CHUYÊN đề vận DỤNG vận DỤNG CAO LUYỆN THI tốt NGHIỆP THPT năm 2023 GIẢI TÍCH 12 CHUYÊN đề IV số PHỨC

CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC Giáo viên Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT 0984164935 Page 1 Chuyên luyện thi Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10;.

Lời giải Chọn B

+ Gọi M N lần lượt là các điểm biểu diễn của , z z1, 2 Ta có: OM =3,ON =4,MN= 5

( ) ( )

2 2

i z

+

= −+ Mô đun của số phức

a b

2

Lời giải Chọn C

Ta có zz = z2, phương trình trở thành

( ) 2

1 2+ i z = + 3 4i 2 3 4

1 2

i z

Ta có z2 =a2− +b2 2abi ( )2

Từ ( )1 và ( )2 ta có hệ phương trình

2 2 11

522

b a

11 5 510

a b

Nếu z = thì số phức 0 w không tồn tại, suy ra z  0

11

a b

=



  = −

 Vậy a b = −. 12

Câu 14: Cho M là tập hợp các số phức z thỏa 2z i− = +2 iz Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc tập hợp

M sao cho z1−z2 =1 Tính giá trị của biểu thức P= +z1 z2

2

P = D P = 3

Lời giải Chọn D

Đặt z x yi = + với x , y 

2z i− = +2 iz  2x+ 2y−1 i = − +2 y xi x +y =1

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là đường tròn ( )O;1

( ) 2

1 2+ i z = +3 4i 2 3 4

i z

15

b a

11 5 510

a b

z

= + là số thực Tính giá trị của biểu

thức

2

1

z P

= +

1

1 1

= +

1 2

Lời giải Chọn B

( ) ( )2 2

0 2

Lời giải Chọn D

Câu 23: Cho các số phức z z1, 2 thỏa mãn điều kiện z = 10, phần thực bằng 3 lần phần ảo Tính giá trị

biểu thức T = +z1 2z2, biết số phức z1 có phần ảo âm

A 1 i− B 3 i+ C − −3 i D 1 i+

Lời giải Chọn B

Giả sử z= +a bi a b; ,  ;i2 = −1, ta có

2 2

2

33

1

10 10

33

1; 31; 3

a b

a b

b b

phần thực và phần ảo của z

Lời giải Chọn D

Gọi z= + x yi x y, ( ,  )

z− i = + +z i x + y− = x+ + − +y  − + =x y

Câu 26: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z+ − =2 i 2 và w=(z+ −3 i) (z+ +1 3i) là số thực?

Lời giải Chọn B

d I  = R nên  cắt ( )C tại hai điểm phân biệt Vậy có hai số phức thoả mãn

Câu 27: Số nghiệm của hệ phương trình 2 2

z= +x yi x y i = − Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

Phương trình ( ) 2 biểu diễn đường tròn ( ) C ' có tâm J ( 3; 2 − ) và bán kính R =' 4

Suy ra điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là điểm chung của đường tròn ( )C có 1

tâm I1(4;0), bán kính R1 2 và đường tròn ( )C có tâm (0;0),2 O bán kính R2 2

Ta có I O1 4;R1 R2 4 nên I O1 R1 R2 Do đó C1 ; C tiếp xúc ngoài 2

Suy ra có một điểm chung nên tồn tại một số phức

Câu 30: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z+ − =2 i| 2 2 và ( )2

1

z − là số thuần ảo?

A 0 B 4 C 3 D 2.

Lời giải Chọn C

Gọi số phức z= + x yi (x y , ) có biểu diễn là M x y;

2 2

0

14

x y x y x y x y

Vậy có tất cả 6 số phức thỏa mãn điều kiện bài toán

Câu 32: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2

Xét TH1: b=  =0 a 0 hoặc a = −2 không thỏa mãn do không tồn tại số phức 2

x=  y   −  y , mà y nguyên nên y − − 2; 1; 0; 1; 2

Câu 34: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z( − − + = −8 i) 2i (9 i z)

Lời giải Chọn B

Ta có z z( − − + = −8 i) 2i (9 i z) (z − +9 i z) =8z +(z −2)i

Nên có duy nhất một số phức thỏa mãn Vậy có ba số phức thỏa mãn

Câu 35: Giả sử z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình (2+i)| | zz − −(1 2i z) = +1 3i và z1−z2 =1

Giá trị của biểu thức P= 4z1+5z2 bằng

Lời giải Chọn A

a +b =  z = Do đó ta có thể đặt z=cos+isin

Vì z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình nên z z1, 2 có dạng z1=cos1+isin1,

1 2 1 2

2 2 cos cos 2sin sin 1

,23

k

k k

Ta có z+ + −2 i z(1+ = i) 0 ( ) 2 2 2 2

a+ + b+ i− a +b − a +b i=( )

0

b b

là số thuần ảo?

Lời giải Chọn B

Trường hợp này có 4 số phức thỏa mãn bài toán

Vậy có tất cả 6 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 38: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m đề tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn

1

z z = và |z− 3+ =i| m Số phần tử của S là

Lời giải Chọn C

Câu 39: Cho số phức z= +a bi (a b,  ,a thỏa 0) z z −12 z+ −(z z)= −13 10i Giá trị S= + là a b

Lời giải Chọn A

Gọi z= +x yi x y,( ,  ) Điều kiện: z  6

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức ( ); z

Từ ( )1 ta có M thuộc đường tròn tâm I1( )3;0 ,R = 1 3

Từ z−m = 4 I M2 =4, I2(m;0) ta có M thuộc đường tròn tâm I2(m;0 ,) R = 2 4

Để có đúng một số phức z thỏa mãn bài toán thì hai đường tròn (I R và 1; 1) (I R tiếp xúc 2; 2)

ngoài hoặc tiếp xúc trong, tức là ta có I I1 2 =R1+R2 hoặc I I1 2 = R1−R2

Với m =10; m = thì hai đường tròn tiếp xúc tại điểm 2 ( )6;0 nên z =6 không thỏa

Với m=4;m= −4 thì hai đường tròn tiếp xúc tại điểm ( )0;0 nên z =0 thỏa bài toán

Vậy S = − 4;4, nên tích các phần tử thuộc S là 16−

Câu 41: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z− −1 2i =2và z+ + − =4 z 4 10?

Lời giải Chọn C

Áp dụng các tính chất z = z z; 1+ = + ta có z2 z1 z2 z+ = + = + = +4 z 4 z 4 z 4

Do đó z+ + − =4 z 4 10 + + − =z 4 z 4 10

Gọi M là điểm biểu diễn của z

Do z− −1 2i =2 nên M thuộc đường tròn ( )C tâm I( )1;2 , bán kính R =2 ( )C có phương trình là ( ) (2 )2

x− + y− =

Do z− + + =4 z 4 10 nên M thuộc đường elip ( )E có hai tiêu điểm là F −1( 4;0);F2( )4;0 và

có độ dài trục lớn là 10 ( )E có phương trình là

1

25 9

x + y =

Từ đây có M là giao điểm của ( )C và ( )E

Từ hình vẽ của ( )C và ( )E ta thấy chúng có 2 giao điểm nên có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu

Câu 42: Gọi z z là hai trong các số phực thỏa mãn 1, 2 z− +3 5i = và 5 z1−z2 = Môđun của số phức 6

Gọi z= +x yi x y( ,  ) Khi đó từ giả thiết z− +3 5i = ta có: 5

3( 1) ( 1) 4

Vậy có 4 số phức thoả yêu cầu là 1+i;1 2 ; 2+ i +i; 2 2+ i

Câu 44: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − = 2 z và ( z + 1 ) ( ) z − i là số thuần ảo?

H I

Lời giải Chọn C

Do ( z + 1 ) ( ) z − i là số thuần ảo nên ( a + 1 ) a b b + ( + = 1 ) 0(2)

Thay ( ) 1 vào ( ) 2 ta được b2 + + = b 2 0 voânghieäm ( )

Vậy không có số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 45: Cho số phức z= +a bi, (a b , ) thỏa mãn z+ + −1 3i z i=0 Tính S= +a 3b

Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng d1:x− − = và y 1 0

thẳng d tiếp xúc với 1 ( )C tại A, và đường thẳng d cắt 2 ( )C tại hai điểm phân biệt , B C

Dễ thấy d cắt 1 d tại điểm 2 M( ) ( )1;0  C nên ba điểm , ,A B C không trùng nhau

Vậy có 3 số phức thỏa mãn bài toán

Câu 47: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 2 ( ) 2

z − −a z a+ + = (a a là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình có 2 nghiệm phức z1, z2 thỏa mãn

Lời giải Chọn B

5 2 133

a a

Câu 48: Cho số phức z= +a bi a b( ,  ) thỏa mãn z− = +4 ( )1 i z − +(4 3z i) Giá trị của biểu thức

3

P= − bằng a b

Lời giải Chọn D

4

33

4

b a

a b

Gọi z= +  = −x yi z x yi với x y , thay vào ( )2 có:

023131

x y x y x y x y

Vậy phương trình có 4 nghiệm

Câu 53: Có bao nhiêu số phức z thỏa z+ − 1 2i = + +z 3 4i và z 2i

z i

− + là một số thuần ảo

2w

Vậy Vậy có 2 số phức z thoả mãn là z = và 5 z= + 3 4i

Câu 55: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2 ( ) 2019

z− + −z z i+ z+z i = ?

Lời giải Chọn D

a− +b + b i− ai=

000

Trường hợp 1: a b= thay vào ( )1 ta được:

22

a a

a a

b b

=



  =

Vậy có 5 số phức thỏa mãn bài toán là z = , 0 z=  , 2 2i z= −  2 2i

Câu 57: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3+2i z2 =0

Lời giải Chọn A

023131

x y x y x y x y

Vậy phương trình có 4 nghiệm

Câu 58: Cho số phức z= + a bi (a b , ) thỏa mãn z− = −3 z 1 và (z+ 2) ( )z−i là số thực Tính

a+ b

Lời giải

Ta có z= +a bi (a b , )

Thay a = tìm được 2 b = − Vậy 2 a b+ = 0

Câu 59: Cho số phức z= + a bi (a b, ) thỏa mãn z+ + −1 3i z i=0 Tính S=2a+ 3b

b b

b

Vậy

143

a b

Câu 61: Cho số phức z= +a bi a b( ,  ) thỏa mãn z+ + =2 5i 5 và z z = 82 Tính giá trị của biểu thức

Câu 62: Cho M là tập hợp các số phức z thỏa 2z i− = +2 iz Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc tập hợp

M sao cho z1− =z2 1 Tính giá trị của biểu thức P= +z1 z2

2 2

36

4 2

m m

85265

b a

25 13

25 15

a b

a b

=



  = −

 , vì a  0Vậy S= + = a b 7

Câu 66: Cho số phức z  thỏa mãn 0 (3 1) 2

1

z i

=

13 3

b=  = − a z = 

1.2

4

24

Câu 72: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2 ( ) 2019

z− + − + +z z z z = ?

Lời giải Chọn D

1

a b

b a

11

33

a

a a

a a

Suy ra có hai số phức zthỏa yêu cầu bài toán

Câu 75: Cho số phức z= +a bi a b( ,  ,a0) thỏa mãn z z −12 z +( )z−z =13 10− i Tính S= +a b

A S = −17 B S=5 C S=7 D S=17

Lời giải Chọn C

22

a

a a b

y x

Đặt z= +a bi a b( ,  )

z i z z a bi i i z a bi z z

77

42

b a

Đặt ( )1 : z1 = z2 = z3 = , 1 ( )2 :z1+ + = z2 z3 1

Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1, z2, z3

Từ ( )1 OA OB= =OC=  Đường tròn 1 ( )C tâm O , bán kính R =1 ngoại tiếp ABC Gọi G , H lần lượt là trọng tâm, trực tâm ABC

Vì G là điểm biểu diễn số phức 1 2 3

3

z + +z z

mà OH =3.OG nên từ ( )2 H( )1;0

Dễ thấy H( )C nên ABC vuông

Giả sử ABC vuông tại CC( )1;0  = z3 1

Đối chiếu phần thực ở hai vế ta được: − =1 a0−a2+a4−a6+ − a4034+a4036

Nhận xét: Ngoài cách trên ta có thể thay 2018 bằng 2 , 4 để tính trực tiếp S

Câu 86: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện 4

z = z Số phần tử của S là

Lời giải Chọn C

2 a = a  =a 0,a=1,a= −1 ta được z=0;z=1;z= −1

Với a2 =b2 thì từ ( ) 4 2

2  −4a = 2a = a 2 = ,a 0 b =0z = ta được 0 z = 0Vậy S=0;1; 1; ;− i −i

Câu 87: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn

1

z z = và z− 3+ =i m Tìm số phần tử của S

Lời giải Chọn A

Ta thấy m=  =0 z 3−i không thỏa mãn z z = suy ra 1 m  0

Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn ( )1 là đường tròn (C1) có O(0; 0),R =1 1, tập hợp các điểm thỏa mãn ( )2 là đường tròn (C2) tâm I( 3; 1 ,− ) R2 =m, ta thấy OI = 2 R1

Câu 88: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để số phức 2

 có 4 nghiệm phân biệt

Hệ có 4 nghiệm thì đường tròn tâm O bán kính m phải cắt các đường thẳng x + y = tại 4 1điểm phân biệt

Các đường thẳng x + y = đôi một cắt nhau tạo thành 1 hình vuông như trên đồ thị 1

Để đường tròn ( )C : x2+y2 = cắt các đường thẳng m x + y = tại 4 điểm thì đường tròn sẽ là 1đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp hình vuông với các bán kính tương ứng 1

m m

Tổng P là một cấp số nhân có số hạng đầu u1= và công bội q i i =

BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM – VD – VDC

Dạng toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z, = +x yi thỏa mãn

điều kiện K cho trước?

Bước 1 Gọi M x y( ); là điểm biểu diễn số phức z= +x yi

Bước 2 Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa x y và kết luận ,

Mối liên hệ giữa x và y Kết luận tập hợp điểm M x y( );

R  x a− + y b− R Là những điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi

hai đường tròn đồng tâm I a b( ); và bán kính lần lượt 1

 Lưu ý

Đối với bài toán dạng này, người ra đề thường cho thông qua hai cách:

Trực tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm M x y( ); biểu diễn số phức z= +x yi thỏa mãn tính chất K

Gián tiếp, nghĩa là tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w= f z( ) mà số phức z thỏa mãn tính chất

Câu 1: Cho số phức w có w = 3 Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của w và hai đỉnh còn

lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình 1 1 1

Câu 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A(2; 1 ;− ) (B −3; 4) và điểm M a b( ); biểu diễn số

phức z Biết số phức w=(z+2i) ( )z−4 là số thực và M nằm trên trung trực của AB Tổng

Câu 3: Cho Gọi ( )C là tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z+ − +z 4 4z− =z 8 Diện tích

hình phẳng được giới hạn bởi ( )C là

Ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Đây là hình thoi có độ dài hai đường chéo là 2 ; 8 nên diện tích bằng: 2 = 8

Câu 4: Cho số phức w= +( )1 i z+ với 12 + = − Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức iz z 2i

w là đường thẳng  Khoảng cách từ điểm (1; 2)A − đến  bằng

2

( )2 2

Tam giác ABC cân

m m m

Kết hợp với điều kiện m  2 ta được m0; 1− 

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề

Câu 6: Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho 2z−3z 5

, và số phức z có phần thực không âm Tính diện tích hình H

Lời giải Chọn C

3

w= zlà một parabol có đỉnh

A B C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z1, 2 và z0 = i Có bao nhiêu giá trị của tham số

m để diện tích tam giác ABC bằng 1?

Lời giải Chọn C

2 63

m m

Vậy có 4 giá trị thực của tham số m thỏa mãn đề bài

Câu 11: Cho z1 và z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z− − =5 3i 5, đồng thời z1−z2 =8 Tập

hợp các điểm biểu diễn của số phức w = +z1 z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có

Gọi ;A B lần lượt là điểm biểu diễn của z z1; 2 Từ giả thiết z− − =5 3i 5 suy ra ;A B thuộc

đường tròn tâm I( )5;3 , bán kính 5 và z1−z2 =8 suy ra AB = 8

Gọi M là trung điểm của đoạn AB Khi đó ta tính được IM = 3

Mặt khác, M là điểm biểu diễn của số phức 1 2

2

z +z

, I là điểm biểu diễn của số phức 5 3i+ ,

Ta có w= +(1 3i z) +  = +2 w (1 3i) (z− + +1) 3 3i − +w (3 3i) (= +1 3i) (z−1 )

Lấy môđun hai vế, ta được (3 3 ) 1 3 1 2.2 4

22

w− + i = + i z− = =

Biểu thức w− +(3 3i) = chứng tỏ tập hợp các số phức w là một đường tròn có tâm 4 I( )3; 3

và bán kính R =4

Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z −2= , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 2

( )

w= −1 i z i+ là một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó

Lời giải Chọn B

Đây là đường tròn có tâm I(2; 1 ,− ) R=2 2

Câu 16: Cho số phứczthỏa mãn z =2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

Vây tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(3; 2− )

Câu 17: Tính tổng của tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn đồng thời

Đặt z= +x yi (x y,  ) Ta có điểm biểu diễn zlà M x y ( ; )

Với m = , ta có 0 z = , thoả mãn yêu cầu bài toán 0

M thuộc đường tròn ( )C tâm 2 I(4 ; 3m− m), bán kính 2

R =m +) Có duy nhất một số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi ( )C và 1 ( )C tiếp xúc 2nhau

2 2

5

4.5

60

Kết hợp với m = , suy ra 0 m0; 4;6 Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 10

Câu 18: Cho các số phức z thỏa mãn z + = Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 1 2

Câu 19: Cho z z là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z 5 3i | 51, 2 − − = đồng thời|z1−z2| 8= Tập hợp các

điểm biểu diễn số phứcw = + trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình z1 z2

A, B thuộc đường tròn ( )C có tâm I, bán kính R = 5 và |z1−z2| 8=  AB= 8

+) Gọi H là điểm biểu diễn số phức w = 1 2

Xét tam giác AIH vuông tại H có AH = 4, AI = 5 nên IH= IA2−AH2 = 52−42 = 3

 H thuộc đường tròn ( )C có tâm I, bán kính R =3

+) Gọi M là điểm biểu diễn số phức w=z1+ z2

OM =2OH

M là ảnh của H qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 với O là gốc tọa độ

Từ và tập hợp M là đường tròn ( )C là ảnh của ( C phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 )

+) Giả sử đường tròn (C có tâm J và bán kính ) R

2.5 102.3 62.R 6

a b R

Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z+ −1 3i = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức 2 w= −(2 i z) − + 3i 5

là một đường tròn Xác định tâm I và bán kính của đường tròn trên

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số w là đường tròn tâm I( )6; 4 , bán kính R =2 5

Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn z =2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

Câu 22: Cho z1, z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z− −5 3i =5, đồng thời z1−z2 =8

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w= +z1 z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn

có phương trình nào dưới đây?