Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG CHU TRỌNG TRUNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ c p Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

CHU TRỌNG TRUNG

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC

TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ

BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ c p

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng d n khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Đà N ng - N m 2015

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Chu Trọng Trung

TO C C I S 42

NH T C A Ể THỨC ĐẠ SỐ .42

3.2 MỘT SỐ Ứ VÀO Ả CÁC TOÁN L N QUAN 55

K T LU N 64

T I LI U THAM KH O 65

Q T ĐỊNH GIAO ĐỀ T I LUẬN V N ản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình phổ thông các bài toán về bất đẳng thức và cựctrị đại số luôn là các dạng bài toán khó, hay và đa dạng Để giải được cácdạng toán này đòi hỏi người học phải tư duy, tìm tòi và có sự sáng tạo rấtcao, đặc biệt là cần phải có kiến thức tổng hợp

Trong các đề thi tuyển sinh đại học, đề thi học sinh giỏi quốc gia, đềthi Olympic toán khu vực và quốc tế thường có những bài toán bất đẳngthức, bài toán cực trị đại số mà lời giải có thể tìm được bằng phương pháplượng giác

Đề tài “Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bài toán cựctrị đại số” nhằm đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp

mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chất lượng giảngdạy cho học sinh trong nhà trường phổ thông Đề tài này liên quan đếncác chuyên đề như là bất đẳng thức, bài toán cực trị đại số, và một số bàitoán liên quan như phương trình, hệ phương trình và bất phương trình làhoàn toàn phù hợp với thực tế mà bản thân đang công tác

Với những lí do trên, tôi đã lựa chọn đề tài “Phương pháp lượng giáctrong bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số” cho luận văn thạc sĩ củamình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề tài

Mục đích của luận văn là nhằm hệ thống các dạng toán về bất đẳngthức và bài toán cực trị đại số có thể sử dụng phương pháp lượng giác đểgiải quyết

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là xác định được các dạng toán

về bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số có thể sử dụng phương pháplượng giác để giải quyết

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu,các tài liệu tiếng anh, các trang Wed, từ đó trao đổi với thầy hướng dẫncác kết quả đang nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các dạng toán bất đẳng thức và dạng bài toán cực trị đại số có thể

sử dụng phương pháp lượng giác để giải quyết

Dựa trên lớp các bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyểnsinh đại học, kỳ thi Olympic 30 - 4, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, các đềthi Olympic khu vực và quốc tế, từ đó đưa về các dạng toán cụ thể

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài “Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức và bài toán cựctrị đai số” nhằm đáp ứng nguyện vọng của bản thân về một phương phápphù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chấtlượng giảng dạy cho học sinh trong nhà trường phổ thông

Nội dung của luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho học sinhphổ thông cũng như những ai quan tâm đến phương pháp lượng giác đểgiải các bài toán về bất đẳng thức và bài toán cực trị đại số

6 Nội dung của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chươngChương 1 trình bày hệ thống các hệ thức lượng giác, các bất đẳngthức, và một số tính chất liên quan

Chương 2 trình bày các dạng toán về bất đẳng thức có thể sử dụngphương pháp lượng giác để giải quyết

Chương 3 trình bày các dạng toán cực trị có thể sử dụng phươngpháp lượng giác để giải quyết và một số bài toán liên quan về phươngtrình, hệ phương trình

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình củaGS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với

sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNGGIÁC

1.1.1 Tính chẵn, lẻ của hàm số

Xét hàm số f(x) với tập xác địnhD(f ) ⊂R và tập giá trị R(f ) ⊂ RĐịnh nghĩa 1.1.([1]-[3])

a) Hàm số f(x) với tập xác định D(f ) ⊂ R được gọi là hàm số chẵn

1.1.2 Tính tuần hoàn của hàm số

Nhận xét 1.2

Hàm số y = cos x, y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Hàm số

y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ T = π

1.2 CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

i) Công thức cộng

tan(x + y) = tan x + tan y

ii) Công thức nhân đôi

cos 2x = cos2x− sin2x = 2cos2x− 1 = 1 − 2sin2x (1.8)

iii) Công thức nhân ba

iv) Công thức biến đổi tích thành tổng

v) Công thức biến đổi tổng thành tích

cos x + cos y = 2 cosx+ y

1.3 MIỀN GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

- Nếu tập giá trị của t là h−π

2;

π2

ithì |sin t| ≤ 1 và cos t ≥ 0.

- Nếu tập giá trị của t là [0; π] thì |cos t| ≤ 1 và sin t ≥ 0.

- Nếu tập giá trị của t là [0; 2π] thì tập giá trị của acos t + b sin t làh

1.4.1 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin, hàmcosin

Ví dụ 1.1 Với điều kiện của biến x là:

i

Khi đó công thức lượng giác p

1 − sin2t = |cos t| = cos t

Hoặc đặt ẩn phụ là:

x = cos t, t ∈ [0; π]

Khi đó công thức lượng giác √

1 − cos2t= |sin t| = sin t

Ví dụ 1.3

i) Biểu thức đại số là 4x3− 3x Ta đặt ẩn phụ là: x = cos t, t ∈ [0; π]

Khi đó công thức lượng giác 4cos3t− 3 cos t = cos 3t

ii) Biểu thức đại số là 3x − 4x3 Ta đặt ẩn phụ là: x = sin t, t ∈

h

−π2;π

2

i

Khi đó công thức lượng giác 3 sin t − 4sin3t= sin 3t

iii) Biểu thức đại số là 2x2− 1 Ta đặt ẩn phụ là: x = cos t, t ∈ [0; π]

Khi đó công thức lượng giác 2cos2t− 1 = cos 2t

sin2 t2cos2 t2

= | tan t

2| = tan t

2.

Khi đó công thức lượng giác

tan u + tan v

1 − tan u tan v = tan(u + v).

Ví dụ 1.10

i) Biểu thức đại số là: x+ y + z = xyz Ta đặt ẩn phụ là:

x = tan α; y = tan β; z = tan γ

Với

α, β, γ ∈ −π

2;

π2



Khi đó công thức lượng giác là:

tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ

ii) Biểu thức đại số là: xy + yz + zx = 1 Ta đặt ẩn phụ là

x = tan α; y = tan β; z = tan γ

Với

α, β, γ ∈ −π

2;

π2



Khi đó công thức lượng giác là:

tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1

1 − tan α tan β =

1tan γ

⇔ tan (α + β) = tanπ2 − γ

⇔2α + 2β + 2γ = π + k2π

* Nếu cho x, y, z > 0 thì 2α + 2β + 2γ = π

Khi đó ứng với mọi hàm lồi khả vi f(x), ( f′′(x) > 0) trên I(a, b), tađều có

f(x1) + f (x2) + · · · + f(xn) ≥ f(y1) + f (y2) + · · · + f(yn) (2.4)Định lý 2.5 ([3]-[6], Bất đẳng thức Cauchy)

Cho hai dãy số a1, a2, , an và b1, b2, , bn tùy ý Ta có

(a1b1 + a2b2 + anbn)2 ≤ a21 + a22 + + a2n

b21 + b22 + + b2n

(2.5)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Dạng 2.1 Bất đẳng thức đối xứng sinh bởi hàm sin x

i) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin A + sin B + sin C ≤ 3

√3

sin A sin B sin C ≤ 3

√3

v) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin2A+ sin2B + sin2C ≤ 9

4 (2.10)

Dạng 2.2 Bất đẳng thức đối xứng sinh bởi hàm cos x

i) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

cos A + cos B + cos C ≤ 3

2 (2.11)ii) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

2 (2.12)iii) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

iv) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

8 (2.14)Dạng 2.3 Bất đẳng thức đối xứng sinh bởi hàm tan x

i) Trong mọi tam giác nhọn ABC ta đều có

ii) Trong mọi tam giác ABC ta đều có

Dạng 2.4 Bất đẳng thức đối xứng sinh bởi hàm cot x

i) Trong mọi tam giác ABC ta luôn có

ii) Trong mọi tam giác ABC ta luôn có

3√

3 (2.22)

2.2 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNGPHÁP TAM THỨC BẬC HAI

Trong trường hợp af(x) < 0 khi x ∈ (x1; x2) và af(x) > 0 khi

x < x1 hoặc x > x2

Ta nhắc lại kết quả sau

Định lý 2.7

Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho af(α) < 0 là ∆ > 0 và

x1 < α < x2 Trong đó x1 và x2 là các nghiệm của f(x) xác định theo(2.23) Hệ quả 2.1

Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c, (a 6= 0) Có ∆ = b2− 4ac,

ii) f(x) ≥ 0 với mọi giá trị x khi và chỉ khi

Lời giải Đặt f(x) = x2 − 2(2y − 1)x + 5y2 − 6y + 3

∆ = (2y − 1)2 − (5y2 − 6y + 3) = −y2 + 2y − 2 < 0, ∀y

Do đó f(x) = x2 − 2(2y − 1)x + 5y2 − 6y + 3 > 0, ∀x, y ∈R

Ví dụ 2.2 Với mọi số thực x, y Chứng minh rằng:

x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy2

Lời giải Bất phương trình đã cho tương đương với

(y2 + 1)2x2 + 4y(1 − y2)x + 4y2 ≥ 0

Đặt f(x) = (y2 + 1)2x2 + 4y(1 − y2)x + 4y2

∆ = 4y2(1 − y2)2 − 4y2(y2 + 1)2 = −16y2 ≤ 0, ∀y

Vậy x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy2,∀x, y ∈R

Ví dụ 2.3 Trong mọi tam giác ABC, chứng minh rằng:

cos A + cos B + cos C ≤ 3

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được các bất đẳng thức sau

Ví dụ 2.4 A, B, C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng:

Ví dụ 2.5 A, B, C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng:

cos A + cos B + cos C ≤ 1 +

Lời giải Cộng 3 bất đẳng thức sau, ta được điều phải chứng minh:

cos A + cos B + cos C ≤ 1 +

Lời giải Xét tam thức bậc hai:

f(x) = x2 − (y cos C + z cos B) 2x + y2 + z2 − 2yz cos A

Ta có hệ số a = 1 và

∆ = (y cos C + z cos B)2 − y2 − z2 + 2yz cos A

= −y2sin2C − z2sin2C + 2yz (cos A + cos B cos C)

= −y2sin2C − z2sin2C + 2yz sin B sin C

= −(y sin C + z cos B)2 ≤ 0

Từ đó ta suy ra f(x) ≥ 0 với mọi số thực x, y, z và mọi tam giác

10

√6.8.10 ta có

Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 − ax − 3bc + a

2

3 . Ta có( a = 1 > 0

∆ = a2 − 4a

2

36 − a33a < 0

Suy ra f(x) > 0, ∀x Vậy f(b + c) = (b + c)2−a(b+c)−3bc+a

Khi đó ta có x, y là nghiệm của phương trình:

Dạng toán 2.1

Sử dụng các đẳng thức lượng giác cơ bản, công thức biến đổi lượnggiác, miền giá trị của hàm số lượng giác và các đồng nhất thức đại số sinhbởi các hàm lượng giác

Bài toán 2.1 Cho bốn số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2 = 1

Bài toán 2.2 Cho hao số a, b thỏa mãn a2 + b2 = 1 Chứng minhrằng

Lời giải Từ điều kiện của bài toán, ta có:

2cos 2α

= 2

sin(2α − π

6)

cos β cos γ.sin(β − γ)

cos β cos γ

⇔| sin(α − β)| + | sin(β − γ)| ≥ | sin(γ − α)|

Biến đổi biểu thức vế phải ta có

| sin(γ − α)| = |sin [(α + β) + (β − γ)]|

= |sin(α − β) cos(β − γ) + sin(β − γ) cos(α − β)|

≤| sin(α − β) cos(β − γ)| + | sin(β − γ) cos(α − β)|

=| sin(α − β)|| cos(β − γ)| + | sin(β − γ)|| cos(α − β)|

≤| sin(α − β)| + | sin(β − γ)|

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Bài toán 2.11 Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh rằng

s

cd(a + c)(b + d) ≤ 1



1 + ca

s



1 + ca

⇔ cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β) ≤ 1

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cos(α − β) = 1 ⇔ α = β ⇔ c

b

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Bài toán 2.12 Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1.Chứng minh rằng

1 − zxy

1 + zxy

+ 1 − xyz

1 + xyz





+ 32

=1

2(cos α + cos β + cos γ) +

32

Bài toán 2.13 Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1.Chứng minh rằng:



2 tan

γ2

⇔

tanβ

γ2

1 − tan β

2 tan

γ2

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Bài toán 2.14 (Toán học - Tuổi trẻ tháng 9 năm 2007)

Cho a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng:

sin x; b =

1sin y; c =

1sin z.

Bất đẳng thức cần chứng minh chuyển về dạng



1sin x − sin y

 

1sin y − sin z

 

1sin z − sin x



≥



1sin x − sin x

 

1sin y − sin y

 

1sin z − sin z



(2.34)

Dễ thấy rằng

(2.34) ⇔ (1 − sin x sin y)(1 − sin y sin z)(1 − sin z sin x)

≥ (1 − sin2x)(1 − sin2y)(1 − sin2z)

⇔ (1 − sin x sin y)(1 − sin y sin z)(1 − sin z sin x) ≥ cos2x.cos2y.cos2z

Ta có

1 − sin x sin y ≥ cos(x − y) − sin x sin y = cos x cos y

1 − sin y sin z ≥ cos(y − z) − siny sin z = cos y cos z

1 − sin z sin x ≥ cos(z − x) − sinz sin x = cos z cos x

Vì x, y, z ∈ 0;π

2

inên nhân các vế tương ứng ta được điều phảichứng minh

Bài toán 2.15 Chứng minh rằng: ∀n ∈N, n ≥ 2, ta có

−1 ≤ sin2x ≤ 1 ⇒ −sin2x ≤ sinnx ≤ sin2x; ∀n > 2, n ∈ N

−1 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ − cos2x ≤ cosnx ≤ cos2x; ∀n > 2, n ∈ N

Lời giải Vì 0 < x, y, z < 1, nên ta đặt

x = tan α, y = tan β, z = tan γ; 0 < α, β, γ < π

2

Từ giả thiết xy + yz + zx = 1, ta suy ra

tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan γ = 1

Dạng toán 2.2.

Sử dụng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản

Bài toán 2.17 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức:

2√ab

Ta đưa giả thiết trở thành:

Thay vào giả thiết bài toán, ta được:

cos2A+ cos2B + cos2C + 2 cos A cos B cos C = 1

2(1 + cos 2A) +

1

2(1 + cos2B) + cos

2C + [cos(A + B) + cos(A − B)] cos C = 1

⇔ [cos(A + B) + cos C] [cos(A − B) + cos C] = 0

⇔ cos(A + B) + cos C ⇔ A + B + C = π

Như vậy, với A, B, C là ba góc của tam giác nhọn ABC

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

cos A + cos B + cos C ≤ 3

2

Đây là bất đẳng thức cơ bản, do đó dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

tam giác ABC đều, khi đó a = b = c

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.18 Cho:  x, y, z >x+ y + z = 10

2 tan

γ2

⇔

tanβ

γ2

1 − tan β

2 tan

γ2

Đây là bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.19 (Đề đề nghị Olympic 30 tháng 4, năm 2010)Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

a2 + 2

b2 + 2

c2 + 2

≥ 9 (ab + bc + ca)

cos(x + y + z) = cos x cos y cos z − cos x sin y sin z

− sin x cos y sin z − sin x sin y cos z

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

cos x cos y cos z[ cos x cos y cos z − cos(x + y + z)] ≤ 9

4

Theo bất đẳng thức AG-MG và bất đẳng thức Jensen, ta có

cos x cos y cos z ≤

Thật vậy, theo bất đẳng thức AG-MG ta có

cos4t 1 − cos2t
= 4cos

2t2

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

tan x = tan y = tan z = √1

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.20 (Korea 1998)

Theo giả thiết ta có

tanA + tan B + tan C = tan A tan B tan C

⇔ tan A + tan B = tan C.(tanA tan B − 1)

Đây là bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.21 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn

Lời giải Từ giả thiết có x, y, z ∈ (0; 1) Dặt

Thay vào giả thiết bài toán, ta được:

cos2A+ cos2B + cos2C + 2 cos A cos B cos C = 1

⇔12(1 + cos 2A) + 1

2(1 + cos2B) + cos

2C + [cos(A + B) + cos(A − B)] cos C = 1

⇔ [cos(A + B) + cos C] [cos(A − B) + cos C] = 0

Đây là bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.22 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

B

C2

 

C2



tan2A2

sin2A2

Như vậy ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

sinA2

1 + sin A

2+

sinB2

1 + sin B

2+

sinC2

Theo bất đẳng thức cơ bản trong tam giác ta có

Đưa giả thiết trở thành

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.24 (Đề tuyển sinh Đại học khối A, năm 2009)

Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z thỏa mãn

Vậy bất đẳng thức chứng minh

Bài toán 2.8 Cho hai số x, y thỏa mãn |x| ≥ 1; |y| ≥ 1 Chứng

Vậy bất đẳng thức chứng minh

Bài toán 2.9 Với số thực a, b Chứng... cos β|

= |sin α cos β + sin β cos α| = |sin(α + β)| ≤

Vậy bất đẳng thức chứng minh

Bài toán 2.7 Cho số a thỏa mãn |a| > 1 Chứng minh

a2...

sinh(α + β) − π

3

i ≤

Bất đẳng thức chứng minh

Bài toán 2.6 Cho hai số a, b thỏa mãn|a| ≥ 1; |b| ≥ 1 Chứng minh

rằng