Nhằm giúp các bạn học sinh có cơ hội đánh giá lại lực học của bản thân cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề của giáo viên. Mời các bạn và quý thầy cô cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Sơn La. Chúc các em thi tốt.
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SƠN LA LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
Năm học 2018-2019.Ngày thi 18/03/2019 Thời gian làm bài :150 phút
Câu 1 (3 điểm).Cho biểu thức
3
3x 2 3x 4
3 3x 8
x
A
giá trị nguyên
Câu 2 (4 điểm) Cho phương trình 2
2( 1) 3 3 0
x m x m (1)
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa mãn 2 2
1 2 5 x 1 2
M x x x
đạt giá trị nhỏ nhất
b)Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1
Câu 3 (4 điểm)
a)Giải phương trình 2 2 213x 6
5x 3 2x 3
x
b)Giải hệ phương trình 3 2x2 2 212 0
y x
Câu 4 (6 điểm).Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A
và C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O),
BC cắt MN tại K
1 Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn
2 Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi
3 Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm của ME
Câu 5 (2 điểm) Cho hình vuông ABCD và 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn
mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành 2 phần có tỉ số diện tích là 0,5.Chứng minh rằng trong 2019 đường thẳng trên có ít nhất
505 đường thẳng đồng quy
Câu 1 (3 điểm).Cho biểu thức
3
3x 2 3x 4
3 3x 8
x
giá trị nguyên
Điều kiện x 0.Ta có
3
3 3x 8
x
3 3x 2 1
1 3x 2 1
3
x x
.Vậy x 3 là thỏa đề
Câu 2 (4 điểm) Cho phương trình 2
2( 1) 3 3 0
x m x m (1)
Trang 2a)Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thì ' ( 1)( 4) 0 1
4
m
m m
m
1 2 5 x 1 2 ( + x ) 1 2 3 x 1 2
M x x x x x
2
8 16 16
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi
1
8
m
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì
1 2
' ( 1)( 4) 0
1
x x
Câu 3 (4 điểm)
a)Giải phương trình 2 2 213x 6
5x 3 2x 3
x
x
0
x không là nghiệm của phương trình Khi x0 thì Phương trình đã cho
6 0
t x
x
, ta được phương trình biểu thị theo t là
6
t t
11 1;
2
t t
x
(vô nghiệm)
x
cho có tập nghiệm là 11 73
4
S
b)Ta có
y x
(-2;1) và (2;-1)
Câu 4 (6 điểm).Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A
và C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O),
BC cắt MN tại K
1 Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn
2 Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi
3 Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm của ME
Trang 3d E
D H
K
Q P
N
M
I
A
B
C O
a)I là trung điểm của BC (Dây BC không đi qua O)
OI BC OI = 90A 0 Ta có OM = 90A 0 nên ANO = 900 Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kinh OA
b)Gọi I là trung điểm của BC suy ra IOBC
ABN đồng dạng với ANC (Vì ANBACN, CAN chung)
AB.AC = AN2 ANO vuông tại N, đường cao NH nên AH.AO =
AN2AB.AC = AH.AO (1) AHK đồng dạng với AIO (g.g)
Nên AH AK AI AK AH AO
AI AO (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI.AK AB.AC AK AB AC
AI
Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK không đổi
Mà A cố định, K là giao điểm của BC và MN nên K thuộc tia AB
K cố định (đpcm)
c)Ta có: MHE đồng dạng QDM (g.g) ME MH
và PMH đồng dạng MQH (g.g) MP MH MH
MP P là trung điểm ME
Câu 5 (2 điểm) Cho hình vuông ABCD và 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn
mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và chia hình vuông thành 2 phần có tỉ số diện tích là 0,5.Chứng minh rằng trong 2019 đường thẳng trên có ít nhất
505 đường thẳng đồng quy
Trang 41
1 1
B
A
F
E
N M
H K
Gọi MN; EF là đường nối trung điểm
hai cạnh đối của hình vuông (hình vẽ)
Giả sử đường thẳng d1 cắt cạnh AB tại
A1 cắt MN tại I và cắt cạnh CD tại B1
Ta có các tứ giác AA1B1D và BCB1A1
là hình thang và có MI, NI lần lượt là
các đường trung bình của hai hình
thang đó
1 1
1 1
AA B D
A BCB
1
AD AA DB
1
2
(theo GT)
Suy ra MI 1
MN 3 nên MI 1MN
3
vậy điểm I cố định Lập luận tương tự ta tìm được các điểm H; J; K cố định (hình vẽ) Có 4 điểm cố định mà có 2019 đường thẳng đi qua nên theo nguyên lý Đirichlet ít nhất phải có 505 đường thẳng đồng quy