061 đề HSG toán 9 xuyên mộc 2016 2017 vòng 2

2 Tìm vị trí của đường kính MN đ EF có độ dà nhỏ nhất và tính g á trị nhỏ nhất đó theo R... 2 Tìm vị trí của đường kính MN đ EF có độ dà nhỏ nhất và tính g á trị nhỏ nhất đó theo R... Nế

UBND HUYỆN XUYÊN MỘC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC NĂM HỌC 2016 – 2017

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài thi 150 phút

Ngày thi …… tháng 01 năm 2017

Bài 1:(2,5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 3 2 2

2n mn 3n 14n 7m 5 0  

Bài 2: (7,5 điểm)

a) t g n u th c

3

b) x 2014  x 2016 y 2016 x 2016

c) Tìm GTNN của u th c 3 4 x

A

x 1







d) Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1

Ch ng m nh rằng x + y + y + z + z + x  6

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho tam g ác ABC có chu v 2p = a + + c (a, , c là độ dà a cạnh của tam g ác)

Ch ng m nh rằng : 1 1 1 2 1 1 1

Bài 4:(5,0 điểm)

Cho tam g ác ABC nộ t ếp đường tròn (O ; ) G (I ; r) là đường tròn nộ t ếp tam g ác ABC, M là t ếp đ m của AB vớ đường tròn (I); H là g ao đ m của AI vớ đường tròn (O) (H khác A), HK là đường kính của đường tròn (O) G a là độ dà đoạn OI Ch ng m nh rằng a) Tam g ác AMI và tam g ác KCH đồng dạng

b) HB = HI

c) IA.IH 2 2

R a

  d) 2 2

R  2Rr  a

Bài 5:(3,0 điểm) Cho đường tròn (C) đường kính PQ = 2 cố định và một đường kính MN

của đường tròn thay đổ (MN khác PQ) Qua P vẽ đường thẳng (d) là t ếp tuyến của đường tròn, (d) cắt QM và QN lần lượt ở E và F

1) Ch ng m nh tam g ác QMN đồng dạng vớ tam g ác QFE

2) Tìm vị trí của đường kính MN đ EF có độ dà nhỏ nhất và tính g á trị nhỏ nhất đó theo R

- HẾT -

H và tên thí s nh ……… Chữ ký g ám thị số 1 ………

Số áo danh ………

UBND HUYỆN XUYÊN MỘC

PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9

(Hướng dẫn chấm có ……… trang) Bài 1:(2,5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 3 2 2

2n mn 3n 14n7m 5 0

1.2

(2,5đ)

2

16 (1) 7

2 3

n



Vì m, n  Z nên

0,75

Từ (1) và (2) suy được

( , )m n  (1;1),( 3; 1);(4;3),( 8; 3)    0,75

Bài 2: (7,5 điểm)

a) t g n u th c

3

b) x 2014  x 2016 y 2016 x 2016 (1)

c) Tìm GTNN của u th c 3 4 x

A

x 1







d) Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1

Ch ng m nh rằng x + y + y + z + z + x  6

2.1

(2,0đ)

Ta có

3

3

(2 1)( 1 )( 1)( 1) 1

1,0

1,0

2.2

(2,0đ)

x 2014  x 2016 y 2016 x 2016 (1)

Ta có: x 2016  x 2016 x  x  x 2016 x  2016 (2) 0,5 Chỉ ra được dấu « = » xảy ra kh 0  x 2016 (*)

Từ (1) và (2) suy được x2014 y 2016 0

0,25x2

Lập luận suy được 2014

2016 0

y

y 2016

   





Đố ch ếu ĐK (*) và kết luận được ngh ệm

0,5

0,5

2.3

(1,5đ)

ĐK x 0

2 4) ( ( x 2)

1 1

x 1

A





Chỉ ra được M n A = -1 kh x = 4 (tmđk)

1,0

0,5

2.4

(2,0đ)

Áp dụng BĐT Bunh akopsk có

2 2

2 2 2

1.

A x + y +1 y + z + 1 z + x

x + y y + z z + x



1,0

= 3.2(x +y + z) = 6.1 = 6 (vì x + y + z = 1)

Suy được A 6 khi 1

a b c

3

0,5 0,5

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho tam g ác ABC có chu v 2p = a + + c (a, , c là độ dà a cạnh của tam g ác)

Ch ng m nh rằng : 1 1 1 2 1 1 1

3

(2,0đ)

2

b c a

p a     p b  p c 

Áp dụng BĐT Cô s ta có :

0,5

p a p b p a p b c

0,25

p b p c a p c p ab

4

     

Suy được đpcm và

Dấu “=” xảy ra kh a b c

0,25

0,25

0,5

Bài 4:(5,0 điểm)

Cho tam g ác ABC nộ t ếp đường tròn (O ; ) G (I ; r) là đường tròn nộ t ếp tam g ác ABC, M là t ếp đ m của AB vớ đường tròn (I); H là g ao đ m của AI vớ đường tròn (O) (H khác A), HK là đường kính của đường tròn (O) G a là độ dà đoạn OI Ch ng m nh rằng a) Tam g ác AMI và tam g ác KCH đồng dạng

b) HB = HI

c) IA.IH 2 2

R a

 

d) 2 2

R  2Rr  a

A

I

H

K

M

F O

E

1 2

1 3 1

4.a

(1,75đ)

* Hình vẽ đ ng

– Ch ng m nh được các tam g ác AMI và KCH là các tam g ác vuông

- Ch ng m nh được A1A2 K

- Suy ra được tam g ác AMI và tam g ác KCH đồng dạng (đpcm)

0,25

0,5 0,5 0,5

4.b

(1,0đ)

- Ch ng m nh được I1A1B ; IBH1 B2B3B1A1

Do đó I 1  IBH  HB  HI (đpcm)

0,5 0,5

4.c

(1,0đ)

G EF là đường kính của (O) và đ qua I

- Nêu được IA.IH = IE.IF (hệ th c trong đường tròn)

- Suy ra: IA.IH = (R – a).(R + a) = R2 – a2

0,25 0,25 0,5

4.d

(1,25đ)

Từ câu a), ta có IA IM

HK  HC  IA.HC = HK.IM = 2Rr (*)

Mà HB = HC (do A1A2) HC = HI

Kết hợp câu c), thay vào (*) ta có: R2 – a2 = 2Rr  2 2

R  2Rr  a (đpcm)

0,50 0,25 0,50

Bài 5:(3,0 điểm) Cho đường tròn (C) đường kính PQ = 2 cố định và một đường kính MN

của đường tròn thay đổ (MN khác PQ) Qua P vẽ đường thẳng (d) là t ếp tuyến của đường tròn, (d) cắt QM và QN lần lượt ở E và F

1) Ch ng m nh tam g ác QMN đồng dạng vớ tam g ác QFE

2) Tìm vị trí của đường kính MN đ EF có độ dà nhỏ nhất và tính g á trị nhỏ nhất đó theo R

A B

M

I E

H O F

P

Q

M

N

C

5.1

(1,5đ)

Ch ng m nh được QM.QE = QN.QF(=PQ2) QM QN

Chỉ ra được QMN đồng dạng QFE (c.g.c) 0,75

5.2

(1,5đ)

QFE vuông tạ Q có PQEF (gt) (1)  PQ2 = PE.PF(hệ th c 2)

Áp dụng ất đẳng th c Cô s cho 2 số EP, PF > 0 ta có

2

EFEP PF 2 EP.PF2 4R 4R

 EF nhỏ nhất ằng 4 kh EP = PF (2)

0,25

Từ (1) và (2)  ∆QEF cân tạ Q có PQ là đường cao đồng thờ là phân giác

Chỉ ra được PMQN là hình chữ nhật

0,25

0,25

 PMQN là hình vuông MNPQ Vậy Khi MNPQ thì EF có độ dà nhỏ nhất ằng 4 ’

0,25

0,25

Chú ý: 1 Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì GK vẫn cho điểm tương đương

2 Điểm toàn bài không được làm tròn