032 đề HSG toán 7 trường giao tân 2016 2017

điểm I trên đoạn FC sao cho FI  AH.Gọi K là giao điểm của FH và AI.

TRƯỜNG THCS

GIAO TÂN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2016-2017 Môn: TOÁN 7 Bài 1 (4 điểm)

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

2 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện:

2.2 3.2 4.2   n1 2n n.2n 2n

Bài 2 (5 điểm)

1 Tìm các số , ,x y z biết:

2 Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên , ,x y z thỏa mãn :

2017

x     y y z z x

Bài 3 (3 điểm)

Chứng minh rằng: 222 23 2425  2 99 2100chia hết cho 31

Bài 4 (3 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   2 2

P x y  y x  xy

Bài 5 (5 điểm)

Cho ABC có 3 góc nhọn, ABACBC.Các tia phân giác của góc A và góc C

cắt nhau tại O Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC Lấy

điểm I trên đoạn FC sao cho FI  AH.Gọi K là giao điểm của FH và AI

a) Chứng minh FCH cân

b) Chứng minh AKKI

c) Chứng minh 3 điểm , ,B O K thẳng hàng

ĐÁP ÁN Bài 1

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1

100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100

A

A

A

A

           



1

A







   

2.2 3.2 4.2   n1 2n n.2n 2n (1)

Đặt

2.2 3.2 4.2 1 2 2

2 2 2.2 3.2 4.2 1 2 2

2.2 3.2 4.2 1 2 2

B











2 2 2 2.2

n n





2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n

n

C

C

C







B    n  

2n 2 n.2n 2 2n n.2n n 1 2n

Vậy từ (1) ta có:   1 34

1 2n 2n

n   

 

n

n

 



Vậy n2331

Bài 2

1 Xét x  0 y 0,z 0 2y4z0(vô lý)

Suy ra x0;y0;z0

Khi đó từ đề suy ra :

2y 4x 4z 6y 6x 2z 2 4 6

2

Đặt 2 4 6 1 

0

k

x   y z k  thì

Suy ra : x2 ;k y4 ;k z6kvà x2 y2 z2 28 (3)k

Thay x2 ,k y4 ,k z6kvào (3) ta được:

2

0( )

( ) 2

k ktm







 



2

k   x y z 

Vậy x1,y2,z3

2.2 Ta có: x       y y z z x x y x y  y z y   z z x zx

Với mọi số nguyên x ta lại có 2 0

x x

x







Suy ra x  x luôn là số chẵn với mọi số nguyên x

Từ đó ta có:

   



  



   



là các số chẵn với mọi số nguyên , ,x y z

Suy ra x y x y  y z y   z z x zxlà một số chẵn với mọi số nguyên , ,x y z

Hay x    y y z z xlà một số chẵn với mọi số nguyên , ,x y z

Do đó, không thể tìm được số nguyên , ,x y z thỏa mãn:

x    y y z z x=2017

Bài 3

2 2 2 2 2 2 2

D        (có 100 số hạng)

     (có 20 nhóm)

2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2.31 2 31 2 31

D

D

31 2 2 2

D    chia hết cho 31

Vậy D 2 22 23 2425 2 992100chia hết cho 31

Bài 4

Ta có:   2 2

P x y  y x  xy

2

Ta thấy  2

2x5y 0với mọi ,x y nên  2

8 2x5y 0với mọi ,x y

90 0

xy  với mọi ,x y

Khi đó  2

8 2x5y  xy90 0với mọi ,x y

Suy ra  2

8 2x 5y xy 90 0

     với mọi ,x y

Hạy P0với mọi ,x y

Dấu " " xảy ra khi  2

5 2

x y



 

Đặt

5 2

x y

k

  ta được x5 ,k y2k

Mà xy90nên 5 2 90 2 9 3

3

k

k







Nếu k   3 x 15,y6

Nếu k     3 x 15,y 6

MaxP





Bài 5

a) Chứng minh

Ta có CHOCFO90 (0 vì OH  AC OF, BC)

Xét CHO vuông và CFO vuông có: OC chung; HCOFCO OC( là phân giác )C Vậy CHO  CFO(cạnh huyền – góc nhọn)

  (hai cạnh tương ứng) Vậy FCH cân tại C

b) Qua I vẽ IG/ /AC G FH

E

G K

I

H

F O A

Ta có FCH cân tại C (cmt)CHFCFH(1)

Mà CHF FGI(đồng vị, IG/ /AC) (2)

Từ (1) và (2) CFH FGI hay IFGIGF , Vậy IFG cân tại I

FI GI

  , mặt khác : FI  AHnên GI AH(FI)

Ta lại có : IGK  AHK HAK; GIK(so le trong , IG/ /AC )

Xét AHK và IGK có: IGK  AHK cmt GI( );  AH cmt HAK( ); GIK cmt( )

c) Vẽ OEAB tại E, Chứng minh được BO là tia phân giác của ABC (*) Chứng minh được ABBI

Chứng minh được: ABK  IBC c c c( )ABK IBK

Từ đó suy ra BK lầ tia phân giác của ABC **

Từ (*) và (**) suy ra tia BK BO trùng nhau ,

Hay B O K là ba điểm thẳng hàng , ,