040 đề HSG toán 7 huyện triệu sơn 2015 2016

Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ACN  ACO... DE AM AHAH là đường cao của ABC Vậy DE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất M trùng với H Câu 5.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRIỆU SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC: 2015-2016 Câu 1 (5,0 điểm)

Tính giá trị các biểu thức sau:

2 1.3 2.4 3.5 2015.2017

2

b B x  x với 1

2

x  c) 3 2   2 2  2015 0

2016

C x y x y x y  y xx y    biết x y 0

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Tìm ,x y biết:

2 1

6

2 Tìm , ,x y z biết 3 2 2 4 4 3

x y z x y z

  và x  y z 18

Câu 3 (5,0 điểm)

1 Tìm các số nguyên ,x y biết x2xy  y 3 0

2 Cho đa thức   10 9 8 7

f x  x  x  x  x   x Tính f  100

3 Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được ba số , ,x y z là độ dài ba cạnh của một tam giác

Câu 4 (5,0 điểm)

1 Cho ABC có B C 60 ,0 phân giác AD Trên AD lấy điểm , O trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho ABM  ABO Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ACN  ACO Chứng minh rằng

a) AM  AN

b) MONlà tam giác đều

2 Cho tam giác ABC vuông ở , A điểm M nằm giữa B và C Gọi , D E thứ tự là

hình chiếu của M trên AC AB Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất ,

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho x y 1,x0,y0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

P

  ( a và b là

hằng số dương đã cho)

ĐÁP ÁN Câu 1

     

     

       

          

      

          2016

2017

 

 

b) Vì

1

1 2

2

x x

x

 



  

  



Với

2

2 3 5 4

x  B     

 

  Với

2

x   B      

Vậy B4khi 1

2

x và B7khi 1

2

x 

0

3 2

2015

2016

 

        

         

Câu 2

1.Vì

2 1

2 0 ; 3 12 0

6

       

2 1

6

Theo đề bài thì

           

Khi đó ta có: 2 1 0

6

12

y   x y 

2.Ta có : 3 2 2 4 4 3

x y  z x  y z

Suy ra 4 3 2  3 2 4  2 4 3  12 8 6 12 8 6

0

x y z x y z x y z x y z

3 2

0 3 2

0 2 4









Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

18

2 3 4 2 3 4 9

 

 

Câu 3

1) Ta có : x2xy  y 3 0

2 1 2 1 2 5 2 1 1 2 5

Lập bảng:

Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 2) Ta có:

 

100 100 100 101 101

100 1

f

3) Giả sử 8 số nguyên dương tùy ý đã cho là a a a1, 2, 3, ,a8với

1 a a  a 20

Nhận thấy rằng với ba số dương a b c thỏa mãn a, ,  b c và b c athì a b c là độ , , dài ba cạnh của một tam giác Từ đó, ta thấy nếu trong các số a a a1, 2, 3, ,a8không chọn được 3 số là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

6 7 8

5 6 7

4 5 6

3 4 5

2 3 4

1 2 3

1 1 2

2 1 3

5 3 8

8 5 13

13 8 21

    

    

    

    

    

    

(trái với giả thiết)

Vậy điều giả sử trên là sai.Do đó, trong 8 số nguyên trên đã cho luôn chọn được 3 số , ,

x y z là độ dài ba cạnh của một tam giác

Câu 4

1

a) ABCcó B C 600nên A1200

Do AD là tia phân giác nên A1 A2 60 ,0 ta lại có A3  A4 1800  A 600

    



     



Từ (1) và (2) suy ra AM  AN

b) AOM  ON c g c( )OM ON(3)

( ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra OM ON NM MON là tam giác đều

3 2 1

M

B

C N

D

2

DE AM AH(AH là đường cao của ABC)

Vậy DE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất M trùng với H

Câu 5

Ta có:

2 2

 

         

 

   

 

Các số dương

2

a y

x và

2

b x

y có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ

1



Suy ra y b

a b



 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2

P ab khi x a ;y b

H

D E

A

B

C M