Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N.. Chứng minh: HMN cõn.. Khi đó x nhận giá trị nguyên nào?. ĐỀ CHÍNH THỨC... ĐÁP ÁN Bài 1: Thực hiện phép tính 6 điểm... Gọi
Trang 1UBND HUYỆN ANH SƠN GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
Mụn: Toỏn Năm học: 2015-2016 Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1 : Cho biểu thức A =
1
1
x
x
a Tính giá trị của A tại x =
9
16
và x =
9
25
b Tìm giá trị của x để A =5
Bài 2 : Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần l-ợt độ dài từng
hai đ-ờng cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là :5 : 7 : 8
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức
d
c b
a Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; K là trung điểm của BC Trờn tia
đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA
a Chứng minh: CD // AB
b Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N Chứng minh rằng: ABH = CDH
c Chứng minh: HMN cõn
Cõu 5 (1,0 điểm)
a Cho ba số dương 0abc1 chứng minh rằng: 2
bc ac ab
b Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2
Cõu 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
Z x x
x
; 4
14
Khi đó x nhận giá trị nguyên nào?
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm)
Giải:
4
9 9
5
3
2
:
4
3
4
9 9
1 : 4
3 4
9 9
5
3
2
:
4
4
36 4
9 1
9
.
4
3
b
1 1 1 4
1 3
1 2
1
19
45
4 3 1
1 2 1
1 19
45 4
1 3
1 2
1
19
45
1 1 1
1,0đ
19
19 19
26
19
45
c 10 19 29 6
9 20 9
15
27 2 7 6
.
2
.
5
8 3 4 9
.
4
.
5
6 29 19
10
9 20 9
15
27 2 7 6
.
2
.
5
8 3 4 9
.
4
.
5
= 10 19 19 29 3.6
9 3 20 2 9 2 15 2
3 2 7 3 2 2 5
2 3 2 3 2 5
5 3 7
3
.
2
3 2 5 3
.
2
18
29
2 18
29
=
8
1 7
15
9
10
0,5đ
Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16
b Tìm x, biết: 3 : 2 1
2
1 x =
22 21
Nếu
2
1
Trang 33 : 2 1
2
1 x =
22 21
2
7
: (2x – 1) =
22
21
0,25đ
2x – 1 =
2
7
:
22
21
=
3
11 21
22 2
7
2x =
3
11
+ 1 =
3
14
0,25đ
x =
3
14
: 2 =
3
7
>
2
1
0,25đ
Nếu
2
1
3 : 2 1
2
1 x =
22 21
2
7
: (1 - 2x) =
22
21
0,25đ
-2x =
3
11
- 1 =
3
8
0,25đ
x =
3
8
: (-2) =
2
1 3
4
Vậy x =
3
7
hoặc x =
3
4
c Tìm x, y, z biết :
15
2 3 5
2xy y z
và x + z = 2y
Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0 0,25đ
Vậy nếu:
15
2 3 5
2xy y z
thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 15) 0,25đ
Từ 2x – y = 0 suy ra: x = y
2
1
0,25đ
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y x + z + y – 2z = 0 hay y
2
1
+ y – z = 0 0,25đ
hay y
2
3
- z = 0 hay y =
3
2
z suy ra: x =
3 1
Trang 4Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x =
3
1
z; y =
3
2
z ; với z R }
hoặc {x =
2
1
y; y R; z =
2
3
y} hoặc {x R; y = 2x; z = 3x}
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức
d
c b
a
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd 0,75đ
cb = ad suy ra:
d
c b
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC Trên
tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA
a Chứng minh: CD // AB
b Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N
Chứng minh rằng: ABH = CDH
c Chứng minh: HMN cân
Giải:
N M
H
D
K B
a/ Chứng minh CD song song với AB
Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:
0,25đ
BK = CK (gt)
D
K ˆ C
A
K ˆ
Trang 5ABK = DCK (c-g-c) 0,25đ
DCˆKDB ˆ K; mà 0
90 B
C ˆ A C
B ˆ
90 D
C ˆ B B
C ˆ A D
C ˆ
ACˆD900 BA ˆ C AB // CD (AB AC và CD AC) 0,25đ
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
0,25đ
BA = CD (do ABK = DCK)
c Chứng minh: HMN cân
Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có:
0,25đ
AB = CD; ACˆD900 BA ˆ C; AC cạnh chung: ABC = CDA
(c-g-c)
mà: AH = CH (gt) và MHˆANH ˆ C (vì ABH = CDH) 0,50đ
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabcluôn chia hết cho 11
Giải:
Ta có: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c 0,25đ
= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) 0,50đ
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) 0,25đ
Hết