Đề HSG toán 9 quảng nam 2016 2017

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Câu 2.. 2,5 điểm Cho tam giác nhọn ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn O đường kính AK; ấy điểm I thuộc cung nhỏ của đường tròn O I khác A, B..

Page 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017

Môn thi : TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 10/4/2017

Câu 1 (5,0 điểm)

x

         

1 4

x

Rút gọn biểu thức P và tìm x để 3

2

P b) Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa ab bc ca  3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình x2  1   x 1    x 2 0

b) Giải hệ phương trình

2







Câu 3 (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , ) a b thỏa mãn đẳng thức:

a  b a b  a b  a b 

b) Cho hai số nguyên a b thỏa 2 2

24a  1 b Chứng minh rằng ch có một số a hoặc

b chia hết cho 5

Câu 4 (2,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AK; ấy điểm I thuộc cung nhỏ của đường tròn (O) (I khác A, B) Gọi M giao điểm của IK

BC, đường trung trực của đoạn thẳng IM cắt AB và AC ần ượt tại D và E Chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành

Câu 5 (4,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có trực tâm H Gọi D, E, F ần ượt các chân đường cao t A, B, C của tam giác ABC

a) Gọi K giao điểm của hai đường thẳng EF BC, gọi L giao điểm của đường thẳng AK đường tròn (O) (L khác A) Chứng minh HL u ng góc i AK

b) ấy điểm M thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B, C) Gọi N và P ần ượt hai điểm đối xứng của điểm M qua hai đường thẳng AB và AC Chứng minh ba điểm

N, H, P thẳng h ng

–––––––––––– Hết ––––––––––––

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

Page 2

Họ và tên thí sinh: … ……….; Số báo danh: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

N M HỌC 2016 – 2017

H ỚNG D N CHẤM

M TOÁN

(Hư ng d n ch m thi nà c 08 trang)

Câu 1

(5,0 đ) Cho biểu thức 4 2 5 1 2 1

x

         

1

4

x Rút gọn biểu thức P và tìm x để 3

2

P

3,0

2

P

         

(m i t ong khai t iển được )

0,75

2

x x

x



x x x x   x x x x  x 0,5

P



2

2

H c t h cách hác

x x

x



ặt t x t, 0

hi đó tr th nh: 3

2 0, ( 1) 0

t  t  nên (t1) (2 t2)     0 t 1 0 t 1 hay x1 0,25

b) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa: ab bc ca  3abc Tìm giá t ị nhỏ nh t

của biểu thức

A

2,0

Page 3

Cách 1: h o đ : ab bc ca 3abc 1 1 1 3

a

0,25

2

2

2

c a



Suy ra

3

2

1 4

a

c a



 

Tương tự :

3

2

1 4

b

a b



 

3

2

1 4

c

b c



 

9

a b c

     

a b c  3 9    a b c 3

Suy ra 3

2

A dấu bằng xảy ra khi a  b c 1

2

A khi a  b c 1

0,25

Cách 2 :Ta có: ab bc ca 3abc 1 1 1 3

a b c

ặt x 1, y 1, z 1

3

x y z





   

0,25

A

y x y y x y y x y

 

2

1 2

2

y

x

0,25

m 1 1.2 1.1 1 1 1

 

    

1

x

 

    

(d u b ng ả ra khi x y 1)

0,25

y

 

    

1

z

 

    

A

    

0,25

9

     

        

Page 4

2

A dấu bằng xảy ra khi x  y z 1 hay a  b c 1

2

A khi a  b c 1

0,25

Câu 2

(4,0 đ) a) Giải phương t ình

2

Cách 1:

hi đó ta có: 2

x   x   x

2 2

t x t hương trình tr th nh:

2 (t 1) ( t 1)(t 1) 2t 0

ì t0 nên (t1)(t2 1) 2t0

i t  1 x 0 thỏa

Cách 2

x   x    x  x   x x (*)

ặt t  1 x 1x t, 0 Suy ra

2 2

2

t

t   x      x

0,25

hi đó phương trình tr th nh:

t  t     t t t  t   (*) 0,5

t  t     

i t   2 x 0 thỏa

Cách

ặt 1 x a, 1 x b a b( , 0) Suy ra: a2b2 2 (1) 0,5

1x a b 2 x a b 1 hương trình đã cho tr th nh: 2 2

1

Page 5

T ta cố hệ:

2 2

2 1

a b

a b a b

      

1 0

1

a

x b





b) Giải hệ phương t ình

2





Cách 1:

2







2

2 2



 

(lưu : không nh t thi t bi n đối đưa v phải của pt thứ hai về 2 y , c thể 3y )

0,25

x

x x

 



Suy ra

1 2 0

x y

  





 



một nghiệm của hệ

0,25

- t y0 hệ phương trình tương đương i hệ:

2

x

a xy b 

   khi đó hệ phương trình * tr th nh:

2

5

a b

 





  

+ Giải hệ tìm được: 2

3

a b





 

4 9

a b

 



 

3

a b





 

1 3

3

x

x x

y x

   

 



hoặc

3 2 2 3

x y

  





  



9

a b

 



 

9

9

x

x

x

   

  



y hệ phương trình đã cho có ba nghiệm:

1 2 0

x y

  





 



1

x y





 

3 2 2 3

x y

  





  



Page 6

Cách 2:

0,25

2



0 1 5

y

xy

xy







  



0,5

i y0 uy ra được ( ; ) ( 1;0)

2

i xy1 uy ra được ( ; ) (1;1)x y  hoặc ( ; ) ( 3; 2)

i xy 5 Trường hợp n y kh ng t n tại cặp ( ; )x y 0,25

V y hệ phương trình đã cho có ba nghiệm:

1 2 0

x y

  





 



1

x y





 

3 2 2 3

x y

  





  



Câu 3

(4,0 đ) a) Tìm t t cả các cặp số ngu ên dương ( , ) a b thỏa mãn đẳng thức:

a3 b3 3(a2b2) 3( a b ) (a1)(b 1) 25

2,0

a  b a b  a b  a b 

(a 3a 3a 1) (b 3b 3b 1) (a 1)(b 1) 25

(a 1) (b 1) (a 1)(b 1) 25

0,5

ặt x a 1,y b 1( ,x yZ x y; , 2)

T suy ra x   y x y 1 m 2 2

0

x xy y  nên:

ơn n a: x y x y, 2 nên xy6

T suy ra: x4 Do x y y2 nên y 2;3 0,25

Th ại ch có 4

3

x y





 

 thỏa uy ra

3 2

a b





 

b) Cho hai số ngu ên a và b thỏa: 24a2 1 b2 Chứng minh ng ch c m t

Cách 1:

24a  1 b 25a  1 a b a b 1(mod 5) (1) 0,25

Page 7

Ta có: 0, 1, 2(mod 5)

0, 1, 2(mod 5)

a b

  



   

2 2

0,1, 4(mod 5) 0,1, 4(mod 5)

a b

 



 



T suy ra:

2

2

0(mod 5) 1(mod 5)

a b

 







2

2

1(mod 5) 0(mod 5)

a b

 







Cách 2:

24a  1 b 25a  1 a b a b 5.k1 (1) 0,25

n Z n l r l Z r

T suy ra:

2 1 2 2

5







2 1 2 2

5

 





Cách 3:

24a  1 b 24a b  1 kh ng chia hết cho 5 nên a b kh ng đ ng

thời chia hết cho 5

0,25

+ Giả s a b đ u kh ng chia hết cho 5

Th o định ý F rmat ta có

4

4

1(mod 5)

1(mod 5)

a

a b a b b

 







0,5

Nếu 2 2

0(mod 5)

a b  thì 2 2 2

25a  1 a b 0(mod 5)( vô lí) 0,25

Suy ra a2b2 0(mod 5) 2 2 2

23a 1 b a 0(mod 5)

1(mod 5) 1(mod 5) 23 1 1(mod 5)

a    a   a    trái i 0,25

y đi u giả s sai T đó suy ra đi u cần chứng minh

Câu 4

(2,5 đ) Cho tam giác nhọn C c n t i và n i ti p t ong đường t n ( ) đường

kính ; l điểm thu c cung nhỏ của đường t n ( ) ( khác , ) Gọi

là giao điểm của và C, đường t ung t ực của đo n thẳng c t và

C lần lượt t i D và E Chứng minh tứ giác D E là hình bình hành.

2,5

Page 8

O

//

//

2 1

1

/ /

A

N

M F

K

E

D I

C B

2 1

( hông c hình v không ch m bài) Gọi N trung điểm của IM, F giao điểm của DE IB

(Hoặc tứ giác D và C n i ti p nên FDM IAE ;

FDM FDI DIADIAIAE Su a ED là hình thang c n.)

Cách hác

Gọi N trung điểm của IM, F giao điểm của DE IB

Ta có: I1 A1 A2F1 C1 tứ giác F C nội tiếp trong đường tròn

0,5

ặt khác F1C1F2 B1tứ giác F nội tiếp trong đường tròn

Suy ra FBC MDE(2)

0,5

ơn n a AEDMDEAEDIDE

Suy ra ADEIED m IED DEM nên ADEDEM AD//EM (**)

Câu 5

(4,5 đ) Cho tam giác nhọn C ( C) n i ti p t ong đường t n ( ) và c t ực t m

là H Gọi D, E, lần lượt là các ch n đường cao v t , , C của tam giác

ABC

Page 9

a) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng E và C, gọi là giao điểm của

đường thẳng và đường t n ( ) ( khác ) Chứng minh H vuông g c v i

AK

2,5

O A

H D F

E

K L

( hông c hình v không ch m bài)

Cách 1:

t hai tam giác KBF KECcó:

K chung, KBFKEC ì c ng b i FBC )

Suy ra KBF KEC đ ng dạng

0,5

Tương tự: KBL KAC đ ng dạng

Suy ra: KB KL KB KC KL KA

T suy ra: KF KE KL KA KF KL

KA KE

Suy ra KFL KAE đ ng dạng

0,5

o đó điểm A, L, F, E c ng nằm trên đường tròn

A, E, F nằm trên đường tròn đường kính AH nên L c ng nằm trên đường tròn

Cách 2:

ạ H ’ u ng góc AK tại ’ Ta đi chứng minh ’ thuộc đường tròn (O) 0,25

5 điểm , ’, , H, E c ng nằm trên đường tròn đường kính AH 0,5

Chứng minh được KFL' KAE đ ng dạng

KL KA KF KE

Chứng minh được ’ C nội tiếp uy ra ’ tr ng L

b) điểm thu c cung nhỏ C của đường t n ( ) ( khác , C) Gọi

và P lần lượt là hai điểm đối ứng của điểm ua hai đường thẳng và C

Chứng minh ba điểm , H, P thẳng hàng.

2,0

Page 10

O F

E

D

P

M

N

H

C B

A

( hông c hình v không ch m bài)





180

ACBAHB Suy ra ANBAHB1800

+ Suy ra NHBBHC CHP MABBHCMAC(MABMAC)BHC

BACBHCBACFHE1800

uy ra N thẳng h ng

0,5

Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì an Giám khảo thảo u n thống nhất thang

điểm cho ph hợp i ư ng dẫn chấm