Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R.. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với A
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
TP BẮC GIANG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (5 điểm)
a Cho biểu thức M=a a b b a b
với a, b > 0 và ab Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1a1 b 2 ab 1
b Tìm các số nguyên a, b thoả mãn 5 4 18 2 3
a b a b
c Cho a, b, c thỏa mãn a b c 7 ; a b c 23 ; abc 3
ab c bc a ca b
Bài 2: (4,5 điểm)
a Tính giá trị của biểu thức N= 4 3 4 3 27 10 2
4 13
b Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn 2 2 2
2
a b a b + 2
(1 ab) 4ab
Chứng minh 1 ab là số hữu tỉ
Bài 3: (3,5 điểm)
a Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn 5 2 2
1
x y xy
b Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh
2
ab a bc b ca c
Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng
bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy
M sao cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM Đường thẳng vuông góc với AB tại
O cắt BC tại N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P
a Chứng minh MNCO là hình thang cân
b MB cắt CH tại I Chứng minh KI song song với AB
c Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE Chứng minh PG vuông góc với QF
Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương
Họ tên thí sinh SBD:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: TOÁN LỚP 9
a/
1,5đ -Rút gọn M= aab b với a, b>0 và ab
-Ta có
2
ab a b
+ Nếu a>b>0
ab
M
+ nếu 0<a<b
ab
M
0,75
0,25
0,25
0,25
b/
1,5đ
18 2 3
-Nếu
2 2
a b a
Vì a, b nguyên nên
2 2
2
a b a
-Vây ta có
2 2
2 2
2 2
3
2
3a 6b a 0 t
0,5
0,25
0,75
Trang 3Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thoã mãm) , vậy a=3 Kết luận
c/
2
a b c a b c ab bc ca
mà a b c 7 ; a b c 23 nên ab bc ca 13
nên ab c 6 ab a b 1 a1 b1
Tương tự bc a 6 b1 c1 ; ac b 6 a1 c1
ab c bc a ca b
=
a 11 b 1 b 11 c 1 a 11 c 1
=
11 11 11
3 7 13 1 1
0,25
0,75
1,0
a/
8 2 13
(5 2) (4 3) 2 4 3 4 3 (4 3)
2 2
( 4 3 4 3 )
0,25
0,5
0,5
b/
2
2
(GT) a b 2(ab 1) (a b) 1 ab 0
a b 2(a b) (1 ab) (1 ab) 0
a b (1 ab) 0 (a b) -(1 ab)=0 (a b) 1 ab a b 1 ab Q;vi:a;b Q.KL
0,25 0,5 0,25 0,5
c/
1,5đ
Đi u ki n: x1 (*)
2
x x x x
Đặt x x 1 y (Đi u ki n:y1 ** ), phương trình tr thành
2
y y
0,5
Trang 4
3
y
+Với y 1 không thỏa mãn đi u ki n ( )
+ Với y3 ta có phương trình:
2
2
1 9 6
2 2
7 10 0
5
x
x x
x x
x
Vậy phương trình có nghi m x2
0,25
0,5
0,25
a/
1,75đ Ta có 5 2 2 5 2 2
x y xy x xy y
1 0
1
x
1 y y 1 đúng với mọi y nguyên Vậy ngi m của PT là (1;yZ)
x x x x y x x x x y
Ta có
2 2
(2x x) 2y *
2y 2x x 2 **
Từ và ta có
2
2y (2x x 1) x 2x 3 0 x 2x 3 0
1 ( 1)( 3) 0
3
x
x x
x
x y y
x y y
2y (2x x 2) 5x 0 x 0 y 1 y 1 Kết luận
0,25
0,25
1đ
0,25
b/
3 x y z x y z xy yz xz 0 0,5
Trang 51,75đ 2 2 2 2
3
x y z x y z nên với x,y,z>0 ta có
3
x y z x y z , áp dụng ta có
3
ab a bc b ca c
4
x y xy x y xy
x y x y
áp dụng ta có
ab a ab a ab abc a ab c a
c
a
;
b
3
3
2
ab a bc b ca c
0,5
0,5
0,25
T G F
Q
P
E
O
K
I
H
N
C M
B A
Trang 62đ vuông tại C ACBN
Ta có MA=MC ( ), OA=OC ( ) nên MO là trung trực của AC
//
MO AC MO NB
90
MAO NOB
0
MAONOB MOANBO OAOB R MAO NOBMONB
-Ta có MO NB MO// ; NBMNBO là hình bình hành.Ta có MAO=
NOB
MNBO là hình thang cân
0,75
0,75
b/
0
90 ;
-Ta có CH AB (gt) ; MAAB ( )
2
2
-Chi ra KI là đường trung bình của tam giác ACH KI//AB
0,5
0,5 0,5 0,5
c/
2đ
-Chưng minh O là trục tâm tam giác GIP
0,75 0,75 0,5
Vì A và 27 2
1 4 4n là số chính phương
1 4 4n > 27 27 2
4n (2n )
1 4 4n là số chính phương nên ta có
1989 27
1 4 4n 27 2
2n 1
2n 2 n 4004
Vậy n=4004 thì A=427+42016+4n là số chính phương
0,25
0,5
0,25