bai tap gioi han muc do vd mathvn com

Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?. Mệnh đề nào sau đây là đúng?. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc khoảng 3;3A. Hàm số liên tục trên .. Ta loại hai phương á

Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

 

1

1

x x

f x

x

x





 





liên tục tại x  0

A m  1 B m   2 C m   1 D m  0

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

1

1

x

x





 

f x

x

x

 0 1

f m

Câu 2: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1) Cho hàm số   2

1 cos

x x

x









 



Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A f x có đạo hàm tại   x 0 B f 2  0

C f x liên tục tại   x 0 D f x gián đoạn tại   x 0

Lời giải

Chọn D

Hàm số xác định trên 

Ta có f 0  và 1  

2

2 2

2sin

2 4

2

x x

f x



 

 

 

0

x



 nên f x gián đoạn tại   x 0 Do đó f x không có đạo hàm tại   x 0

0

x

  f x  1 cos2 x 0

x



  nên f  2 0.VậyA, B,C sai

Câu 3: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1) Cho hàm số  

2

x

x

x

 





Tìm khẳng

định đúng trong các khẳng định sau:

 I

   

2

x

f x



 



 II f x  liên tục tại x  2

III f x  gián đoạn tại x  2

A Chỉ III B Chỉ  I C Chỉ  I và  II D Chỉ  I và III

Lời giải:

Chọn C

Hàm số f x  xác định trên nửa khoảng  2; 

Ta có:

   

 

2

x

f x

x

 



lim

x

x



 

 



x

x x



 



Khẳng định  I đúng

Ta có

2

x

f x f



 

   , theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm số liên tục tại x  2 Khẳng định  II đúng, khẳng định III sai

Câu 4: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1) Tính giới hạn: 12 12 12

1

3

2

Lời giải

Chọn B

Xét dãy số  u n , với 1 12 1 12 1 12

n

u

n

, n2,n 

Ta có:

1

u      ;

u          

u              



1 2

n

n u

n



Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định 1, 2

2

n

n

n



n

Câu 5: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2) Cho hàm số  

2

x

x

x

 





Tìm

khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I

   

2

x

f x



 



 II f x  liên tục tại x  2

III f x  gián đoạn tại x  2

A Chỉ III B Chỉ  I C Chỉ  I và  II D Chỉ  I và III

Lời giải:

Chọn C

Hàm số f x  xác định trên nửa khoảng  2; 

Ta có:

   

 

2

x

f x

x

 



lim

x

x



 

 



x

x x



 



Khẳng định  I đúng

Ta có

   

    , theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm số liên tục tại x  2 Khẳng định  II đúng, khẳng định III sai

Câu 6: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2) Tính giới hạn: 12 12 12

1

3

2

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Xét dãy số  u n , với 1 12 1 12 1 12

n

u

n

Ta có:

1

u      ;

u          

;

u              



1 2

n

n u

n



Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định 1, 2

2

n

n

n



n

Cách 2:

1

  

  

1.2 3.4

u        

1.2.3 3.4.5

u            



2.3.4 2.3.4 2

n

u

n

n u

n



Câu 7: (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1)Tính 2

1

1

x

I

x





A 7

8

2

8

4

I 

Lời giải Chọn A

2 2

I

8

Câu 8: (THTT Số 2-485 tháng 11)Dãy số  u n nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng?

2018 2017 2017

2018

n

n u





n

C

1

1

2017 1

1 , 1, 2, 3

2

u











n

u

n n



Lời giải Chọn A

Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:

2017

2018 2018

n

u



2017 2017

1 2017

2018 1

n n

n



n

n

+) Đáp án C:

1

2

1

n

 

limu n 1

Cách 2:

Bước 1: Ta chứng minh  u n giảm và bị chặn dưới bởi 1

Thật vậy bằng quy nạp ta có u 1 2017 1

u  u   u    

1

n

u     n

Hơn nữa 1  

1

2

u  u  u  nên  u n là dãy giảm Suy ra  u n có giới hạn limu n a

1

a

 

+) Đáp án D:

Ta có

n

n u

1

n

n u

n

Câu 9: (THTT Số 2-485 tháng 11) Xác định giá trị thực k để hàm số

 

x







liên tục tại x 1

2

2017

k 

Lời giải Chọn B

2

f x

 

  

1

lim

x

x







1

2017

x



Mà f 1 k

Suy ra hàm số liên tục tại x 1 k2 2019

2 2 1

1

x

x ax b

a b x



S a b

bằng

Lời giải Chọn D

Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại x  nên biểu thức tử nhận 1 x  làm nghiệm, hay 1

1   a b 0

2 2

1

x

a x



Vậy 2 2

13

a b 

Câu 11: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1) Cho hàm số   3 5 khi 2



 



f x

a thì hàm số f x  liên tục tại x 2?

Lời giải:

Chọn C

Vậy hàm số liên tục tại x 2 khi a5

Câu 12: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1) Cho f x là đa thức thỏa mãn    

2

20

2









x

f x

2 2

lim

6



 



 

x

f x T

A 12

25



25



15



25



Lời giải

Chọn B

Cách 1(Đặc biệt hóa )

3

T

3 2

lim



 



x

x

lim







x

x

lim

25



x

Cách 2:

Sử dụng CASIO, nhập hàm cần tính giới hạn

aqs60Q)+5$p5RQ)d+Q)p6

Màn hình hiển thị

Thay giá trị x1,9999999 vào

r1.9999999=

Màn hình hiển thị

Thay tiếp giá trị x2, 0000001 vào

r2.0000001=

Màn hình hiển thị

Cách 3:

Theo giả thiết có lim2   20 0

2

3

6

T

 

2

lim

x

f x T







Câu 13: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1)Cho  2 

     thì giá trị của a là

một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

Lời giải Chọn D

2

5

5

x



2

5

5

x

ax



2

5

5

x

a x a

x x





5 2

a

 a 10

Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình x29x100

Câu 14: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 )Tìm giới hạn  2 

x



Lời giải Chọn D

x



2

2

2

x

I



2

2

2

x

x I



2

2 1

x

x I





3 2

I

2

1 1

4

x

x x

f x







 



Tìm tất cả

các giá trị của tham số thực m để hàm số f x  liên tục tại x 1

A m  0;1 B m 0; 1  C m  1 D m  0

Lời giải

Chọn B

x

f x

 

1

1

4

x





Để hàm số f x  liên tục tại x 1 thì 2 1 1

0

m m

 





Câu 16: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 ) Biết

1

lim

x

c b x



a

b là phân số tối giản Giá trị của a b c  bằng:

Lời giải Chọn C

Ta có



I J

Tính

I

4 2

và

3

2

J

lim

12 2

x



Do đó

1

lim

12

x

I J x



 Suy ra a  , 1 b 12, c  Vậy 0 a b c  13

Câu 17: (THTT Số 4-487 tháng 1 ) Cho hàm số  

1

4

x

x x

f x





 



, m là tham số Tìm giá trị

của m để hàm số có giới hạn tại x 0

2

2

m 

Lời giải Chọn B

 

4

f x

Để hàm số có giới hạn tạix  thì 0    

Câu 18: (THTT Số 4-487 tháng 1 ) Cho hàm số   2

1

9

x

x x

f x

x





 

 



Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

A Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc khoảng 3;3

B Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x   3

C Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  3

D Hàm số liên tục trên 

Lời giải

Chọn C

x

f x

x





3

3

không có giới hạn tại x  Ta loại hai phương án A và 3 D

Ta tiếp tục tính giới hạn

2

x x

f x



Vì    

3

1

9

     nên hàm số liên tục tại x   3

Câu 19: (SGD Ninh Bình )Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A lim 2  0

lim

2

Lời giải Chọn C

lim

     nên phương án A sai

x

nên phương án B sai

2

2 1

x

x

nên đáp án C đúng

x

nên đáp án D sai

Câu 20: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 ) Cho hàm số  

3

y f x

x

0

lim

A 1

13

11

Lời giải

Chọn B

Ta có:

3

x

x

 2

 

0

lim



 2

lim

1 1

12

12

Câu 21: (THPT Hồng Quang-Hải Dương ) Tính

lim

n

A 1

1

1

Lời giải Chọn A

Ta có: 2 2 2 2  1 2 1

6

Khi đó:

n



lim



1 6



Câu 22: (THPT Ninh Giang-Hải Dương ) Giới hạn:

5

lim

x

x x



 

  có giá trị bằng:

A 9

4

8



Lời giải Chọn A

x



5

lim

x

x x



 



 

L

n

2

2

L 

Lời giải Chọn C

Ta có 1 2 3 k    là tổng của cấp số cộng có u 1 1, d  nên 1 1 

1 2 3

2

k k

1

k k

 ,

*

k

  

L

n n



lim



Câu 24: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa )Cho hàm số

2

2

khi 1

8 khi 1

x







Có tất cả

bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại x 1?

Lời giải Chọn D

Tập xác định: D      3; 

 

1

lim



2 1

lim

x

x





    

1

lim

1

x

x





lim1 2  3 2



f  a

Hàm số đã cho liên tục tại x 1 khi    

1

4

a a







Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại x 1

Câu 25: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 ) Cho f x là một đa thức thỏa mãn    

1

16

1

x

f x x







1

16 lim

x

f x I







Hướng dẫn giải

Chọn C

1

16

1

x

f x x







  f 1 16 vì nếu f 1 16 thì  

1

16 lim

1

x

f x x





 

1

16 lim

x

f x I







 

1

16 1

lim

f x x







Câu 26: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 )Tính limn 4n2 3 38n3n 

3

Lời giải Chọn D

limn 4n  3 8n n limn 4n2 3 2n  2n38n3n

Ta có: limn 4n2 3 2n

3 lim

n



 

2

lim

4 3

n

limn 2n 8n n

2

2 3

lim

n





2 3

3

lim

12



3



Câu 27: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Biết  2   

Tính a4b ta được

Lời giải Chọn B

Ta có



2

x

b



2

x

b



2

0 3

0 2

a a

b a





 





2 3 4

a

b







 

 



Vậy a4b 5

Câu 28: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - )Cho các số thực a , b , c thỏa mãn

2

18

     Tính Pa b 5c

A. P 18 B P 12 C. P  9 D. P  5

Hướng dẫn giải Chọn B

2

x

a c x bx

ax bx cx



Điều này xảy ra

2

b

a c



 

 







(Vì nếu c  thì 0 lim  2 

Mặt khác, ta cũng có 2

18

c a

Do đó,

2 9 2

a c







 a  , 9 b  12, c  Vậy 3 Pa b 5c12

Câu 29: Giới hạn

3 3

lim

3

x

x



1

1

6

Câu 30: Cho hàm số   sin khi cos 0

f x





 



Hỏi hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián

đoạn trên khoảng 0; 2018 ? 

Câu 31: Giới hạn

3 3

lim

3

x

x



1

1

6

Lời giải Chọn D

Ta có:

3 3

lim

3

x

x





3

lim

3

x

x







6



Câu 32: Cho hàm số   sin cos 0

f x





 



neáu neáu Hỏi hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng 0; 2018 ? 

Lời giải Chọn D

Xét hàm số f x trên đoạn   0; 2, khi đó:

 

3

3

f x



 



neáu neáu

0

x





2

x





Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng 0;

2





 ;

3

;

và 3 ; 2 2





Ta xét tại

2

x 

 :

1 2

f



;

2



nên hàm số f x liên tục tại điểm  

2

x 



Ta xét tại 3

2

 

Vì    

 nên hàm số f x gián đoạn tại điểm   3

2

Do đó, trên đoạn 0; 2 hàm số chỉ gián đoạn tại điểm 3

2

Do tính chất tuần hoàn của hàm số ycosx và ysinx suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm 3

2 , 2







Vì k   nên k 0,1, 2, ,320

Vậy, hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng 0; 2018 

Câu 33: Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5, w4 3 i z  1 2i Giá trị nhỏ nhất của w là :

Câu 34: Cho các số phức z , w thỏa mãn z  5, w4 3 i z  1 2i Giá trị nhỏ nhất của w là :

Hướng dẫn giải Chọn B

4 3

i

 

4 3

i

 

Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w là đường tròn tâm I1; 2  và bán kính 5 5

Do đó min w R OI 4 5

Câu 35: Cho hàm số   2 3 2018

2

2 lim

2

x

f x f L

x







A L 2017.22018 1 B L 2019.22017  1 C L 2017.22018 1 D L 2018.22017 1

Câu 36: Cho hàm số   2 3 2018

2

2 lim

2

x

f x f L

x







A L 2017.220181 B L 2019.220171 C L 2017.220181 D L 2018.220171

Lời giải Chọn A

Ta có f x  1 2x3x2 2018 x2017x f  x  x 2x23x3 2018 x2018

2018

2018 1

2018 1

x

x



2

f x





Do đó    

2

2

2

x

f x f

x







Câu 37: (THTT Số 1-484 tháng 10 ) Đặt    2 2

f n  n  n 

Xét dãy số  u n sao cho        

       

2 4 6 2

n

u



A limn u  n 2 B lim 1

3

n

n u  C limn u  n 3 D lim 1

2

n

n u 

Lời giải

Chọn D

2 2

2 2

f n



g n

n

u

2 2

n

n

n u

Câu 38: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1) Đặt    2 2

f n  n  n  , xét dãy số  u n sao cho

       

2 4 f 6 2

n

u



3

n

n u  B limn u  n 3 C lim 1

2

n

n u  D limn u  n 2

Lời giải Chọn C

Ta có f n n2 n 12 1 n21n121

2

2

n

u





2

n

u

n



2 2 2

n

n u n

n

 

lim n u n

2 2

2 lim

n n



2

lim

2

2

Câu 39: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình

x x m x m có ba nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn x1  1 x2x3

Lời giải

Chọn B

Điều kiện cần: af  1 0 m 5 0m 5

Điều kiện đủ: với m 5 ta có

*) lim  

x f x nên tồn tại a 1 sao cho f a 0

Mặt khác f  1  m 5 0 Suy ra f a f    1 0

Do đó tồn tại x1a; 1  sao cho f x 1 0

*) f 0 m 3 0, f 1 0 Suy ra f    0 f 1 0

Do đó tồn tại x2  1; 0 sao cho f x 2 0

*) lim  

x f x nên tồn tại b0 sao cho f b 0

Mặt khác f  0 0 Suy ra f   0 f b 0

Do đó tồn tại x30;b sao cho  f x 3 0

Vậy m 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 40: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa ) Cho

7 0

lim

x

b





(a

blà phân số tối giản)

Tính tổng La b

Lời giải Chọn C

7 0

lim

x

x





x

x



0

lim

x

x





0

lim

x





0

lim

9

x



Suy ra a  , 4 b  , 9 La b 13

Trình bày lại:

Chọn A

Đặt

7 0

lim

x

L

b



thì

7

Ta có

Xét 7 

lim

x

L

x





.Đặt t 7 x Khi đó :1

7 1

x t



  



L

2

4

x L

b

a    a28,b15a b 43a b 43

Câu 41: (THTT số 6-489 tháng 3 ) Cho dãy số  u n xác định bởi u  và 1 0 u n1u n4n , 3   n 1

Biết

2019

lim

c



với a , b , c là các số nguyên dương và b 2019 Tính giá trị Sa b c 

A S   1 B S  0 C S 2017 D S 2018

Lời giải Chọn B

Ta có

1

4.1 3 4.2 3

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

n

1

2

n n

n



   2n2  , với mọi n 3 n  1

Suy ra

 

2

2018

2 2

2

2

2

2

n

n

n

Và

 

2

2018

2 4

2

4

2

4

n

n

n

lim

 

2018 2

2018 2

lim





2019

2019

1 4 1

1 4

1 2

1 2











2019 2019







2019

3



Vì 22019 2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên

2 1 3

a b c











 

 Vậy S a b c   0

Câu 42: Với n là số nguyên dương, đặt

n

S

limS n bằng

1

1

22

Câu 43: Với n là số nguyên dương, đặt

n

S

limS bằng n

1

1

22

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

1

1



 

Suy ra

n

S

Suy ra limS  n 1