ĐỀ vận DỤNG CAO TỔNG ôn

Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC.. Tổng bán kính của ba mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S HAB S HBC S HCA.. Tìm giá trị lớn nhất Sma

P CHÍ VÀ TƯ

ĐỀ VẬN DỤNG CAO TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA

Đề gồm 5 trang, 20 câu vận dụng cao

Thời gian làm bài: 90 phút

P/s Có vài câu đề không phù hợp lắm chỉ mang tính tham khảo, mọi người có thể bỏ qua!

Câu 1 Cho hàm số f x  liên tục trên  0; 5 và có đồ thị như hình vẽ dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

2019m f x2  f x 1 3x 102x

Nghiệm đúng với mọi x 0;5 ?

Câu 2 Cho f x' .2f x  f x  f x x'  4x Biết đồ thị hàm số f x  đồng biến trên tập

R, f 0 0 Tìm nghiệm của phương trình cos 3f x  4x33x trên khoảng 0;

A 



Câu 3 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, ABC , góc giữa BC' và (ABC) bằng  Gọi I là trung điểm của AA' Biết rằng BIC90 0 Tính giá trị của biểu thức Stan2 tan 2

2

2

Câu 4 Cho đồ thị của hàm số f x F x f x    , , ' 1như hình vẽ Tính giá trị của tích phân

   

   

f 0 f 1.5

3 f' 1 F 1.5

sin x.cos xdx



  ?

y

1

3 4

2

2 3

8 1 6 4 5 16 4 2

x

đúng với mọi số thực x không âm?

Câu 6 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền bằng

6 Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác

ABC Tổng bán kính của ba mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S HAB S HBC S HCA , , bằng



144 Thể tích hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

4 2 3

Câu 7 Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;1; 4 và đường thẳng   



3

:

y

Điểm M chạy trên đường thẳng d và điểm N nằm trên tia đối của tia MA sao cho



A 

 2

 4 3

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn

đường kính AD2a; SD a 3, góc giữa SD và AC là  với sin 2

3 Gọi M là điểm thay đổi trên CD, gọi   là mặt phẳng đi qua M, song song với AC và SD Xác định và tính diện tích thiết diện khi   cắt hình chóp S ABCD Tìm giá trị lớn nhất Smax của diện tích thiết diện đó

A max 3 2

5

a

5

a

5

a

5

a S

Câu 9 Cho hàm số f x  có đồ thị như hình vẽ

y

13 2

1



2

3



 1

 2

 3

P CHÍ VÀ TƯ

Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình sau có nghiệm là bao nhiêu?

             

   

Câu 10 Cho 3 số thực x y z, ,  1; 3 và thỏa mãn đồng thời xyz9 Giá trị lớn nhất của

A 9 3 4 93  3 B 7 C 8 3 3 D 9

Câu 11 Cho hàm số f x   x1   P x ,là một đa thức bậc 3,tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm, nhỏ hơn 3 Tìm số chữ số của 2019P 10 ,

biết rằng f 9 3178

Câu 12 Cho f x  liên tục trên thỏa mãn f x' 2x f x   Biết f  2 10;f 1 5



2 2

f x

A 6ln 2

6 ln 2

4 ln 2

4 ln 2 5

Câu 13 Cho hàm số f x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

1

3

5

17

5

y

 3

2

y

y

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

   2     2   

9.6f x 4 f x 9x m 5m 4f x

Đúng với mọi x là?

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1; 1; 0 ,Ba; b; c.Gọi , ,

    

thức T a b c   tương ứng bằng

17

31 5

Câu 15 Khối  H được tạo thành là phần chung khi giao nhau hai khối nón có cùng chiều

cao h, có các bán kính đường tròn đáy lần lượt là R và r sao cho đỉnh của khối nón này

trùng với tâm đường tròn đáy của khối nón kia Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối  H ,

biết rằng R và r thoả mãn phương trình        

2

0 ,

2

A 1 

1

1

12 h

Câu 16 Cho hàm số f x  có đồ thị như hình vẽ dưới

1

y

2

 3

 4



P CHÍ VÀ TƯ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để    

3 f 3 3 x m có nghiệm?

Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có tọa độ các đỉnh A1;0; 2 ,B 2;1;0 ,   C 3; 2; 2  và A11; 2; 3 Gọi M là một điểm trên mặt phẳng

trị nào sau đây?

Câu 18 Cho a là số thực, phương trình z2  a 2z2a 3 0 có 2 nghiệm z1, z2 Gọi

M, N là điểm biểu diễn của z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ Biết tam giác OMN có một góc bằng 120, tính tổng các giá trị của a

Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn z 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2 z 1 2 z   1 z z 4i ?

A 4 2 3 B 2 3 C 4 14

7 2 15

Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi  H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

16

z

và 16

z có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn  0;1 Tính diện tích S của  H

A S32 6   B S16 4   C 256 D 64

y

2

4 6

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 Cho hàm số f x  liên tục trên  0; 5 và có đồ thị như hình vẽ dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

2019m f x2  f x 2 1 3x 102x

Nghiệm đúng với mọi x 0;5 ?

Để bất phương trình đúng với mọi x 0;5 thì ta cần có



 

0;5

3 10 2

2019 max

2 1

x x

x m

Theo Cauchy – Schwarz ta có 3x 10 2 x 3 x 2 5 x 3 2 x 5 x 5

Dấu ”=” xảy ra khi x3 Nhìn vào đồ thị ta thấy rằng f x 1 dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi x    3 x 1 x 5

Ta có

  m 2014

Câu 2 Cho f x' .2f x  f x  f x x'  4x Biết đồ thị hàm số f x  đồng biến trên tập

R, f 0 0 Tìm nghiệm của phương trình cos 3f x  4x33x trên khoảng 0;

A 



Có  x2 4.2 x2 9x2

y

1

3 4

2

P CHÍ VÀ TƯ

Ta tìm được 2 nghiệm của phương trình  1 là

 

 

 





1

2

3 2 3 2 2

Mà hàm số f x  đồng biến trên tập R nên f x x

cos 3f x 4x 3x 4 cos f x 3 cosf x 4x 3x 4 cos x 3 cosx 4x 3x

Ta có h x  4 cosx33cosxh x' sin 12 cosx x23 luôn đồng biến trên 0;

Hàm số g x 4x33x12x2 3 luôn đồng biến trên tập R nên để g x h x  thì



cosx x

Ta có ycosx x y' sinx1



             

2

2

x

Chọn ý A

Câu 3 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, ABC , góc giữa BC' và (ABC) bằng  Gọi I là trung điểm của AA' Biết rằng BIC90 0 Tính giá trị của biểu thức Stan2 tan 2

2

2

Vì CC'ABC nên BC',ABC CBC'Gọi M là trung điểm của BC

Ta có AM BC . Đặt BC x thì AA'BB CC' 'xtan và  



2 cos

x

AB AC

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AIB ta có





C

'

'

C I

M

Suy ra 2  1 2  1 2.

2

x

Câu 4 Cho đồ thị của hàm số f x F x f x    , , ' 1như hình vẽ Tính giá trị của tích phân

   

   

f 0 f 1.5

3

f' 1 F 1.5

sin x.cos xdx



  ?

Đồ thị hàm số  1 cực đại khi x2 nên 2 là đồ thị của đạo hàm hàm số  1

Chuyển dịch đồ thị hàm số  3 sang phải 1 đơn vị ta thấy có cắt trục Ox tại x1 , đồng

thời tại đó đồ thị hàm số  2 cực đại 3 là đồ thị của đạo hàm  2

Suy ra đồ thị hàm số  1 ,  2 ,  3 lần lượt là đồ thị hàm số F x f x f x    , , ' 1

Ta có f  0  f 1.5  f' 1    F 1.5

   

    

 

' 1 1.5

sin cos 0

Chọn ý A

2 3

x

đúng với mọi số thực x không âm?

Ta có yêu cầu bài toán tương đương với:





Vì  1 đúng với mọi x0 nên đúng với x0 Thay x0 vào  1 ta có

y

13 2

1



2

3



 1

 2

 3

P CHÍ VÀ TƯ

 2    

16 m 0 m 4; 4 Ngược lại với m 4; 4 , xét hàm số f x x4m4x16m2 ta có

  3      3 4

4

m

Khi đó

      

3 0;

4 min

4

m

4

2

Câu 6 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền bằng

6 Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác

ABC Tổng bán kính của ba mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S HAB S HBC S HCA , , bằng



144 Thể tích hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

4 2 3

10

Ba hình chóp S HAB S HBC S HCA , , cùng có dạng cạnh bên SH vuông góc với các đáy

HAB , HBC , HCA Bán kính đường tròn đáy lần lượt là



10 5 1

10

HC R

HBM

2 sin 45

2 sin

HB

HAB

Tổng diện tích ba mặt cầu là

          

            

2

B

M H

1 2

3

3 2

45

Thể tích khối chóp là   2 

3 2

2 3

SABC

V

Câu 7 Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;1; 4 và đường thẳng   



3

:

y

Điểm M chạy trên đường thẳng d và điểm N nằm trên tia đối của tia MA sao cho



A 

 2

 4 3 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d, dễ dàng tìm được H0; 1;2 

Dựng một đường thẳng vuông góc với AN tại N cắt AH tại K Khi đó hai tam giác vuông AHM và ANK đồng dạng với nhau

3

AM AN AK

AH

Nhận thấy rằng N mp A d  , ; ANK90 ; AN AM  quỹ tích điểm N là cung tròn giới hạn bởi đường thẳng d và đường tròn đường kính AK (nằm trong mặt phẳng chứa

Độ dài đường cong chứa N chính là độ dài cung tròn PQ như hình vẽ

Ta có: IH 1,IP IQ 2 Suy ra: HIP HIQ   60 PIQ120

.2 2 2

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn

đường kính AD2a; SD a 3, góc giữa SD và AC là  với sin 2

3 Gọi M là điểm thay đổi trên CD, gọi   là mặt phẳng đi qua M, song song với AC và SD Xác định và tính diện tích thiết diện khi   cắt hình chóp S ABCD Tìm giá trị lớn nhất Smax của diện tích thiết diện đó

2

A

I

1

1 H M

N Q

K P

P CHÍ VÀ TƯ

A max 3 2

5

a

5

a

5

a

5

a S

Khi đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPRQ , trong đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Nhận thấy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD2a





Đặt xDM 0 x 1 

DC Khi đó MN x AC MQ . , 1x SD. Suy ra S MNPQ MN MQ. .sin x1x SD AC. . .sin

3

Do góc giữa RE và PQ bằng  nên

 1 . .sin 1 . .sin  2 . .sin

PRQ

x

5

6

x

2

x

Từ  * suy ra S  3 SD AC .sin  3 3 3.a a 2 3 a2

O

M

D N

A

S

Q F

E K



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 5  1 5   3

Vậy max 3 2

5

a

S

Câu 9 Cho hàm số f x  có đồ thị như hình vẽ

Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình sau có nghiệm là bao nhiêu?

             

   

Nhìn đồ thị ta thấy rằng 1 f x 5, đặt t f x , giả thiết trở thành

      

3 2 2 7 5 ln 1

t

Xét g t  t3 2t2 7t 5, 'g t 3t24t    7 0 t 1 g 1 g t g 5  1 g t 145

Mặt khác   1, '  1 12   0  1;5  2  26

5

Vậy hàm         

3 2 2 7 5 ln 1

t đồng biến với x 1; 5

Để phương trình đầu có nghiệm thì    145 26

5

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4

Câu 10 Cho 3 số thực x y z, ,  1; 3 và thỏa mãn đồng thời xyz9 Giá trị lớn nhất của

A 9 3 4 93  3 B 7 C 8 3 3 D 9

Khảo sát hàm số f x  x 2 log3x1trên đoạn  1; 3 ta có

                

x

1

3

5

17

5

y

 3

2

y

y

P CHÍ VÀ TƯ

 f x  x 2 log3x   1 0 x 1; 3

2 log 2 log 1

 T 2 log3xyz 3 2 log 9 3 73   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 số bằng 3 và một số bằng 1

Câu 11 Cho hàm số f x   x1   P x ,là một đa thức bậc 3,tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm, nhỏ hơn 3 Tìm số chữ số của 2019P 10 ,

biết rằng f 9 3178

Đặt P x ax3bx2cx d (Với a b c d, , , là các số nguyên dương)

Suy ra        4   2   2    

1



Vì f 9 0 kết hợp với điều kiện a b c d, , , không âm ta có thể chọn được:

1; 0; 1; 0

a b c d Từ đó suy ra P 10 1012

Vậy nên số chữ số của 2019P 10

là 1012.log 2019 1 3345.

Câu 12 Cho f x  liên tục trên thỏa mãn f x' 2x f x   Biết f  2 10;f 1 5



2 2

f x

A 6ln 2

6

ln 2

4

ln 2

4

ln 2 5

Xét

  



2 2





2

2

2

f x

f x

2

1

5

Có f x' 2x f x   f x'    2 x 1

f x f x

 

2 2 2

12   21    

ln 5

4 ln 2 5

I

Chọn ý D

Câu 13 Cho hàm số f x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

   2     2   

9.6f x 4 f x 9x m 5m 4f x

Đúng với mọi x là?

Đặt t f x  Quan sát đồ thị ta thấy f x       2 x t 2

Bất phương trình đã cho được viết lại như sau

                 

2

Xét hàm số        

2 2

Có                 

2

Từ đó suy ra

      

; 2 maxg t g 2 4 Yêu cầu bài toán tương đương với m25m  4 1 m4

Vì m  m 1; 2; 3; 4 nên tổng tất cả các giá trị của tham số m là 10

Chọn ý A

Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1; 1; 0 ,Ba; b; c.Gọi , ,

    

thức T a b c   tương ứng bằng

17

31 5

1

y

2

 3

 4



P CHÍ VÀ TƯ

Ta có thể đặt AM2MN NP PB  2dAM NP PB  2 ,d MN d

Nhận thấy









M

M

M

x

z

Lại có   2   2 0 2 52.2 5  2 0 2 4  1 0

Tương tự:









N

N

N

x

z

Lại có      2 0 3 4 3   2 0 3 3 10 0

Tương tự:









P

P

P

x

z

Lại có    2   1 0 4 3 4 32.4   1 0 4 4 8  7 0

Giải hệ      1 , 2 , 3 suy ra:  34;  53;  49

Suy ra     28

5

Câu 15 Khối  H được tạo thành là phần chung khi giao nhau hai khối nón có cùng chiều

cao h, có các bán kính đường tròn đáy lần lượt là R và r sao cho đỉnh của khối nón này

trùng với tâm đường tròn đáy của khối nón kia Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối  H ,

biết rằng R và r thoả mãn phương trình        

2

2

A 1 

1

1

12 h

1; 1;0 

A

 ; ; 

B a b c

Giả sử R r Ta có hình minh hoạ như trên

Gọi a là bán kính đường tròn giao tuyến, b là khoảng cách từ tâm đường tròn giao tuyến

đến tâm đường tròn có bán kính R

Sử dụng các tam giác đồng dạng, ta suy ra

 



a b

Mặc khác    1 2  1 2   1 2

H

Xét phương trình ẩn X:X2x y X xy 2  0 ,x y0 có

   44  2 44  0, ,  1

2

Theo vi-ét:     



 



2

1

0, ,

2 0

X X

P xy

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt là R và r

Theo bất đẳng thức AM – GM ,



2

x y xy

Rr

 

 

2 2

( )

H

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   1

2

48

H

Câu 16 Cho hàm số f x  có đồ thị như hình vẽ dưới

r

R

P CHÍ VÀ TƯ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để    

3 f 3 3 x m có nghiệm?

Vì 0 sin   1 0  sin 

Trên đoạn  

0;3 hàm số sin luôn tăng nên suy ra    

Nhìn vào đồ thị ta thấy 13 f  43sin3 sinx   43; 2

Để phương trình đầu có nghiệm thì   4 2

3 m

Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có tọa độ các đỉnh A1;0; 2 ,B 2;1;0 ,   C 3; 2; 2  và A11; 2; 3 Gọi M là một điểm trên mặt phẳng

trị nào sau đây?

Ta có ABC x y z:    3 0;d A ABC 1;   3;AB 6;AC2 2 ;BC 14

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Mlên mặt phẳng ABC Theo pytago và công thức diện tích ta có S tp S ABCS MABS MCBS MCA

y

2

4 6

2 3

2

2 3

2

2 3

2

Trong đó a b c, , lần lượt là khoảng cách từ H đến các cạnh AB BC CA, , và

6a 14b 8c 2S ABC 4 3

Câu 18 Cho a là số thực, phương trình z2  a 2z2a 3 0 có 2 nghiệm z1, z2 Gọi

M, N là điểm biểu diễn của z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ Biết tam giác OMN có một góc bằng 120, tính tổng các giá trị của a

Vì O, M, N không thẳng hàng nên z1, z2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng

thời là số thuần ảo z1, z2 là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình

z a z a Do đó, ta phải có:  a2 12a16 0   a 6 2 5; 6 2 5 

Khi đó, ta có









2 1

2 1

cos120

OM ON

 



a a   a 3 2

Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6

Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn z 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2 z 1 2 z   1 z z 4i ?

A 4 2 3 B 2 3 C 4 14

7 2 15

Suy ra  2 x y, 2

Khi đó, P2 z 1 2z   1 z z 4i     2  2    2 2   

 P 2 x1 2y2  1x 2y2  y 2 2 2 1 y2  2 y

Dấu “” xảy ra khi x0