Một số kinh nghiệm giúp học sinh tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số AKIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa giới hạn của hàm số: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , mà lim(xn)=a đều có limf(xn¬)=L.Kí hiệu: . 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: thì:
Trang 1Một số kinh nghiệm giúp học sinh tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số
A-KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa giới hạn của hàm số:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là
L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , n * mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:lim
2 Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b Định lý 2:Nếu các giới hạn:
x a f x L x a g x M thì:
x a f x g x x a f x x a g x L M
lim
lim
x a
x a
x a
f x
M
c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa
điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)h(x) x K x a, và
2 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều
có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu:
lim
x a f x
b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:lim
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a
*
n
, thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :lim
x a f x
Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a n * thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: lim
x a f x
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trang 2Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường hợp tìm giới hạn cơ bản sau:
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: lim
x a f x
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số :
lim
Ba là: Giới hạn một bên của hàm số: lim , lim
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào giá trị mà
x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải) Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định.Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư duy sau:
Trang 3Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong sơ đồ
tư duy
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA
lim
x a f x
x a f x f a
Phương pháp:
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x) Kết luận:
x a f x f a
Quan sát chia trường hợp
Giới hạn vô cực
Dạng 1 : Dạng 2 :() Dạng 3 :()
Dạng 2
Giới hạn một bên
ĐỀ BÀI
Giới hạn tại
một điểm:
Dạng 1 : Tính
trực tiếp
lim ( )
x a f x f a
Trang 4Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
1/ Lim2 x 3
2
3/
3
1 Lim
2
x
x x
4/
2 2
x -1
2x + 3x+1 Lim
-x + 4x + 2
BÀI GIẢI
1/Lim2 x 3 2 2 3 7
2
2
3
3/ Lim
x
x
x
0 2 1 4 1
1 1 3 1 2 2 x 4 x
1 x 3 x 2
2 2
2
1
Bài tập tương tự:
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
1 x -1 lim(x +2x+1) 2
2
x 1
lim(x+2 x +1)
x 3
lim 3 - 4x
4
x 1
x +1
lim
2x - 1
2 5
x -1
x + x+1 lim
2x + 3
0
0
x a
f x
g x (ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x) Ta
thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0 nên
x a
f x
g x lúc này có dạng
0
0
Phương pháp:
Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và mẫu số
cho (x-a) hoặc (x-a)2
Chú ý 1:
Nếu f x( )ax2 bx c có 2 nghiệm x x thì ta phân tích1, 2
f x ax bx c a x x x x
Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
Trang 5
2 2
Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu
cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp
3
2
3
2
Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:
2
3 2
2
1 3
1
2
1
2
2 2
7 / Lim
7 3
x x
x
x
x x
x x
x x
Bài giải.
2
Trang 6
2 2
2 2
2 3
2
2
x
x x x
x
4
x
x
x x
2
x
x
2 2
4 2
2 2
x
x
Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:
Trang 7
4 2
3
2
3 27
1 1
4 /
5 /
1 5
6 /
0
2
2
x x
x
x x
1+ 2x Lim
x
1 1
2 2 6
x
13 / Lim
x
2 2
3 1
3 2
2
x
x
x x
x
1
3 2 1
x m x x
x
L0 .
x a
f x
g x (với L0 ) Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x)
và g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên
x a
f x
g x lúc này có dạng L0 .
Phương pháp:
Bước 1: Tínhlim ( )
x a f x L (với L 0 )
Bước 2: : Tínhlim ( ) 0
x a g x và xét dấu biểu thức g(x) với x a
Trang 8Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận
lim
x a
f x
g x
lim ( )
x a f x L
lim ( ) 0
lim
x a
f x
g x
Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
Bài giải
2
4
2
1/ lim
4
x
x
x
Ta có:
4
4
2 4
2 lim
4
x
x
x
x
x Vay
x
2
3
5 2/ lim
3
x
x
x
Ta có:
3
3
2 4
5 lim
3
x
x
x
x
x Vay
x
2 2 2
lim
x
x
Trang 9Ta có:
2
2
3 2
lim
x
x
x
x
x Vay
Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
3
2
x
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ:
lim
x f x
x
f x
g x
Phương pháp:
Chia tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu Chú ý rằng nếu
x thì coi như x>0, nếu x thì coi như x < 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi
căn bậc chẵn
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:
2
2 1
1
x x
k
k x x
x
Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
Lim
2
x
x x
1 Lim
1
x
x x
Trang 103/ Lim 2 1
1
x
x x
4/ Lim 2 1
1
x
x x
BÀI GIẢI
1/
2 2
x
x x
2/
2
2
2
2 2
1 1
x
x x
2
2
1
1
1
1
1
x
x x
x
x x
2
2
1
1
1
1
1
x
x x
x
x x
Bài tập tương tự:
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:
Trang 11
5
3 2
2
3 2
3
3
2
1 14
1
x
x
x x
x
2
4 2 3 2
1 2
x
x im
x