Đề thi chọn HSG THCS cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Thái Bình

Đề thi chọn HSG THCS cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Thái Bình giúp các em kiểm tra, đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn. Và đây cũng là tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy, biên soạn đề thi của thầy cô. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

THÁI BÌNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2018-2019

MÔN TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút

Năm học 2018-2019.Ngày thi 04/01/2019 Thời gian làm bài :150 phút

Câu 1(3 điểm).Cho biểu thức

1 : 1

P

a)Rút gọn P

b)Tính giá trị của biểu thức P khi  3   3   2 

Câu 2(3 điểm).Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) :

(m 1)x y 3m 4 và đường thẳng (d’) : x(m1)ym.Tìm m để (d) cắt (d’) tại điểm M sao cho 0

30

MOx

Câu 3(4 điểm)

a.Giải phương trình     2   

b.Giải hệ phương trình       





2

Câu 4 (2 điểm).Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có

chu vi bằng 3 thì 2 2 2 

3a 3b 3c 4abc 13

Câu 5 (3 điểm).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BE và

AD.Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC

a.Chứng minh nếu HG song song BC thì tan tanB C3

b.Chứng minh tan tan tanA B CtanAtanBtanC

Câu 6 (3 điểm).Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi I,J,K lần lượt là

tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH Gọi giao điểm của các đường thẳng AJ, AK với cạnh BC lần lượt là E và F

a.Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

b Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng nhau

Câu 7 (2 điểm).Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x,y,z) sao cho 



2019 2019

x y

hữu tỉ và 2  2  2

x y z là số nguyên tố

GIẢI Câu 1(3 điểm).Cho biểu thức

1 : 1

P

a)Ta có        

        

1 : 1

P

được kết quả là P 1

xy

 1  1

2 2

P

Câu 2(3 điểm) Ta có tọa độ của 3m 2;m 2

 là nghiệm của hệ phương trình

( 1)

x m y m

m x y m

  



    

 Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với Ox tại B Ta có

2

30

OM

Câu 3(4 điểm)

a.Điều kiện 1 

6

Vậy nghiệm là x5

b.Giải hệ phương trình

phương rồi hệ số bất định nhé

Câu 4 (2 điểm).Ta dễ dàng chứng minh được 0 , ,  3

2

a b c Áp dụng BDT cô si cho

ba số dương ta có: 3     3 3 3 3 3 3



 1 279(   ) 3(   )  1 27 3(   )

8 8 4 a b c 2 ab bc ca abc 8 8 2 ab bc ca abc

4abc  14 6(abbcac) 2  2 2 

3a 3b 3c 4abc 13.Dấu bằng xảy ra khi

  1

a b c

Câu 5 (3 điểm)

a) Tìm được tanB= AD

BD ,tanC=AD

CD => tanB.tanC=

.

AD

BD CD

BDH ADC BD CD AD DH

DH

Ta được : AM 3

GM  ( M là trung điểm của BC).Và  ADM có HG//BC

GM HD

A B C     A B  C A B  C Từ đó chứng minh được tan tan tanA B CtanAtanBtanC

Câu 6 (3 điểm).Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi I,J,K lần lượt là

tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH Gọi giao điểm của các đường thẳng AJ, AK với cạnh BC lần lượt là E và F

a.Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

b Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng nhau

I A

C B

H

a.Cách 1.Trước tiên ta sẽ chứng minh I là trực tâm của tam giác AJKAJK.Gọi F là giao điểm của tia AK và BC Theo tính chất góc ngoài tam

giácAFBF CA HAC 2HACHCA

Lại có BAFBAHHAF  2HACHCA (Lưu ý : BAH HCA (cùng phụ HAC)

Suy raBAF BFA nên tam giác ABF cân tại B.Mà BI là phân giác của tam

giác ABF cân tại B nên cũng là đường cao hay JI⊥AK.Tương tự KI⊥AJ Vậy : I là trực tâm của tam giác AJK.Ta có tam giác ABF có phân giác BI đồng thời là đường cao nên tam giác ABF cân suy ra IA IF Ta có tam giác ACE có phân giác CI đồng thời là đường cao nên tam giác ACE cân suy ra IA IE.Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

b Kẻ IO vuông góc với BC=> O là trung điểm của EF.Ta chứng minh tam giác EKF vuông tại K, EJF vuông tại J.Từ đó suy ra O 1 E

2

J OI OK F Từ đó ta có 1 E

2

OI F Đặt OI r.Ta chứng minh được AB+ AC- BC =2r ; AB +AC -BC =EF.Từ đó có điều chứng minh

Câu 7 (2 điểm).Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x,y,z) sao cho 



2019 2019

x y

hữu tỉ và 2  2  2

x y z là số nguyên tố

Do 



2019

2019

x y

y z là số hữu tỉ nên



2019

2019

b

Nếu byaz0và aybx=0 thì     2   2 2

a y x

x y x y z tm tmn tn

b z y

vớit n m, ,  *

Nếu byaz0 thì √  



x

2019 ay b

by az là số hữu tỉ (vô lí)

Mà 2  2  2 2 4  2 2  4

x y z t m m n n là số nguyên tố Nên suy ra ( , , )x y z (1,1,1)