1 thi online luyện tập giới hạn của dãy số có lời giải chi tiết

- Nắm vững lí thuyết về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực.. Câu 5 NB Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng -1.. THI ONLINE – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ: GIỚ

MỤC TIÊU ĐỀ THI:

- Sử dụng giới hạn của hàm số có giới hạn 0

3

lim 0, lim 0, lim 0,

hàm khác

- Nắm vững lí thuyết về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực

Cấu trúc đề thi:

20 câu hỏi trắc nghiệm bao gồm 4 cấp độ:

Câu 1 (NB) Cho un 1 4n

5n



 Khi đó lim unbằng?

A 1

4 5

1 5

Câu 2 (NB) Cho

2

n 3n u

1 4n





 Khi đó lim unbằng?

4

3 4

Câu 3 (NB) Cho

2

n 3n u

1 4n





 Khi đó lim unbằng?

4

3 4



Câu 4 (NB) Cho

n n

n n

3 5 u

5



 Khi đó lim unbằng?

Câu 5 (NB) Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng -1?

THI ONLINE – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN MÔN TOÁN LỚP 11

BIÊN SOẠN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

A

2

3

2n 3

2n 4



2 2

2n 3

2n 1



2 2

2n 3 lim 2n 1



3 2

2n 3 lim 2n 1



Câu 6 (NB) Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng ?

A

2

n 2n

5n 5n





2 n

1 n

5n 5





1 2n

5n 5n





2 n

1 n

5n 5





Câu 7 (TH) Giới hạn

n 1 n

2 3.5 5 lim

3.2 9.5

  

 bằng?

3 C 1. D 1

3



Câu 8 (TH) Giới hạn   3 2

5

2 5n n 1 lim

2 25n

 bằng?

2

Câu 9 (TH) Giới hạn

n 3n 5 9n 3 lim

2n 1

A 5

5 2



Câu 10 (TH) Giới hạn

2

4 2

2n n 4 lim

2n n 1

 

  bằng?

2

Câu 11 (TH) Giới hạn  2 

lim n  n n bằng?

A . B 1

2

2

2

2

Câu 13 (VD) Cho dãy số (u )n với

n

1.2 2.3 3.4 n n 1

 Khi đó lim unbằng?

2 C 1. D 2.

Câu 14 (VD) Cho dãy số (u )n với

n

1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1

  Khi đó lim unbằng?

A 1

1

4 C 1. D 2.

Câu 15 (VD) Cho dãy số (u )n với un 1 12 1 12 1 12

        

      Khi đó lim unbằng?

A 4

1

2 C 1. D 2.

Câu 16 (VD) Cho dãy số (u )n với   

3

n 3

2n 1 1 3n u

n 5n 1



  Khi đó lim unbằng?

5



Câu 17 (VD) Cho dãy số (u )n xác định bởi

1

n

n 1

u 1

2









 Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Dãy (u )n là dãy giảm tới 1 khi n  B Dãy (u )n là dãy tăng tới 1 khi n 

C Không tồn tại giới hạn của dãy (u )n D Cả 3 đáp án trên đều sai

Câu 18 (VD) Cho dãy số (u )n xác định bởi

1

n 1

n

1 u 2 1

2 u











Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Dãy (u )n là dãy giảm tới 1 khi n  B Dãy (u )n là dãy tăng tới 1 khi n 

C Không tồn tại giới hạn của dãy (u )n D Cả 3 đáp án trên đều sai

Câu 19 (VDC) Cho dãy số (u )n xác định bởi

1

u 1

u  u u 1 u 2 u 3 1, n 1







n

n

i 1 i

1

v

u 2







 Tính lim vnbằng?

2 D 1.

Câu 20 (VDC) Cho dãy số (u )n xác định bởi

1

2

n 1

1 u 2

u 4u u

2



 







Đặt

i

n

i 1

1 v

u



 Khẳng định

nào sau đây đúng?

A Không tồn tại giới hạn của vn B vn có giới hạn hữu hạn là 

C vn có giới hạn hữu hạn và lim vn 0 D vn có giới hạn hữu hạn và lim vn 6

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN : BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

11 B 12 B 13 C 14 A 15 B 16 A 17 A 18 B 19 C 20 D

Câu 1

Phương pháp:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho n

Cách giải:

n

1 4



Chọn B

Câu 2

Phương pháp:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho n2

Cách giải:

2 2

2 n

3 1

1

4 n





Chọn B

Câu 3

Phương pháp:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho n3

Cách giải:

3

3 n

1 3

n 3n n n 0

1

n





Chọn A

Câu 4

Phương pháp:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho 5n

Cách giải:

n n n

n

n

3 1

  

 

Chọn B

Câu 5

Phương pháp:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho bậc cao nhất của tử và mẫu

Cách giải:

2

3

3

2

2

2

2

2

3

3

2 3

4

2 n 3 2

1

2 n 3 2

1

n 3 2

2 1 2n 1

n n











Chọn B

Câu 6

Phương pháp:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho n2

Cách giải:

2

2

2

2 2

2

2 1

5

n 1 1

5 5 5n 5

n n

1 2

1 2n n n 0

5

n 1 1

5 5 5n 5

n n













Chọn B

Câu 7

Phương pháp:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho 5n

Cách giải:

n

n

n

2 3 5

3 9 5

 

Chọn D

Câu 8

Phương pháp:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho 5

n

Cách giải:

5

5

5 5

(2 5n) (n 1) 5 1

2

2 25n

25 n n



Chọn C

Câu 9

Phương pháp:

- Nhân liên hợp,

- Chia cả tử mẫu của phân thức cho n2

Cách giải:

Cách 1:

2

n 3n 5 9n 3 n 3n 5 9n 3

n 3n 5 9n 3

(n 3n 5) (9n 3) 8n 3n 8

n 3n 5 9n 3 (2n 1) n 3n 5 9n 3 (2n 1)

3 8 8

8

n n

4.2

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n

1

2 n

Chọn D

Câu 10

Phương pháp:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho n2

Cách giải:

4 2

2 4

1 4 2

2n n 1

2

n n

 

Chọn B

Câu 11

Phương pháp:

- Nhân liên hợp,

- Chia cả tử mẫu của phân thức cho n

Cách giải:

2

2 2 1

n

 

Chọn B

Câu 12

Phương pháp:

- Nhân liên hợp,

- Chia cả tử mẫu của phân thức cho n

Cách giải:

n n 1 n 1 n n 1 n 1 lim n n 1 n 1 lim

n n 1 n 1

2

n n 1 n 1 n n 1 n 1

Chọn B

Chú ý và sai lầm: Nhiều học sinh có lời giải như sau:

lim n n 1 n 1 lim n 1 1 n 1 1 0

  , đây là 1 lời giải sai Lưu ý rằng chúng

ta không định nghĩa giới hạn 0 0 

Câu 13

Phương pháp:

- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn

Cách giải:

   

n

n

1.2 2.3 3.4 n n 1 1.2 2.3 3.4 n n 1

2 2 3 3 4 n n 1 n 1

1 lim u lim 1 1

n 1



Chọn C

Câu 14

Phương pháp:

- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn

Cách giải:

n

n

2n 1 2n 1

1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 2 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1

2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 2 2n 1

lim u lim 1

2 2n 1 2



Chọn A

Câu 15

Phương pháp:

- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn

Cách giải:

           

2

n

2 2

2 2

2 1 3 1 n 1

1.3 2.4 3.5 4.6 n 1 n 1 n 1

1 1

lim u lim lim





Chọn B

Câu 16

Phương pháp:

- Chia cả tử mẫu của phân thức cho n2.

Cách giải:

   2

2

3 3

6 3

3 5 6

6

1 5 1

n 5n 1 n 5n 1 n 5n 1

n n n n

Chọn A

Chú ý và sai lầm: Khi chia cả tử và mẫu cho n2 thì dưới mẫu ta có

3

, nhiều học sinh

nhầm lẫn không cho n2 vào trong căn bậc ba mà chỉ thực hiện phép chia

3 3 2

n 5n 1 n

Câu 17

Phương pháp:

- Tính u u2, 3, , từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số

- Rút ra nhận xét

Cách giải:

1

2

3

2 1 3 2 1

u

2 2 2

3

1

5 2 1

2

u

2 4 2

5

1

9 2 1

4

u

2 8 2

Chứng minh bằng quy nạp: n n

n 1

2 1

u , n 1; 2; (*)

2





* Với n1:

1

1

u 1 2 1 2 1 u

   : (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với n k 1, tức là

k

2 1 u

2



 ta chứng minh (*) đúng với nk , tức là cần chứng minh

k 1

k 1 k 1

2 1

u

2







Ta có :

k k 1

k

k

2 1 2 1 2

1

u





Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*)

Như vậy, công thức tổng quát của dãy (u )n là:

n 1

n 1

u 1 , n 1; 2; (*)





Từ (*) ta có n 1 n n n 1 n n 1  n

1

2 

  (u )n là dãy giảm tới 1 khi n 

Chọn A

Câu 18

Phương pháp:

- Tính u u2, 3, , từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số

- Rút ra nhận xét

Cách giải:

1

n

n 1

n

1

u

2

(u ) :

1

u , (n 1)

2 u











2

3

u

2

2 2

u

2

3 3









Chứng minh bằng quy nạp: un n , n 1; 2; (*)

n 1



* Với n 1,n 2 : (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với nk, tức là uk k

k 1



 , ta chứng minh (*) đúng với n k 1 , tức là cần chứng minh

k 1

k 1

u

k 2









Ta có: k 1

k

u

k 2k 2 k

k 1 k 1





Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*) đúng với mọi n = 1, 2, …

Như vậy, công thức tổng quát của dãy (u )n là: un n , n 1; 2; (*)

n 1



Từ (*) ta có



n

lim u lim lim 1

1

n 1 1

n

  (u )n là dãy tăng tới 1 khi n 

Chọn B

Câu 19

Phương pháp:

- Biến đổi, rút gọn biểu thứcv n rồi tính giới hạn

Cách giải:

u  1.2.3.4 1 5, u 0, n 1; 2;

Ta có:

2

2

1

2

u u u 1 u 2 u 3 1 u 3u u 3u 2 1

u 3u 2 u 3u 1 u 3u 1 u 3u 1

u 1 u 3u 2 u 1 u 2

u 1 u 1 u 2 u 1 u 2

u 2 u 1 u 1









Do đó: n n n

v

u 2 u 1 u 1 u 1 u 1 2 u 1

u  u u 3u  1 u  u 1  0 u là dãy tăng

lim u  lim u    a 0 a a 3a 1 a 2a 1 0    a 1 ktm lim u  

n

n 1

Chọn C

Câu 20

Phương pháp:

- Biến đổi, rút gọn biểu thứcv n rồi tính giới hạn

Cách giải:

Xét 2n n n 2n n n 2n n  



Giả sử lim un a thì a0 và 2 2 2

2

a 4a a

2

         (vô lý)

Suy ra lim un  

2

n n n 1 n 1 n 1 n 1 n n n 1

2

n n n 1 n 1 n

u 4u u

2 4u 4u u u u 4u u u 1 u

 



Do đó

n

n

n

1 lim v lim 6 6 0 6

u



Chọn D