087 đề HSG toán 7 trường tam hưng 2016 2017

5đ a Cho tam giác ABC đường cao , AH Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các.. tam giác vuông cân ABD ACE, , ABDACE 900 1 Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K.

THCS TAM HƯNG ĐỀ THI OLYMPIC

MÔN TOÁN LỚP 7 Năm học 2016-2017

Bài 1 (3đ) Tìm x sao cho:

a x

 

Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên m n, thỏa mãn:

a) 2m2n 2048

b) 3m4nmn16

Bài 3 (4d)

a) Cho x y z t, , , là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:

,

y xz z  yt và y3z3  t3 0 Chứng minh:

3 3 3

y z x x

y z t t

 

b) Cho x   y z a b x;         y z b c; x y z c a

Chứng minh : x  y z 0

Bài 4.(4đ)

a) Cho đa thức

  2015 2014 2013 2012

2000 2000 2000 2000 1

Tính giá trị của đa thức tại x1999

b) Cho đa thức   2

f x ax bxc

Chứng tỏ rằng: f    2 f 3 0nếu 13a b 2c0

Bài 5 (5đ)

a) Cho tam giác ABC đường cao , AH Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD ACE, , ABDACE 900

1) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K Chứng minh CD vuông góc với BK

2) Chứng minh ba đường thẳng AH BE CD, , đồng quy

b) Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho ABCD.Lấy điểm

M tùy ý trong mặt phẳng Chứng minh rằng: MA MD MBMC

ĐÁP ÁN

Bài 1

a) Chỉ rõ được x 5 0,1,2

1 5 4

5 1

1 5 6

5 2

2 5 3

x x

x x x

x

    

   



        



    



       

 b) Lý luận để có x2 20x2 15x2 10x2 5

Xét đủ 2 trường hợp:

- Trường hợp có 1 số âm tính được x 4

- Trường hợp có 3 số âm tính được: x 3

Bài 2

11 11 11 11 11

11 11 11

11 11

12

11

a

m n





 b) Biến đổi được 3n m 4 4 1.44.1 2.2         4 1 1 4 2 2

Giải từng trường hợp, suy ra kết luận

m n,       8,2 ; 0,4 ; 5; 1 ; 3,7 ; 6,1 ; 2,5        

Bài 3

a) Từ giả thiết suy ra x y z

y  z t

Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có:

x y z x

y z t y

  , mặt khác ta có:

3

x x x x x y z x

y  y y y  y z t  t

Suy ra được điều phải chứng minh

b) Cộng vế với vế suy ra điều cần chứng minh

Bài 4

  2015   2014   2013   2012  

Thay 1999x,ta được:

2015 2015 2014 2014 2013 2013 2

f x x x x x x x  x  x

Tính được kết quả và kết luận f 19991998

          2

Bài 5

a)

1) Vẽ hình và chứng minh đến đúng hết

2) Chỉ ra được AH BE CD là ba đường cao của BCK, , 

K

D

E

H B

C A

b)

Xét 2 trường hợp

*Trường hợp điểm M AD thì ta có: MA MD MBMC

*Trường hợp MAD

Gọi I là trung điểm của BC

Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM IN IB; IC

Vì ABCDABIBICCDAI ND

Chứng minh được IMA IND c g c( )MAND

Điểm C nằm trong MDN chứng minh được NDMDNCMC

N

I

M

Chứng minh IBM  ICN c g c( )MAMDMBMC