Phương trình, bất phương trình

Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm.

Phan I: PHONG TRINH VO Ti

Phong phap 1:Phong phap giai dang co ban:

(x) 20

UV ATI =e) © F510) py

2/ Jf (x) +,/2(x) = Jh(x) Binh phong hai vé

1-DHQGHN KD-1997) V16x +17 =8x—23

2-(DH Canh sat -1999) eax? 411 =31

3-(HVNHHCM- 1999) J_-x? 44x 42 =2x

4-(DH Thong mai-1999) Giải và biện luan pt: py —/ x? —-3x +2 =x

5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: Xx +mx+2=2x+|

7-(DHSP 2 HN) Jx(x—1) +4/x(x+2) =2Vx?

8-(HVHCQ-1999) V¥X+3-V2x-l=v3x-2

9-(HVNH-1998) V3x+4-V2x4+l=vx+3

10-(DH Ngoại thong-1999) /3 x + x2 —A/2+x—x? =Ị

Phơng pháp 2: phơng pháp đặt ẩn phụ:

I-Dat dn phu da pt vé pt theo dn phu:

a

Dang1: Ptdang: ax*+bx+c=; [px? +qx+r trong d6 —=

p

Cach giai: Dat = t = lpx? +qx+r DKt20

1-(DH Ngoai thong-2000) (x +5)(2—x) =3Vx* +3x

2-(H Ngoại ngữ -1998) (x+4)(x+1)-3Vx’? +5x+2 =6

3-(DH Can tho-1999) V(x +1)(2—x) =14+2x —2x’

4- Ax? +10x +9 =5V2x* +5x +3 5- 18x? -18x +5 =3V9x? —9x +2

Dang 2: Pt Dang: P(x) + BQ(x) + y/POD.Q(%) = 0 (aBy #0)

P(x} =0

Cách giải: *Néu P(x) =O> pte

Q(x) =0

* Néu P( x) # Ochia hai vé cho P(x} sau đó đặt t = Ha (>0

X

1-DHCD KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 3/x—l+m^Íx+l=24x?-I

2-2|x”—=3x+2] =3 x +8 3- 2|x?+2| =5 x +1

Dang 3: Pt Dang :

ot P(x) + Q( x)) +B/ fP(x) Q(x) |

+20œJP(x).Q(x) +y=0|œ? +? z 0)

Cách giải: Đặt { = /P(x) +/Q(x| = tˆ =P(x]+Q(x) +2./P(x).Q(x]

1-(DHQGHN-2000) I+ ov xx? =Vx+VI-x

2-(HVKTQS-1999) V3x —2 +Vx—1 =4x-9+2V3x? -5x+2 3-(BO quéc phong-2002) 2x +3 4+ /x +1 =3x+2V2x7 +5x +316

5-(CDSPHN-2001) Mx-2-Nx+2=2\x?—4-2x+2

_ Dạng 4: Pt Dang: Ma+cx +Vb-cx +d,/(a +ex) (b-cx} =n

Trong đó a,b,c,d,n là các hằng số ,c > 0,d # 0

Cách giải: Đặt t=va+cx+vb—cx(Xa+b<t<4j2(a+b]

1-(DH Mo-2001) X+V4—-x* =24+3xV4-x°

3-(DHSP Vinh-2000) Cho pt:

Vx +1+V3—x—,/(x+1)(3-x) =m

a/ Giai pt khi m = 2 b/Tim các øt của m để pt có nghiệm

4-ĐHKTQD-1998) Cho pt J1+x +V8—x +,/(1+x)(8—x) =a

a/Gpt khi a = 3 b/Iìm các øt của a để pt có nghiệm

5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các øt của m để pt có nghiệm

Xx—-l+w3-x+4(x-l)-x)=m 6-(DH Ngoại ngữ-2001) 4/x+l+V4—x+4/(x+l])(4—x) =5

Dang 5: Pt dang: /x +a? —b+2aVx—b + ¥x+a?—b—2aVx—b =cx+m

Trong đó a, b,c,m là hằng số a # 0

Cach giai: Dat t =./x —b DK:t = 0 đa pt về dạng:

lt+al+|t—a|= c(t +b)+m

1-(DHSP Vinh-2000) Vx—142Vx—2 —-Vx—-1-2Vx—2 =1

3-(DHCD KD-2005) 24x +2+2ASX+I-NxaT=4

4-(DH Thuy sin -2001) Ax+2+2Ax+I+jx+2—2/x+1=ŠT”

2 x+3

xX+m

6- Xét pt! VX+6VxX—-94++7x-6Vx—-9 = 6

a/ Giai pt khi m = 23 b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm

HI-Sử dung ấn phu đa pt về ẩn phu đó ,còn ấn ban đầu coi là tham số:

2-(DH Doc-1999) (x+3)A10—x? =x?—x—12

3-(ĐH Dọc-1997) 2{1—x] Vx? +2x—-l=x’?-2x-1

4- (4x—1) Vx? +1=2x*? +2x41 5- 2(1—-x) Vx? +x+1=x?-3x-1 6-(DHQG-HVNH KA-2001) x? 43x 4+1=(x+3)Vx? 41

LHI-Sử dụng ẩn phụ đa về hệ pí:

Dạng1: P(Dạng x"+a —bA/bx—a

x -by+a=0

Cách giải: Đặt y=Wbx—a khi đó ta có hệ:

y —bx+a=0

2 x* +Vx45=5 3- x? —2002/2002x — 2001 +2001 =0

4- (DH Doc-1996) x3 4] = 242x-1

Dang 2: Pt Dang: Vax+b = rÍ UX+ vì” + dx +e trong đó a,u,r # 0

Vàu =ar+d,v=br+e

2 uy+v=r(ux+v}) +dx+e

Cach giai: Đặt uy+v = Vax +b khi đó ta có hệ: 3

ax+b=(uy+v}

1-(HCD KD-2006) //2x—]+x?—3x+1=0

2- J2x +15 = 32x? +32x — 20 3- /3x +1 =—4x? +13x-—5

6 Vx-1=3+x-x’

Dạng 3: PT Dạng: — +Ía—f(x) +#Íb+f(x] =c

Cách giải: Đặt u = tfa—f(x),v = wb+f(x) db ues

1-DHTCKT-2000) /2~-x =1-Vx-1

u+v=c

u°+v”=a+b

Phong phap 3: Nhan long lién hop:

Dang 1: Pt Dang: aif x} +a + x} =b

Cách giải: Nhân lợng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ:

Jf(x)+a+-Jf(x) =b

vJf{x)+a m[f(x) =a/b

ˆ \4x°+5x+l+4x +5x+7=3 2-0J3x?+5x+I—A3x?+5x—7=2

3- (DH Ngoại thơng-1999 ) 43—-x+x?-N2+x-—x? =]

4-(DH Thong mai-1998) Vx? —3x 7 34 Vx°-—3x+ = =3

Dạng 2: Pt Dạng: Jf(x) +jg(x) =m|f(x)—g(x))

I-(HVBCVT-2001) V4x+1-V3x-2 = =

2-(HVKTQS-2001) 3(2+ Vx —2) =2x+Vx+6

Phong phap 4:Phong phap danh gia:

I Jx-24+V4-x=x?-6x4l] 2>YXx?+x-l+Vx—x°+I=x?—x+2

3-ĐHQGHN-Ngân hàng KD-2000) /4x —1 4.J/4x2-1=1

4-(ĐH Nông nghiệp-1999) Vx? —2x454Vx-1=2

Phong phap 5:Phong phap dk can va du:

I-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: vx +J/2-x=m

2- Tim m để pt sau có nghiệm duy nhất 4x—-5+Xx9-x=m

3- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4lx+4l]l—x +A/'x+X1-x =m

Phơng pháp 6: Phơng pháp hàm số (Sử dụng đạo hàm)

I-ĐHCĐ KB-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm :

ml V1+x2 —V1—x? +2| =2W1—x*+A1+x?—xl—x?

2- - Tìm m đề các pt sau có nghiệm :

1*⁄./4—x? =mx-m+2 2 Ax+1+Ax—I—-A5—x—AI8—3x =2m+I

3 ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:

3J\x-l+mAx+I=2#x?-I

4-ĐHCĐKB-2007) CMR Vm > (Jpt sau có 2nghiệm pb: x? + 2x —8 = 4Ím(xT— 2)

5- 1 Vx+AYx—5+Xx+7+Yx+16 =l14

2*/4x-l=-x -4x+5 3*/ 42x-I+xx +3=4-x

6-(HVAn ninh KA-1997)Tìm m dé pt sau có nghiệm: „ ly? 49x44 ~ ly? —2x+4=m

Phan II: BAT PHONG TRINH VO Ti

Phong phap 1: Phong phap giai dang co ban:

| (g(x) <0

{Fe >0 B(x) <0

1/ Jf(x) >g(x) © 2/4f(x) < g(x) © +f(x)>0

e(x)>0

2 f(x) < g°(x)

| LEX) > o°(X)

3) F(x) £fg(x) = h(x) _ Binh phong hai vé bpt

2-HTCKT Tphem-1999) ./2x—1<§—x

3-(ĐH Luật 1998) lx-2x?+I>l-x

4-H Mỏ-2000) \(x+1)(4—x) >x—2

5-(ĐH Ngoại ngữ) Vxt5—-Vx+4>Vx43

6-(DHCDKA-2005) J5x —1—-Vx—-1>V2x-4

7-(DH Ngoai thong-2000) ./x +3 > J2x -8 + J/7—-x

8-(DH Thuy Ioi -2000) Vx+2-V3-x < V5-2x

9-(DH An ninh -1999) V5x —1—-V4x -1 < 3Vx

10-(ĐHBK -1999) Vx+1l>3—-Vx4+4

11-(ĐHCĐ KA-2004) NEMA 2/1 Vx-3>

Phơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng

f(x)>0 f(x)<0

g(x) g(x) > 0 g(x) <0

f(x) >0 f(x) <0

2/ TU c0 0 nie |

g(x) g(x) < 0 g(x) > 0

B>0

Luý: 1*/ VA SiS 3 2*/ ÝA lo hay A>0

A<B

|-(DHTCKT-1998) 2Ì—2X—X _ ¡ 2-(ĐHXD) V-3X †X†4+2 „

2

3-(DH Ngoại ngữ -1998) L—VÏ—#X” + 4gp, * 2-X+4x~3,,

Phơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp:

2

I-(ĐHSP Vinh-2001) ——————=2ÈX~'# 2-ĐHMö-1999 manh 2izvx] (PHMO199) (3 fo 2x) 2 <x+2l

3 A(x +1)? < (2x +10)(1-V3+ 2x)

Phong pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế:

2-4ĐHBK-200) Í*?13X12+4 X2 16x15 <-(2x)19x+7

3-(DH Dee -2000) Vx? —8x +15 +x? 42x —15 < V4x2 18x +18

4-(DH Kién trúc -2001) Vx? —4x 43—-V2x2—3x41>x-l

Phơng pháp 4: Đặt ấn phụ:

1-(DH Van hoa) V5x° +10x+1 >7-x* -2x

2-(DH Dan lap phong dong -2000) Jy? 4+ 4x +34/3—2x—x? >]

3-(HV Quan hé qt-2000) (x +1)(x +4) <5Vx? 45x +28

4-(DH Y-2001) 2x? +Vx?—5x—6 > 10x 415

5-(HVNH HCM-1999) X49 TXÌ+4x +(x—2)? <2

6-DH Thai nguyên -2000) 3Vx + Nf <2x+ = —7

7-(DH Thuy loi) 4Jx +i < 2x4 1 +2

8-(HV Ngan hang 1999) Vx+2Vx-l+Vx-2Vx-1 > 3/2

9- Cho bpt: —4,/(4—x)(2+x) $x’ -2x+a-18

a/ Giải bpt khi a = 6

b/Tim a để bpt nghiệm đúng Vx € |—2; 4|

10-Xác định m dé bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra :

\(4 +x)(6—x) <x”—2x+m trên| —4;6|

Phơng pháp 5: Phơng pháp hàm số:

1-@DH Anninh-2000) /7x +7 +./7x—6+2A49x?+7x—42 <18I—14x

4- Xác định m để bpt sau có nghiệm: a/ ^2/4x—2+^A/l6—-4x<m

b 42x +l<m-—x

Phần II: HỆ PHƠNG TRÌNH

A- mot so hé pt bac hai co ban

I-hệ pt đối xứng loại 1

f(x;y)=0

g(xsy) = 0

2*/Cach giaii Dat S=x+y,P=xy DK:S*? >4p

Dang 1: Giai phong trinh

1*/ Dinh nghia: | Trong đó Í(X; y) = f(Yy;X).8Ø(X; V) = ø(y;X)

x? +y° +3(x+y) = 28 xvx + yy =35 x+ty+xy=I11 x? +y° +xy =7

3-(DHGTVT-2000) 2 2 4-(DHSP-2000) 4 4 32

x“ˆy+yx=30 xX +y +x°y =21

1 1

X+y+—+—=5

xX y

x+y + +—=09

xy

6-(DH N - goai thong - h 1998) xt y =3 7- (DHCDKA-2006) MT YT - VAY S °

Dạng 2: Tìm ĐK để hệ có nghiệm:

Vx +Jy =

1-(DHCDKD-2004) Tim m dé hé sau c6 nghiệm:

xvx + yJy =l-3m X+y+xy=a

2- Tìm a để hệ sau có nghiệm4 „ „,

x+Yy =a

212

X+ty+Xx+Yy =6

xy(x+l)(y+l)=m

a/_ Giải hệ khi m = 12 b/ Tìm m để hệ có nghiệm

Xx+xy+y=m+]

4-Cho hệ | 2 2

x“y+yx=m

a/ Giải hệ khi m=-2

b/ Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm | X; Y] thoả mãn X > 0, y > 0

x? +y* =2(14+m) 5- Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm:

(x+y) =4

| |

X+—+y+—=5

x y

6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m đề hệ sau có nghiệm:

I

x +=+y += =15m-10

Dạng 3: Tìm ĐK để hệ có nghiệm duy nhất

x+y+xy=m+2

2

I-(HHVKTQS-2000) Tìm mì để hệ sau có nghiệm duy nhất 2

x ytyx=m+l x+xy+y=2m+l 2-(DHQGHN-1999) Tim M dé hé sau có nghiệm duy nhất: 2

xy(x+y)=m* +m

Xxˆy+y x=2(m+~])

3- Tìm mì đề hệ sau có nghiệm duy nhất:

2xy+x+y=2(m+2) Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ấn số :

Nếu ba số X:Y›Z thoả mãn X † Y +Z — p,XY † YZ T ZX — q.,XYZ — F thì chúng là

nghiệm của pt: tÌ — pt? +qt-r=0

I-Giải các hệ pt sau :

10

Z

a/4XV+YZ+ZX=-4 b/4X +Yy +Z2=l c/JXY+YZ+ZX=27

|X Yy Z

a +y°+z° =8

2- Cho hé pt: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất

XY+YyZz+Zx= 4

CMR: —Ẻ <xX,y,ZS 8

II-Hệ phơng trình đối xứng loại 2

f(x;y)=0

1*/ Định nghĩa trong đó :f(X; y) = ø(y;X).,f(y;X) = g(x; y)

g(x:y) =0

f(x;y)—ø(x;y)=0 x—y)h(x;y) =0

2*/ Cách giải: Hệ pt ©> OGY) —BOGY)=0 _, JO y/h@y)

f(x;y)=0 f(x;y) =0

Dang 1: Giai_phong trinh:

y

~3y =42

1-(DHQGHN-1997) 2-(DHQGHN-1998) 4,

y

3-(DHQGHN-1999) 3 4-(DH Thai nguyén-2001) }

xX y

11

8

6-(DH Hué-1997)

2

5-(DH Van hoa-2001)

Dang 2:Tim dk dé hé cé nghiém:

Wx+1+⁄jy-2=m Wy+I+⁄x=2=Xm

1-(ĐHSP Tphem-2001) Tìm m để hệ có nghiệm:

2x+4Jy-3=m 2y+wx-3=m Dạng 3: Tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất

2- Tìm m để hệ có nghiệm:

2

(x+l] =y+a

I-(ĐHSP-Tphcm-2001) Tìm a đề hệ sau có nghiệm duy nhất:

(y+Ù“=x+a xy+x” =m(y-—])

2- Tìm m đề hệ sau có nghiệm duy nhất: 3

xy+yˆ =m(x-—Ì) Xxˆ+y=axy+l

3- Tìm a đề hệ sau có nghiệm duy nhất: 3

y +x =axytl

Il - Hé phong trinh dang cap:

*/ Hệ pt đợc gọi là đẳng cấp néu mdi pt trong hé cé dang ax? + bxy + cy” =d

*/ Cách giải: Đặt X — ÍYy

*/Lu ý: Nếu (a;bÐ) là nghiệm của hệ thì (b;4) cũng là nghiệm của pt

Dạng 1: Giải phơng trình:

2x“ +3xy+yˆ =l2 xˆ+2xy+3yˆ =9

2 2 xˆy+xy“ =30

3-(DH Mo-1998) ° 3

x +y =35

12

Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm có nghiệm duy nhất

3x° +2xyt+y =11

I-(ĐHQG HCM-199§) Tìm m đề hệ sau có nghiệm : 3 3

x° +2xy+3y =17+m xˆ-2xy—3y“ =8

2x?+4xy+5y? =a†—4a)+4a?—12+105

xˆ-mxy+yˆ =mˆ-3m+2

2-(DHAnninh2000)Tim ađể hệ có nghiệm:

3-Tìm m để hệ sau có nghệm diuy nhất: › › ›

x°+2xy+my =m —4m+3 B- Mot so phong phap giai hé pt_:

Phong phap 1:Phong phap thé:

xty=m+l xˆy+yx=2mˆ-m-3

1-(DHSP Quy nhon -1999) Cho hệ |

1/ Giải hệ khi m = 3

2/Tìm m để hệ trên có nghiệm

2-(DHCDKB-2002) h7 NH7 3-(HVQY-2001) 7

x+y =l

4-(DH Hué-1997) Tim k đề hệ sau có nghiệm:

x-y=k x+my=m

2

5-(DH Thong mai-2000) Cho hé pt: ›

x“+yY -x=0

a Giải hệ khi m = Ì b Biện luận số nghiệm của pt

c.Khi hệ có hai nghiệm phân biệt (xX, 5 VỊ); (X; 5 y>) tim m dé :

A =(x,-x,) +(y, —y,)” dat gid tri lớn nhất

x+y=I

3

6-(SP TPHCM-1999) Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân nt 3

X =y =m(x—y)

Phơng pháp 2: phơng pháp biến đổi tơng đơng:

13

Xy—3x—2y=l6

I-ĐHGTYVT TPHCM-199)1 „ 2 HD:nhân pt đầu với 2 vàcộng với pf sau

x“+Y -2x-Ä4y=33

2-(ĐHThơng mại-1997)4 + yZ + Z = 4 3-(ĐHBKHN-1995) + x“ + yˆ +zˆ = 2l

y+xyˆ =6x 4-(ĐHSPHN-2000) HD:chia cả hai vế của2pt cho x2

I+xˆyˆ =5x/

Phơng pháp 3:_ Phong phap dat ấn phụ:

Z

XY— *= 16 3 C'+(Ö) =l2 X\2 (-X\3 I-(ĐH Ngoại ngữ-1999) < 9 2-(DH Công đoàn-2000) 4+ Y y

x 2

ft | 7

—+,/—- =— +1

3-(DH Hang hai-1999) +Vy Vx Jxy (x > 0, y > 0)

Xa/Xy + yxy = 78

Vxtl+Jy+l1=3 4-(DH Thuy san-2000)

xJfy+tltyv¥x+1+Jytl+vx+1=6

Phần:IV HỆ BẤT PHƠNG TRÌNH

A- Hệ bpt một ấn số:

f(x) > 0d)

Cho hé: (1) Goi Si › S, Lan lot 1a tap nghiém cua (1)&(2)

f, (x) > 0(2)

§ 1a tap nghiém cia (1) @ S=S, OS,

Tìm m để hệ sau có nghiệm:

14

x’ —(m+2)x+2m <0

1-(HVQH Quốc té-1997) 5

x° +(m+7)x+7m < 0

x’ -2x+1-m<0 x —(m+2)x+2m <0

x-(2m+l)x+mˆ+m<0 |xˆÝ-(m+3)x+3m >0

xˆ-2mx<0

4-(ĐH Thuỷ lợi-1998)

x —|+ m| <2m

x? -3x+4<0

5-(DH Thong mai-1998) 3 5

x” —3x|x|-m* —15m 20

Tìm m để hệ sau vô nghiệm:

' x°-1<0 3 x'-6x+5<0 3 x°+7x-8 <0

(m-x”)\(x+m)<0_ |xˆ-2(m+l)x+mˆ+I<0 |m^x+I>3+(3m-2)x

Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

x? +(2m+1Ix+m*+m-2=0

x*—5x?+4<0 B- Hé bpt hai an số:

Tìm a để hệ sau có nghiệm:

2-

x+Yy+.4/2x(y—l)+a =2

3-

X-yta=

fone

3-

x+Vy =a

15

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:

x’? +y? +2x <1 3 x+y+./2xy+m 21

16