Gián án đề thi và đáp án hsg toán 9- huyện yên dũng

Tính độ lớn của CIK.. Chứng minh rằng KA.. Gọi H là giao điểm của đờng tròn đờng kính AK với cạnh AB, chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng.

Phòng giáo dục và đào tạo

Yên Dũng Đề thi chọn học sinh giỏi huyện

Môn Toán 9

Năm học 2009-2010

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (2 điểm)

a Cho biểu thức

2



a Rút gọn P.

b Tính giá trị của P khi x =  10 + 2 6 - 2 5  3 + 5

Bài 2 (2 điểm) Giải phơng trình sau:

a

2 2

2

25x

x + 5

x - 2 + 4 - x = x - 6x +11

Bài 3 (2 điểm)

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

M = (2x+y+1)2 + (4x+my+5)2

b Cho pa rabol (P) :

2

x

y =

4 Điểm A trên P có hoành độ là 2 Tìm phơng trình tiếp tuyến tại A với (P)

Bài 4 (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C, có BC =1AB

2 Trên cạnh BC lấy điểm E ( E khác B và C), từ B kẻ đờng thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lợt là I và K

a Tính độ lớn của CIK .

b Chứng minh rằng KA KC = KB KI

c Gọi H là giao điểm của đờng tròn đờng kính AK với cạnh AB, chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng

d Khi E chạy trên BC thì I chạy trên đờng nào?

Bài 5 (2 điểm)

Cho các số dơng a, b, c thoả mãn a + b +c = 3 Chứng minh rằng rằng :



b +1 c +1 a +1 2

Hớng dẫn chấm

2

-2

0,25

0,25

   

-2

2

2





x

P =

2

1 

0,25

0,25

0,5

b

x=  10 + 2 6 - 2 5  3 + 5 x= 2 5 + 1  5 12 3+ 5 x=  5 + 1  5 1  5 1 6 + 2 5 x=  5 + 1  5 1  5 1  5 + 1 16

 P = 4(1-4)= -12

0,25

0,25

2

a

Điều kiện : x 5

Biến đổi phơng trình về dạng

2

x

Đăt t =

2

5

x

x  thì phơng trình trở thành t

2+10t-11=0 vì a+b+c= 0 nên phơng trình có nghiệm t1=1; t2=-11

2

Vời t= -11  x2+11x+55 = 0( Pt vô nghiệm)

0,25

0,25

0,25

0,25

b

Điều kiện: 2  x 4

Đặt A = x - 2 + 4 - x; B = 2

x - 6x +11

 A2 = x-2+4-x+2 x - 2 4 - x.

 A2 2+ x-2+4-x=4

 A 2 (1) Lại có B = 2

x - 6x +11= (x-3)2+2 2 (2)

3

x



x - 2 + 4 - x

x - 6x +11 = 2

0,25

0,25 025 0,25

Ta có M0 Dấu "=" xảy ra 2 1 0

x y

x my







  

 (m-2)y +3=0

* Nếu m2 thì

2 2 5

x m m y

m











 



nên giá trị nhỏ nhất của M là 0

* Nếu m=2 khi đó M = (2x+y+1)2 + (4x+2y+5)2

0,25

0,25

0,25

Đặt t = 2x+y+1 thay vào M ta có

M = t2 + (2t+3)2 M= 5t2 + 12t +9 = 5

2

t

M nhỏ nhất bằng 9

5 dạt đợc khi 2x +y +1 +

6

5 = 0

hay y = -2x -11

5 .

0,25

b

Vì A thuộc (P) và xA=2 =>yA=1 Vậy A(2;1)

Phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có dạng : y = ax +b Vì A thuộc (d) nên => 1= 2a+b hay b =1 -2a

Khi đó phơng trình đờng thẳng (d) thở thành y= ax + 1 - 2a Phơng trình xác định hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :

2

x

4 = ax + 1 - 2a  x2 - 4ax + 8a - 4 = 0

' 4 a 1

Để (d) tiếp xúc với (P) thì    ' 0 a 1

khi a=1 => b= -1 Vậy đờng thẳng cần tìm có phơng trình là : y = x-1

0,25 0,25

0,25 0,25

4

a

H I C

B A

E K

a Tứ giác ACIB nội tiếp đợc trong một đờng tròn

 CIK = KAB( Cùng bù với CIB ) Lại có KAB = 300 (Sin KAB =0,5)

 CIK =300

0,25

0,25

b

b.Tam giác KIA đồng dạng với tam giác KCB

 KI =KA

KC KB  KA KC = KB KI

0,25 0,25

c c KHA=900( Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)

 KH AB (1)

Mà E là trực tâm của tam giác AKB  KEAB (2)

Từ (1) và (2)  ba điểm I, K, E thẳng hàng

0.25 0,25 0.25

d d



AIB = 900(gt) mà A, B là hai điểm cố định  Điểm I thuộc đờng tròn đờng kính AB

0,25

5

ta có

2

2a = ab2

a

-b +1 b +1 mà theo BĐT Côsi ta có b

2+12b

 2 1

2

b

2 2

2 2

hay



2

2

a

Tơng tự ta có 2 

2

b bc

b

-c +1 (2)

2  c

2

Từ (1), (2) và (2) 



Mặt khác lại có a2+b2+c2 ab +bc +ca

 ab+bc+ca 1

3(a+b+c)

2

hay ab+bc+ca3

 2a + 2b + 2c a + b + c -3

 2 2 2 3

2

b +1 c +1 a +1

0,75

0,25 0,25

0,5

0,25