Rèn luyện kĩ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy giải bài toán cực trị cơ học.. Các lí thuyết vật lí là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệtoán học và sự xuất hiện của toán học tr

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN

CỰC TRỊ TRONG CƠ HỌC VẬT LÝ 10

Người thực hiện: Lê Thị Hoa Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Vật ly

THANH HOÁ NĂM 2019

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 22.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để

2.3.1 Vận dụng công thức cộng vận tốc và định lí hàm số sin,

2.3.1.3 Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị khi sử dụng

công thức cộng vận tốc kết hợp các công thức lượng giác 102.3.2 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy giải bài toán cực trị cơ học 10

2.3.2.3 Kết luậnvà các bước để giải một bài toán cực trị sử dụng

2.3.3.3 Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất

2.3.4.3 Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng tam

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 16

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm được hội đồng giáo dục xếp loại 20

Vật lí là môn khoa học cơ bản nghiên cứu các quy luật về sự vận động của

tự nhiên và nó có mối liên hệ mật thiết với các ngành khoa học khác, đặc biệt làtoán học Các lí thuyết vật lí là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệtoán học và sự xuất hiện của toán học trong vật lí cũng thường phức tạp hơntrong các ngành khoa học khác.Trong chương trình trung học phổ thông việc sửdụng toán học vào giải các bài toán vật lí là điều không thể thiếu Nhưng việclựa chọn phương pháp nào với bài toán khó như bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10 luôn là vấn đề khó

Cực trị trong cơ học là phần khó trong dạy học chương trình phổ thôngcũng như ôn luyện hoc sinh giỏi Các em rất ngại khi làm phần bài tập này.trong khi giải quyết bài toán về cực trị trong cơ học, học sinh thường lúng túngkhi gặp các bài toán này vì đây là một dạng bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao,học sinh phải có vốn kiến thức toán học vững chắc hơn thế nữa dạng bài nàythường xuất hiện đơn lẻ, không có tính hệ thống, không có một phương phápgiải cụ thể nào

Nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ bản chất hơn các hiện tượng vật lí, cócách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điển hình trong vật lí 10 cũng như cóphương pháp lựa chọn, định hướng phương pháp giải, các bước giải cụ thể phùhợp với dạng bài đó nên tôi đã thực hiện đề tài : “Rèn luyện kĩ năng giải nhanhcác bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài“ Rèn luyện kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ họcvật lí 10” nhằm giúp các em hiểu, cũng như biết các bước làm khi sử dụng từngphương pháp giải các bài toán cực trị trong cơ học vật lý 10: sử dụng bất đẳngthức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai, công thức cộng vậntốc kết hợp với sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác Để từ đó các

em có nhìn tổng quát và biết cách nhận diện xử lý tốt các bài toán cực trị trong

cơ học vật lí 10

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Hệ thống các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình làm sáng kiến kinh nghiệm tôi đã sử dụng phương pháp:

PP nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết; PP điều tra khảo sát thực tế, thựcnghiệm sư phạm

2 Nội dung

2.1 Cơ sở ly luận

Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đạilượng vật lí nào đó, các dạng bài tập xác định khoảng cách, thời gian hay vậntốc lớn nhất hay nhỏ nhất của các vật trong chương trình vât lí 10 Muốn có mộtphương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu: công thức toánhọc đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thứcbậc hai, định lí hàm số sin, cosin trong tam giác và công thức cộng vận tốc

- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau

- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau

- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau

+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh pa rabol

+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol

Tọa độ đỉnh:

2

b x a

= − ;

4

y a

∆

= − ( ∆ = −b2 4ac)

4 Định ly hàm Sin, cos trong tam giác

+ Định ly hàm Sin:Cho ∆ ABC bất kỳ ta có:

+ Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

Ví dụ: Sin( 90 0 − α ) =Cosβ với α + β = 90 0

(cos ) α max = 1 ⇔ α = 0

(sin ) α max = ⇔ 1 0

90

α =

5 Tính tương đối của vận tốc.

Vận tốc của cùng một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau

- Công thức cộng vận tốc

v13 =v12 +v23

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

B

CA

Trước khi áp dụng sáng kiến với các em học sinh lớp 10, đặc biệt với các

em học sinh giỏi: hầu như các em không làm được và không định hướng cáchlàm với các bài toán cực trị lớp 10 Trong thực tế chưa có một hệ thống phươngpháp nào về dạng toán cực trị trong cơ học 10, các bài toán này thường khó khigặp các bài tập này các em ngại làm Và giáo viên không dạy hệ thống cácphương pháp và thường bỏ qua các dạng toán này

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Để làm tốt các bài toán về cực trị trong cơ học 10 tôi làm sáng kiến : “Rènluyện kĩ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10 ” Trong đónêu lên các phương pháp sau: sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thứcBunhiacopxki, tam thức bậc hai, công thức cộng vận tốc kết hợp với sử dụngđịnh lí hàm số sin, cosin trong tam giác

Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìmhiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí 10, qua

đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước để sử dụngphương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất

2.3.1 Vận dụng công thức cộng vận tốc và định lí hàm số sin, cosin trong tìm cực trị chuyển động

2.3.1 1 Lý thuyết

2.3.1.1.1 Tính tương đối của toạ độ

Đối với các hệ quy chiếu khác nhau thì toạ độ khác nhau

2.3.1.1.2 Tính tương đối của vận tốc

Vận tốc của cùng một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau

- Công thức cộng vận tốc

21 12

31 13

v v

v v

v v

- Nếu v12, v13 cùng phương ,cùng chiều thì độ lớn: v13 = v12 + v23

- Nếu v12, v13 cùng phương, ngược chiều thì độ lớn: v13 = v12 −v23

- Nếu v12, v13 vuông góc với nhau thì độ lớn: 2

23

2 12

+ Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

Ví dụ: Sin( 90 0 − α ) =Cosβ với α + β = 90 0

(cos ) α max = 1 ⇔ α = 0

(sin ) α max = ⇔ 1 α = 90 0

2.3.1.2 Bài tậpvận dụng

Bài 1 Hai xe chuyển động trên hai đường vuông góc với nhau, xe A đi về hướng

tây với tốc độ 50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ 30km/h Vào một thờiđiểm nào đó xe A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và 4kmvà đang tiến về phía giao điểm Tìm khoảng cách ngắn nhất giũa hai xe

Giải

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so

với vật 2, ta có:

2 1 2

1

12 v ( v ) v v

v =  + − =  −

Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa

véc tơ vận tốc v12 chính là khoảng cách

ngắn nhất giữa hai xe → dmin= BH

dmin= BH = BI sinβ = (BO - OI) sinβ =

(BO - OA.tanα ).sinβ = 1,166(km)

Bài 2 Từ hai bến A, B trên cùng 1 bờ sông

có hai ca nô cùng khởi hành Khi nước sông

không chảy do sức đẩy của động cơ chiếc ca

nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ

A→ B có V1 = 24km/h Còn chiếc ca nô chạy

từ B vuông góc với bờ có vận tốc 18km/h Quãng đường AB là 1km Hỏikhoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu

(H-2)B

CA

V1

V2

nếu nước chảy từ A → B với V3 = 6km/h (sức đẩy của các động cơ không đổi).[1]

Giải

Do dòng nước chảy từ từ A →B với

vận tốc là 6km/h nên khi canô 1 chuyển động

xuôi dòng vận tốc của nó là :

= 24 + 6 = 30km/h

- Canô 1 xuất phát từ B nhưng do bị nước

đẩy ta có hướng của vận tốc '

X với V'

X = Vx còn hướng của V'

X ngược chiều với Vx

Do đó canô 2 mặc dù chuyển động theo hướng '

2

V nhưng khi chọn mốc là canô1thì hướng chuyển động của canô lúc này là V21 hợp với AB góc α Từ đây dễdàng suy ra khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 canô có độ lớn bằng độ dài của đoạn

Thế (2) vào (1) ta được AH = AB.sinα = 1.0,6 = 0,6(km)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất của 2 canô trong quá trình chuyển động trên là

0,6km

Nhận xét: Bài này cũng giống bài 1 tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vật

trong quá trình chuyển động Tuy nhiên cách giải hoàn toàn khác nhau Về bản chất thì cùng giống nhau về hiện tượng đó khoảng cách của 2 vật bị thay đổi theo thời gian Đối với bài 1 ta lập biểu thức d (khoảng cách của 2 vật) là 1 hàm của thời gian t sau đó từ d = f(t) ta tìm được giá trị nhỏ nhất Còn bài 2 ta cũng có thể giải theo bài 1 nhưng ở đây tôi đưa ra cách giải này để học sinh tham khảo Cách giải bài này là một sự kết hợp giữa tính tương đối của vận tốc

và hình học Đó là vật 1 chuyển động nhưng ta coi là đứng yên do đó vật 2 sẽ chuyển động so với vật, 1 còn khoảng cách ngắn nhất giữa hai 2 vật thì dựa vào hình học phải là đoạn thẳng vuông góc với hướng chuyển động của vật 2.

Bài 3 Hai vật chuyển động trên hai đường đường thẳng vuông góc với nhau với

tốc độ không đổi có giá trị lần lượt v1= 30km/h, v2= 20km/h Tại thời điểmkhoàng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm s1=500m Hỏi lúc đóvật 2 cách giao điểm trên đoạn s2 bằng bao nhiêu [2]

Giải:

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so với vật 2, ta có:

2 1 2

vvà véc tơ -v2, và v12 Kẻ đường AB

vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ v12

( Theo đề bài đây là khoảng cách ngắn nhất

Bài 4 Hai vật chuyển động thẳng đều trên

hai đường thẳng tạo với nhau một

góc α =300 với tốc độ

3

1 2

v

v = và

đang hướng về phía giao điểm, tại

thời điểm khoảng cách giữa hai vật

nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm

một đoạn d1= 30 3m Hỏi vật 2

cách giao điểm một đoạn bao nhiêu?

[3]

Giải:

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có

2 1 2

1

12 v ( v ) v v

v =  + − =  −

BA ⊥v12, dmin = AB

Bài 5 Có hai vật M1 và M2 lúc đầu cách

nhau một khoảng l =2m (Hình vẽ), cùng lúc

hai vật chuyển động thẳng đều M1 chạy về B

với tốc độ

v1=10m/s, M2 chạy về C với tốc độ

v2=5m/s Tính khoảng cách ngắn nhất giữa

hai vật và thời gian để đạt được khoảng cách

này Biết góc tạo bởi hai đường α = 45 0 [4]

Giải:

Xét chuyển động tương đối của vật 1 so vật

2, ta có:

2 1 2

β sin( 180 ) sin

BN BN

sin

v v

= +

sin

2 1

2 2

2

1

2 min

v v v v

12 v

d l v

BH

Bài 6.

Ở một đoạn sông thẳng có dòng nước chảy với

vận tốc vo, một người từ vị trí A ở bờ sông bên

này muốn chèo thuyền tới B ở bờ sông bên kia

Cho AC; CB = a Tính vận tốc nhỏ nhất của

thuyền so với nước mà người này phải chèo để

có thể tới B [5]

Giải:

Ta có v1 =vo +v12 Ta biểu diễn các véc tơ vận

tốc trên hình vẽ

Vì vo không đổi nên v12 nhỏ nhất khi v12 ⊥v1 ⇒

V12= vo.sinα =

2 2

0

b a

b v

+

*/ Nhận xét:

Các bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách thiết lập phương trình, rồi sau đó lí luận theo hàm bậc hai về mặt toán học, tuy nhiên lời giải khá dài hơn

Bài 7.

Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 =

54km/h Một hành khách cách ô tô đoạn a =

400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô

tô Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào, với

vận tốc nhỏ nhất là bao nhiêu để đón được ô tô?

Giải:

Xét chuyển động tương đối của vật 2 so

vật 1, ta có:

1 2 1

Xy // AB.⇒ v2 khi v2 ⊥xy , tức là v2 ⊥AB

Tính chất đồng dạng của tam giác: DAB và AHD , ta có:

h km a

d v v

1 2

1

2 = ⇒ = =

* Nhận xét : Ở bài toán này học sinh phải lập được biểu thức tính vận tốc của

người chạy để đón ô tô Sau đó dựa vào biểu thức để tìm

giá trị nhỏ nhất của vận tốc.

Bài 8 Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l.

Chúng chuyển động cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn

lần lượt là v1, v2 Tàu A chuyển động theo hướng AC tạo với

AB góc α (hình vẽ).

a Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A

Sau bao lâu kể từ

b lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau?

c Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với v1)

thì các độ lớn vận tốc v1, v2 phải thỏa mản điều kiện gì?

Giải:

a Tàu B chuyển động với vận tốc v2 hợp với BA gócβ.

- Hai tàu gặp nhau tại M Ta có AM = v1.t, BM = v2.t

- Trong tam giác ABM:

- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với BA một góc β thỏa mãn (1)

- Cosθ = cos[1800 – (α + β )] = - cos(α + β ) = sin α sin β − cos α cos β

- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là v21 Tại thời điểm ban đầu v21 cùngphương chiều với BA Theo công thức cộng vận tốc:

1 2 13 23

2 2

2 2

2 2 cos cos cos cos β v + α βv v + αv )

β α

β α

β + = 90 0 ⇒ = 90 0 − ⇒ sin = sin( 90 0 − ) = cos

Theo (1) ta có:

1

2 2

1 sin tan cos

v

v v

d

β γ β γ α

Bước 1 : Tính vận tốc tương đối của các vật với nhau r

Bước 3 Tìm sự phụ thuộc đại lượng tìm cực trị với độ lớn v 12

2.3.2 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy giải bài toán cực trị cơ học

2.3.2.1 lý thuyết về bất đẳng thức Cauchy

v ,vật m2chuyển động với vận tốc uur

' 2

v Hãy xác định tỉ số

' 1 1

v

v để góc lệch α giữa

uur1

v và uur'

1vđạt giá trị cực đại [8]

Giải: Do hệ kín và va chạm là đàn hồi nên:

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có :

uur uur= ⇔ = +uur uur uur' '

v m m với m1>m2 thì góc lệch α đạt giá trị cực đại

Bài 2 Trên đoạn đường thẳng AB dài s=200m, một chiếc xe khởi hành từ A

chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a1 =1m/s2 sau đó chuyển động chậm dầnđều với gia tốc có độ lớn a2 =2m/s2 và dừng lại ở B Tính thời gian ngắn nhất để

xe đi từ A đến B

Giải.

Gọi s1 ,s2 là quãng đường xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc a1, a2

t1,, t2 là thời gian xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc s1, s2

ta có

1 1

1

2s t

a

=

;

2 2

2

2s t

Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân

số trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại

Bài 1 Cho cơ hệ như hình vẽ:

Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2

Hệ số ma sát giữa M và m là k1.

Tác dụng một lực Fr

lên M theo phương hợp với phương ngang một góc α .

Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M.Tính góc α tương ứng? [8]

⇒ =Chiếu lên Oy: N1 – P1 = 0 ⇒ N1 = P1

Ta có: F ms12 =k mg1

F ms =k N2 2 =k P P2 ( 1 + − 2 Fsin ) α

1 2 1 2 2

Oy

Bài 2 Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể

quanh một khối trụ khối lượng m Hỏi phải kéo dây bằng một lực Fmin, dưới góc

α bằng bao nhiêu để khối trụ quay tại chỗ Cho biết hệ số ma sát giữa khối trụvà sàn là k

Giải : Các lực tác dụng được biểu trên hình

Do khối trụ không chuyển động tịnh tiến nên

tổng hình chiếu các lực trên phương 0x, 0y bằng 0

=> F đạt min khi y đạt max

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

1 k khi tgα =k

Bài 3 Kéo một vật lên đều trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α, hệ số ma

sát k Hỏi góc β giữa vec tơ lực kéo ur

F và mặt nghiêng là bao nhiêu để lực kéo làcực tiểu.[5]

Giải: Áp dụng định luật II Newton ta có :