Các bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng và không gian

Các chủ đề liên quan đến cực trị hình học đóng một vai trò nhất định trong quá trình giảng dạy, học tập môn Toán, là một trong các dạng bài toán khó đối với học sinh và cũng gây không ít

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ï&Ò

LƯU VĂN TIẾN XINH

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

ĐÀ NẴNG, 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Lưu Văn Tiến Xinh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục ti u và nội dung nghiê n c u của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiê n cứu 2

4 Phương pháp nghiê n cứu 2

5 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 4

1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG 4

1.1.1 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc 4

1.1.2 Một số kiến thức về đường tròn 4

1.1.3 Công thức tính chu vi diện tích của đa giác và hệ thức lượng trong tam giác 5

1.2 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 6

1.2.1 Quan hệ song song trong không gian 6

1.2.2 Quan hệ vuông góc trong không gian 8

1.2.3 Khoảng cách 9

1.2.4 Công thức tính thể tích khối đa diện 10

1.3 KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 10

1.3.1 Tích vô hướng giữa hai v ctơ 10

1.3.2 Tích có hướng giữa hai v ctơ 12

1.3.3 Phương trình mặt phẳng 12

1.3.4 Phương trình đường thẳng 13

CHƯƠNG 2 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG 16

2.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 16

2.1.1 Bài toán xác định vị trí điểm đường thẳng 16

2.1.2 Bài toán về khoảng cách 22

2.1.3 Bài toán về biểu thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất 27

2.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC 31

2.2.1 Bài toán về xác định độ dài đoạn thẳng 31

2.2.2 Bài toán li quan đến số đo góc 34

2.2.3 Bài toán li quan đến chu vi 37

2.2.4 Bài toán li quan đến diện tích 40

2.2.5 Bài toán về đại lượng đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất 43

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 47

3.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 47

3.1.1 Bài toán về xác định vị trí điểm đường thẳng 47

3.1.2 Bài toán về quan hệ song song và quan hệ vuông góc 51

3.1.3 Bài toán về khoảng cách 56

3.1.4 Bài toán về biểu thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất 59

3.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC 62

3.2.1 Bài toán về xác định số đo góc 62

3.2.2 Bài toán li quan đến diện tích 64

3.2.3 Bài toán li quan đến thể tích 68

3.2.4 Bài toán li quan đến mặt cầu 71

3.2.5 Bài toán về đại lượng đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất 74

3.2.6 Bài toán cực trị giải bằng phương pháp tọa độ 77

KẾT LUẬN 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI

ABC : Tam giác ABC

A,B,C : Các nh hay các góc tương ứng của tam giác

a,b,c : Độ dài các cạnh đối diện của các góc A, B, C

R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp

r : Bán kính đường tròn nội tiếp

p : Nửa chu vi tam giác

và mặt phẳng; chu vi, diện tích, thể tích; độ lớn của góc phẳng, góc nhị diện,…và các đại lượng đó thường phụ thuộc vào một hoặc nhiều điểm chuyển động

Các chủ đề liên quan đến cực trị hình học đóng một vai trò nhất định trong quá trình giảng dạy, học tập môn Toán, là một trong các dạng bài toán khó đối với học sinh và cũng gây không ít khó khăn cho các thầy cô giáo nếu không quan tâm chú ý tìm hiểu về lĩnh vực này

Là một giáo viên trung học phổ thông, tôi mong muốn tìm hiểu các vấn đề liên quan đến cực trị trong hình học nhằm nâng cao trình độ chuyên môn và

được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Các bài

toán cực trị hình học trong mặt phẳng không gian” cho luận văn Thạc

sĩ của mình

2 Mục tiêu à nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu các bài toán cực trị hình học trong hình học phẳng và hình học không gian, vận dụng các phương pháp thích hợp trong hình học sơ cấp và hình học giải tích để giải các bài toán cực trị nêu trên trong chương trình phổ thông trung học

Nội dung của đề tài được chia thành 3 chương:

Chương 1 giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của hình học phẳng

và hình học không gian liên quan đến cực trị hình học

Chương 2 trình bày các bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng

Chương 3 trình bày các bài toán cực trị hình học trong không gian

Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ minh họa và phương pháp giải một

số bài toán tiêu biểu

5 Cấu trúc của luận ăn

Ngoài phần mở đầu và kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1 Các kiến thức liên quan

Trong chương 1, luận văn trình bày:

Các khái niệm và kết quả cơ bản của hình học phẳng; hình học không gian

và hình học giải tích để làm cơ sở cho chương sau

Chương 2 Các bài toán cực trị trong hình học mặt phẳng

Trong chương 2, luận văn trình bày:

Các bài toán cực trị liên quan các tính chất hình học và đại lượng hình học trong mặt phẳng Đối với mỗi dạng toán đều có phương pháp giải chung, mỗi bài toán có lời giải và nhận xét

Chương 3 Các bài toán cực trị trong hình học không gian

Trong chương 3 trình bày:

Các bài toán cực trị liên quan các tính chất hình học và đại lượng hình học trong không gian Đối với mỗi dạng toán đều có phương pháp giải chung, mỗi bài toán có lời giải và nhận xét

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Chương này nh c lại m t s ki n thức cơ sở v hình h c phẳng, hình

họ c không gian và hình họ c giải tích có liên quan đến việc nghiên cứu trong chương tiếp theo Các nội ung trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [2], [ ], [7]

1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG

1.1.1 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đ ng gấp khúc

Khái niệm 1.1 oạn thẳng AB là con đường ngắn nhất nối hai điểm A và

B cho trước trên mặt phẳng

Ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 1.1 Tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ ba của

nó

Hệ quả 1.2 Đường gấp khúc nối hai điểm A và B cho trước luôn có độ

dài lớn hơn độ dài đoạn thẳng AB

Hệ quả 1.3 Độ dài của cung AB trên một đường tròn cho trước đi qua A

và B lớn hơn độ dài đoạn thẳng AB

1.1.2 Một số kiến thức về đ ng tròn

Định lí 1.1 Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn

Định lí 1.2 Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi

khoảng cách đến tâm nhỏ hơn

Định lí 1.3 Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và

chỉ khi góc ở tâm lớn hơn

Định lí 1.4 Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và

chỉ khi dây trương cung lớn hơn

1.1.3 Công thức tính chu , diện tích của đa giác hệ thức lượng

trong tam giác

a Công thức tính chu , diện tích của đa giác

Chu của một đa giác được tính bằng tổng độ dài các cạnh của nó Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng

với nó

Diện tích tam giác uông bằng nửa tích các cạnh góc vuông

Diện tích hình uông bằng bình phương cạnh của nó

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

Diện tích của hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao

của nó

Diện tích của hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao

tương ứng với cạnh đó

Diện tích của hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường ch o

Diện tích của đa giác bằng tổng đại số các diện tích của một số tam giác

và tứ giác

b Hệ thức lượng trong tam giác

Trong tam giác uông

Xé t tam giác ABC vuông tại A, ta có:

nh lí hàm sin a b c 2R

sinA =sinB=sinC =

Công thức tính diện tích tam giác

1.2 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1.2.1 Quan hệ song song trong không gian

a Đ ng thẳng song song với đ ng thẳng

Định nghĩa 1.1 Hai đ ng th ng song song là hai đ ng thẳng cùng n m

trong một mặt phẳng và không có điểm chung

Dựa vào tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song trong mặt phẳng ta có định lí và hệ quả sau:

Định lí 1.5 Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì

ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song

Hệ quả 1.4 Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng

song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng

đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)

b Đ ng thẳng song song với mặt phẳng

Định nghĩa 1.2 Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với

nhau nếu chúng không có điểm chung

Định lí 1.6 Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( )a và d song song với đường thẳng d’ nằm trong ( )a thì d song song với ( )a

Định lí 1.7 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )a Nếu mặt phẳng ( )b chứa a và cắt ( )a theo giao tuyến b thì b song song với a

Từ định lý 1.7 ta suy ta hệ quả sau :

Hệ quả 1.5 N u hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó

c Hai mặt phẳng song song

Định nghĩa 1.3 Hai mặt phẳng ( )a ,( )b được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí 1.8 Nếu mặt phẳng ( )a chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a,

b cùng song song với mặt phẳng ( )b thì ( )a song song với ( )b

Tính chất

Tính chất 1.1 Qua một điểm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và

chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó

Từ tính chất 1.1 ta suy ra các hệ quả sau:

Hệ quả 1.6 Nếu một đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )a thì qua

d có duy nhất một mặt phẳng song song với ( )a

Hệ quả 1.7 Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng

thứ ba thì song song với nhau

Tính chất 1.2 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng

(R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song

d Định lí Talet trong không gian

Định lí 1.9 (Định lí Ta-lét) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên

hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Định lí 1.10 (Định lí Ta-lét đảo) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a’

Lấy các điểm phân biệt A, B, C trên a và A’, B’, C’ trên a’ sao cho

A 'B' =B'C' =C'A '

Khi đó ba đ ng thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng

1.2.2 Quan hệ uông góc trong không gian

a Đ ng thẳng uông góc ới mặt phẳng

Định nghĩa đ ng thẳng uông góc ới mặt phẳng

Định nghĩa 1.4 Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt

phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó

Định lí 1.11 Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt

phẳng (P)

Liên hệ giữa quan hệ song song à quan hệ uông góc của đ ng thẳng à mặt phẳng

Tính chất 1.3

α) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì

cũng vuông góc với đường thẳng còn lại

β) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau

Góc giữa đ ng thẳng à mặt phẳng

Định nghĩa 1.5 N u đ ng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta

nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90o Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

b Hai mặt phẳng uông góc

Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa 1.6 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần

lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Hai mặt phẳng uông góc

Định nghĩa 1.7 Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

chúng bằng 90o

Định lí 1.12 Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với

một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau

Định lí 1.13 Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ

đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q)

Từ định lí 1.12 và định lí 1.13 ta suy ra các hệ quả sau:

Hệ quả 1.8 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là

điểm nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q) nằm trong mặt phẳng (P)

Hệ quả 1.9 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng

thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

1.2.3 Khoảng cách

a Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đ ng thẳng

Định nghĩa 1.8 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến

đường thẳng D) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng D)

b Khoảng cách giữa đ ng thẳng à mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Đinh nghĩa 1.9 Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song

song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P)

Định nghĩa 1.10 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng

cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

c Khoảng cách giữa hai đ ng thẳng chéo nhau

Định nghĩa 1.11 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

1.2.4 Công thức tính thể tích khối đa diện

a Thể tích của khối hộp chữ nhật

Định lí 1.14 Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích số của ba kích

thước

b Thể tích của khối chóp

Định lí 1.15 Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của

diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó

c Thể tích của khối lăng trụ

Định lí 1.16 Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy

và chiều cao của khối lăng trụ đó

1.3 KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1.3.1 Tích ô hướng giữa hai ectơ

a Góc giữa hai ectơ Cho hai vectơ a

r

và b

r khác vectơ 0

r Từ một điểm

O bất kì, vẽ các vectơ OAuuur=ar và OBuuur=br Khi đó, góc AOB có số đo nhỏ hơn

hoặc bằng p được gọi là góc giữa hai v ctơ ar và b

r Góc giữa a

r

và b

r được kí hiệu là ( )a, b

r r

b Định nghĩa tích ô hướng giữa hai ectơ

Tích vô hướng của hai v ơ ar và br là một số thực kí hiệu là a.br r được xác định bởi a.br r = a b cos a, br r ( )r r

c Tính chất của tích hướng của hai ectơ

Với ba v ctơ a,b,cr r r tùy ý và mọi số thực k ta có

d Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ ar=(x;y;z ,b) r=(x';y';z') Khi đó a.br r =x.x' y.y' z.z'+ +

1.3.2 Tích có h ng giữa hai ectơ

a Định nghĩa tích có hướng của hai ectơ

Tích có h ng của hai v ơ ur =(a; b;c) và vr=(a'; b';c') là một v ctơ kí hiệu éu;vù

b Tính chất của tích có hướng của hai ectơ

Tích có hướng giữa hai v ơ có các tính chất sau

V ơ éu;vù

ë û

r r vuông góc với cả hai v ctơ u

é ù =

ë û

r r r

khi và chỉ khi ur và vr cùng phương

Một số tính chất liên quan đến tích có hướng và tích vô hướng:

Trong không gian Oxyz mặt phẳng ( )a đi qua điểm M x ;y ;z( o o o) và có

v ctơ pháp tuyến nr=(a,b,c) (với 2 2 2

a +b +c ¹ 0) có phương trình là

a x-x +b y-y +c z-z =0 Mặt phẳng đi qua điểm A a;0;0 ,B 0; b;0 ,C 0;0;c( ) ( ) ( ) với a.b.c¹ có 0

a Phương trình tham số phương trình chính tắc

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua M x ; y ;z( o o o) và có vectơ chỉ phương nr =(a, b, c) (với 2 2 2

a + b + c ¹ 0) có phương trình tham số là:

0 0 0

(t Î  )

Trong tr ng hợp a.b.c ¹ 0thì đường thẳng d có phương trình chính tắc là:

Khoảng cách giữa hai đ ng thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2 Đường thẳng D1 đi qua M1, có vectơ chỉ phương u1

uur

và đường thẳng D2đi qua M2, có vectơ chỉ phương u2

uur,

khoảng cách giữa hai đường thẳng trên là ( ) 1 2 1 2

1 2 2 2 2 2 2 2

x x y y z zcos cos u ,u

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

x x y y z zsin cos u,n

CHƯƠNG 2 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG

Trong chương này, chúng tôi trình bày m t số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng liên quan đến các tính chất hình học như xác định vị trí điểm, đường thẳng, khoảng cách và biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

và các bài toán liên quan đến các đại lượng hình học như độ ài đoạn thẳng,

số đo góc, chu vi, ện tích…Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo ở các tài liệu [2], [ ], [4] và [5]

2.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC

2.1.1 Bài toán xác định vị trí điểm, đ ng thẳng

Bài toán 2.1 [5] Bài toán Toric lli trong tr ng hợp 0

max(A,B,C) 120<

max(A,B,C) 120< Hãy tìm trong tam giác ABC một điểm M sao cho MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất

*Phân tích và định hướng: Thông qua phép quay ta chứng minh được

1

MA+MB+MC=MA+MM'+M'A , từ đó dựa vào mối quan hệ giữa đường gấp khúc và đoạn thẳng ta có MA+MB+MC£AA1, dẫn đến lời giải bài toán

L i giải: Lấy điểm M tùy ý trong miền tam giác ABC

Ngoài ra do phép quay ( o)

R- B,60 bi n MC thành M’A1

V y MA+MB+MC=MA+MM'+M'A1 (2.1) Theo tính ch t đ ng gấp khúc, ta có:

1 1

MA+MM'+M'A £AA (2.2) Như vậy từ (2.1) và (2.2) ta đã chứng minh được rằng với mọi vị trí của M thuộc miền tam giác ABC, ta luôn có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, M, A2 thẳng hàng

Giả sử Molà vị trí của M sao cho A, Mo, A1 thẳng hàng

Bài toán 2.2[5] Cho tứ giác ABCD Tìm điểm M trên mặt phẳng chứa tứ

giác sao cho : MA+MB+MC+MD nhận giá trị nhỏ nhất

*Phân tích và định hướng:

Ta sẽ xét 2 trường hợp xảy ra: ABCD là tứ giác lồi và ABCD là tứ giác lõm Dựa vào mối quan hệ giữa đường gấp khúc và đoạn thẳng ta xác định được vị trí của điểm M để biểu thức đã cho nhận giá trị nhỏ nhất

L i giải: Xét hai khả năng sau đây:

1 ABCD là tứ giác lồi:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Lấy điểm M bất kì trong mặt phẳng chứa tứ giác

2 ABCD là tứ giác lõm:

Không mất tính tổng quát giả sử D nằm trong tam giác ABC

Lấy một điểm M tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa tam giác Khi ấy M phải thuộc một trong ba góc tạo bởi các tia DA và DB hoặc DA và DC, hoặc

DB và DC, vì thế không mất tính tổng quát lần nữa lại có thể coi M thuộc vào góc tạo bởi hai tia DA và DB Vì thế đoạn thẳng đi qua C cắt một trong hai tia nói trên, thí dụ như CM cắt tia DB tại N

Ta có : MA+MB MC+ +MD=MA+MB MN+ +NC+MD

=(MA + MN) (+ MB + MD)+NC

Suy ra : MA+MB MC+ +MD³NA + DB + NC (2.7) Dấu bằng trong (2.7) xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của AD và BD khi và chỉ khi Mº D

Hơn nữa, ta lại có: NA + NC³DA + DC (2.8) Thật vậy vì D là điểm trong của DANC, nên giả sử E là giao điểm của

Tóm lại ta đi đến kết luận sau:

1 Nếu ABCD là tứ giác lồi, min MA + MB + MC + MD( )=AC + BD

và điểm M cần tìm chính là giao điểm O của hai đường chéo AC và BD

2 Nếu ABCD là tứ giác lõm (và giả sử DÎ DABC), ta có

min MA + MB + MC + MD = DA + DB + DC và lúc đó điểm cần tìm chính là điểm D

Nhận xét : Bài toán 2.2 giải được dựa trên việc phân tích biểu thức đã cho

và sử dụng mối quan hệ giữa đường gấp khúc và đoạn thẳng

Bài toán 2.3 [3] Cho đ ng tròn (O;R), I là đi m c định ở bên trong đường tròn ( I khác O) Gọi AC và BD là hai dây bất kì cùng qua I Xác định vị trí

các dây AC và BD để AB.DA + BC.CD

AB.BC + DA.CD

*Phân tích và định hướng: Từ biểu thức của đề cho, ta biến đổi về biểu

thức đơn giản hơn Ta phát hiện được D IDC # D IAB nên ta có

HayBD AB.BC DA.CD.IB

++ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi AC nhỏ nhất và BD lớn nhất khi và chi khi AC vuông góc với OI và BD qua O

Nhận xét : Bài toán 2.3 giải được dựa trên tỉ số đồng dạng của hai tam

giác đồng dạng và tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Bài toán 2.4 [2] Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn

(P không trùng O) Xác định vị trí của dây đi qua P sao cho dây có độ dài nhỏ

nhất

*Phân tích và định hướng: Đây là bài toán khá đơn giản, dựa vào kiến

thức mối liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm ta có dây có độ dài nhỏ

nhất khi khoảng cách từ tâm đến dây lớn nhất

L i giải:

Cách 1: Gọi AB là dây vuông góc v i OP tại P và CD là dây bất kì đi qua

P (CD không trùng với AB)

Ta sẽ chứng minh CD > AB

Dựng OP ^ CD

Xét tam giác vuông OHP:

Ta có OH < OPÛCD > AB

(liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm)

Như vậy, trong các dây đi qua P, dây AB vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất

Cách 2: Xét dây AB bất kì đi qua P.Kẻ OH ^AB

Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:

AB nhỏ nhất ÛOH lớn nhất

OH = OP ÛH º P

Do đó maxOH = OP Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P

Nhận xét: Qua hai lời giải của bài toán trên ta đều vận dụng tính chất liên

hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm trong một đường tròn Nhưng lời giải cách 2 tự nhiên hơn vì mang tính chất tìm kiếm

2.1.2 Bài toán về khoảng cách

Bài toán 2.5 [2] Cho đường tròn (O) và một điểm M ở ngoài (O) Đường

thẳng kẻ từ M qua tâm O cắt đường tròn ở A và B (A là điểm nằm giữa hai điểm M và O) Chứng minh rằng : độ dài MA là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ M tới tất cả các điểm của đường tròn và độ dài MB là khoảng cách lớn nhất trong tất cả khoảng cách đó

*Phân tích và định hướng: Để chứng minh độ dài MA là khoảng cách

nhỏ nhất tới tất cả các điểm của đường tròn (O), ta chứng minh MA < MA’

v i mọi đi m A’ Î (O) và A’ khác A Theo quan hệ giữa các cạnh của một tam giác ta chứng minh được yêu cầu của bài toán

L i giải :

Để chứng minh độ dài MA là khoảng cách nhỏ nhất tới tất cả các điểm của đường tròn (O), ta chứng minh MA < MA’ với mọi điểm A’ Î (O) và A’ khác A

Xét D MA’O

Theo quan hệ giữa các cạnh của tam giác ta có MO - OA < MA’

Nhưng OA’ = OA nên MO - OA’ < MA’

Theo giả thiết A là điểm nằm giữa hai điểm M và O

nên MO = MA + AO tức là MO - OA = MA

Vì vậy MA < MA’ (đpcm)

Tương tự như vậy :

với mọi điểm B’ Î (O) và B’ khác B,

Xét tam giác MOB’ ta có : MO + OB’ > MA’

Bài toán 2.6 [5] Cho tam giác đều ABC và M là một điểm bất kỳ nằm

trong mặt phẳng chứa tam giác Gọi x, y, z là khoảng cách từ M tới các đỉnh

A, B, C; còn p, q, r là khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác

Ta xét 2 khả năng xảy ra của M

+ Nếu M trùng với một trong ba đỉnh, thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng + Nếu M không trùng với bất cứ đỉnh nào của DABC Vận dụng hệ thức Leibniz ta có :p2 +q2 +r2 =MA'2 +MB'2 +MC'2

4

= Lập luận tương tự ta dẫn đến lời giải bài toán

L i giải:

Xét hai trường hợp sau:

1) Nếu M trùng với một trong ba đỉnh, thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng (vì giả sử M º AÞ x = 0, y = z = a, p = r = 0, ở đây a là cạnh của tam giác đều suy ra

2

2 2 2 3a

4+ + = ; còn x2 +y2 +z2 =2a2suy ra (đpcm))

2) Nếu M không trùng với bất cứ đỉnh nào của DABC Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của M tương ứng trên các đường thẳng của các cạnh BC, CA, AB Gọi G’ là trọng tâm của DA’B’C’, tức là: G'A' G'B' G'C'uuuur+uuuur+uuuur=0

Theo hệ thức Leibniz ta có:

2 2 2 2 2 2

p +q +r =MA' +MB' +MC'

Dấu bằng trong (2.13) xảy ra khi và chỉ khi MºG’

Rõ ràng D AB’C’ nội tiếp trong đường tròn đường kính MA = x, và có

4

= và

2

2 3zA'B'

Bài toán 2.7 [2] Cho tam giác ABC Chứng minh rằng tổng các khoảng

cách từ A, B, C đến đường thẳng d bất kì đi qua trọng tâm của tam giác nhỏ

d không cắt cạnh BC: Gọi AM, BN, CP là các trung tuyến, G là trọng tâm của DABC và AA’, BB’, CC’ là các khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng d

Thông qua tính chất của định lí Ta lét, mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, tính chất trọng tâm của tam giác ta dễ dàng chứng minh

được AA’ + BB’ + CC’ = 2AA’£ 2AG = 4

3AM

+ Hai trường hợp còn lại ta chứng minh tương tự

L i giải: Gọi AM, BN, CP là các trung tuyến của D ABC, G là trọng tâm

V y tổng AA’ + BB’ + CC’ nhỏ hơn hoặc bằng 4

3 trung tuyến lớn nhất của D ABC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi d vuông góc với trung tuyến lớn nhất tại G và không cắt cạnh tương ứng

Nhận xét: Trong bài toán 2.7 chúng ta dựa vào tính chất của định lí Talet

và mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, tính chất trọng tâm của tam giác để chứng minh

2.1.3 Bài toán về biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài toán 2.8 [4] Cho M là một điểm tùy ý thuộc miền trong tam giác

ABC đều Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh BC, CA, AB Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta để ý thấy MA1, MB1 và MC1 lần lượt là đường cao của DMBC,

DMAC và DMAB nên liên tưởng đến công thức tính diện tích tam giác và

giả thiết ta chứng minh được MA1 MB1 MC1 a 3

vuông góc và đường xiên ta đánh giá biểu thức vừa thu gọn được đưa đến lời giải bài toán

L i giải:

L i giải 1:

Gọi D, E, F tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

Gọi SDABC, SDMBC, SDMCA, SDMAB l n lượt là diện tích của các tam giác ABC, MBC, MCA, MAB

Ta có: SDABC =SDMBC +SDMCA +SDMAB

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là tâm của tam giác đều ABC

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

3

L i giải 2: Ta có: SDABC =SDMBC +SDMCA +SDMAB

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MAuuuur+MB MCuuur+uuur= Û0r M là trọng tâm

tam giác ABC.Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

3 Nhận xét:

- Trong cách 1 ta sử dụng mối quan hệ diện tích tam giác và công thức tính độ dài đường trung tuyến để tìm lời giải của bài toán

- Trong cách 2 ta sử dụng mối quan hệ diện tích tam giác và công cụ vectơ để tìm lời giải của bài toán

Bài toán 2.9 [3] Gọi H là trực tâm tam giác ABC nhọn, ba đường cao của

tam giác ABC lần lượt là AA1, BB1, CC1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

* Phân tích à định hướng

Ta ý thấy HA1, AA1 lần lượt là đường cao của DHBC, DABC nên liên

tưởng đến công thức tính diện tích tam giác ta chứng minh được 1 1

1 2

SHC

Nhận xét: Trong bài toán 2.9 chúng ta dựa vào công thức tính diện tích tam giác và dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi biểu thức bài cho thành biểu thức chứa S1, S2, S3 Từ đó ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si để xác định giá trị lớn nhất của biểu thức Q

2.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC

2.2.1 Bài toán về xác định độ dài đoạn thẳng

Bài toán 2.10[2] Hai anh em chia tài sản là một miếng đất hình tam giác

ABC Họ muốn chia đôi diện tích miếng đất này bằng một bờ rào thẳng ngắn nhất Tính độ dài m của bờ rào này theo diện tích S của tam giác và góc nhỏ nhất a của tam giác

* Phân tích và định hướng :

Để tính độ dài m của bờ rào IK, ta vận dụng định lí hàm côsin trong

DAIK ta có IK2 =AI2 +AK2-2AI.AK.cosA=x2 +y2 -2xy cosA Để ý thấy A không đổi nên xy không đổi Từ đó ta có: IK nhỏ nhất khi và chỉ khi 

2 2

x +y nhỏ nhất ; vận dụng bất đẳng thức Cô – si và mối quan hệ giữa cạnh đáy và góc ở đỉnh của tam giác cân cùng diện tích dẫn đến lời giải bài toán

L i giải:

Bờ rào phải cắt hai cạnh của tam giác

Giả sử góc tại đỉnh đó là A , độ dài của bờ rào là IK = m và khoảng cách 

từ đỉnh của góc A tới hai đầu của bờ rào là x và y

Ta có: 2 2 2

IK =x +y -2xycosA (2.16) Đặt SAIK =S', SABC =S, ta có S' S

2

= không đổi

Do S' 1xysinA

2

= , S' và A không đổi nên xy không đổi 

Từ (2.16) ta thấy: IK nhỏ nhất khi và chỉ khi x2 + y2 nhỏ nhất

Áp dụng bất đẳng thức x2 + y2 ³2xy (hằng số) ta có x2 +y2 nhỏ nhất khi

và chỉ khi x = y

Như vậy, xét bờ rào chắn góc A thì độ dài bờ rào ngắn nhất khi và chỉ khi

Bài toán 2.11 [2] Xác định độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất chia đôi diện

tích của tam giác ABC cho trước

Từ đó dẫn đến lời giải bài toán

L i giải: Giả sử M trên AC và N trên BC, khi đó MN chia đôi diện tích

tam giác ABC

2







2 BCAsin

24.(CM.CN.sinBCA)

2 khi và chỉ khi CM = CN và BCA là góc nhỏ nhất trong tam giác 

Nhận xét: Trong Bài toán 2.11, chúng ta dựa vào công thức hàm côsin để xác định độ dài đoạn MN Qua đó ta xác định được hướng tìm giá trị nhỏ nhất đoạn MN bằng việc đưa biểu thức độ dài MN về dạng có chứa diện tích tam giác ABC

2.2.2 Bài toán liên quan đến số đo góc

Bài toán 2.12 [2] Cho hình chữ nhật ABCD Trên các cạnh BC, CD lần

lượt lấy các điểm K, M sao cho BK : KC = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1 Tìm tỉ số

Giả sử AB : BC = 1 : m (với m > 0), vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức lượng giác ta chứng minh được

L i giải: Góc KAM l n nhất khi và chỉ khi tổng số đo hai góc BAK và

DAM là nhỏ nhất Đặt BAK =x, DAM = (y 0

Bài toán 2.13 [5] Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong

DABC Chứng minh rằng ba góc MAB, MBC , MCA có ít nhất một góc nhỏ hơn hoặc bằng 300

* Phân tích và định hướng :