∈ [a; b], đồng thời thỏa mãn các điều kiện a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an

hàm lồi (lõm) có thể mở rộng cho hàm lồi nhiều biến Cụ thể là, ừng vớimọi hàm lồi F (x1, x2, , xn), ta đều có

f (x1, x2, , xn) ≥ F (y1, y2, , yn) (2.10)Nhận xét 2.8 Có thể nói rằng định lý 2.6 cho ta một công cụ rất mạnh

để thực hiện qua trình làm đều và thuật toán dồn biến để chứng minhnhiều dạng bất đẳng thức phức tạp

Thật vậy, từ (5.9) ta có ngay hệ quả

Định lý 2.7 (Bất đẳng thức Szego)

Cho hàm số f (x) xác định và lồi trên tập [0, a]vớia > 0và cho dãy2n−1

số không âm và đơn điệu giảm

Khi đó ta có bất đẳng thức

Định lý 2.8 (Bất đẳng thức Bellman).

Giả sử hàm số f (x) xác định và lồi trên tập [0, a] với a > 0 và f (x) ≤ 0

cho dãy n số không âm và đơn điệu giảm

2.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG ĐỐI VỚI HÀM

LỒI

Trong ứng dụng, ngoài việc xây dựng các kỹ thuật biến đổi để áp dụngđược các định lý, các nhà toán học cũng rất quan tâm đến các bất đẳngthức hàm, tức là mở rộng các bất đẳng thức tổng quát cho cả lớp hàmđang xét Những thành tựu theo hướng này đã bùng nổ trong những nămgần đây Điều đó dẫn tới lượng bài tập được sang tác trở nên phong phú

và hỗn độn, thiếu tính hệ thống Vì vậy, nhu cầu về hệ thống hóa và chocác tiêu chuẩn nhận biết về tính đùng đắn của nhiều lớp bất đẳng thứcđang trở nên cấp bách

Vào năm 1965, T.Popoviciu đã chứng minh định lý sau đây

Do vậy, định lý Popoviciu cho ta thực hiện được phép cộng trái chiều

Hệ quả 2.2 Với mọi hàm lồi trên I(a, b) và với mọi x, y, z ∈ I (a, b),

Ta thu được dãy (2.10) gần đều hơn (2.11) Theo bất đẳng thức Karamata,

ta được điều phải chứng minh

(2.13)Chứng minh

Tương tự như cách chứng minh định lý Popoviciu, không mất tính tổngquát, giả thiết rằng

x ≥ y ≥ pxp+ qy + rz+ q + r ≥ z

Từ đó, ta có thể áp dụng định lý Karamata cho bộ số có trọng để thu được(2.12).

Ta nhắc lại giả thiết Karamata đối với hai bộ số sắp được như sau Tanói rằng véctơ A~ = [a1, a2, , an] với giả thiết a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an xa đềuhơn so với véctơ B~ = [b1, b2, , bn] với giả thiết b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn, vàđược kí hiệu A~ ≻ ~B, nếu

a1 ≥ b1

a1 + a2 ≥ b1 + b2

ta thấy ngay−→An −m = [a, , a, b]xa đều hơn−→Bn −m = [bm+1, bm+2, , bn]

Vậy bất đẳng thức (2.14) được suy ngay từ bất đẳng thức Karamata.Bất đẳng thức (2.15) được chứng minh tương tự bằng cách sử dụng bấtđẳng thức Jensen quen biết

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 2, ta thu được đẳng thức Giả thiết rằng n≥ 3 và bất đẳng thức

đúng với n− 1 Ta chứng minh nó đúng với n

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Karamata cho hai trường hợp.

Trường hợp 1 Khi 2a ≥ min {a1, a2, , an} + max {a1, a2, , an}

Không mất tính tổng quát, coi a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an Vậy thì a ≥ a1 + an

Trường hợp 2 Khi 2a < min {a1, a2, , an} + max {a1, a2, , an}

Không giảm tính tổng quát, coi a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an Vậy thì a ≤ a1 + a2 n.

Theo bất đẳng thức Karamata, ta cần chứng minh

Sau đây, mô tả một số áp dụng trực tiếp

Bài 2.1 Giả sửa1, a2, , anlà bộ số dương thỏa mãn điều kiệna1a2 an =

1 Chứng minh rằng khi đó, ta luôn có