Giải tích toán học tập 3

59 2.6.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng.. 60 2.6.2 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số hằng... 88 3.4.6 Cá

PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH

NGUYỄN XUÂN HUY

gI¶I TÝCH TO¸N HäC

TËP 3

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NGUYỄN XUÂN HUY

gI¶I TÝCH TO¸N HäC

TËP 3

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Mục lục

Mục lục 3

Lời nói đầu 7

Chương 1 Phương trình vi phân cấp 1 9 1.1 Các khái niệm cơ bản 9

1.1.1 Phương trình vi phân cấp 1 9

1.1.2 Nghiệm 9

1.1.3 Bài toán Cauchy 10

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 10

1.2.1 Điều kiện Lipschitz 10

1.2.2 Dãy xấp xỉ Picar 11

1.2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Picar) 12

1.2.4 Sự thác triển nghiệm 16

1.2.5 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 16

1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 17

1.3.1 Phương trình phân li biến số 17

1.3.2 Phương trình thuần nhất 19

1.3.3 Phương trình quy được về phương trình thuần nhất 21

1.3.4 Phương trình vi phân toàn phần Thừa số tích phân 24

1.3.5 Phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Bernoulli và phương trình Ricati 29

1.4 Bài tập chương 1 36

3

Chương 2 Phương trình vi phân cấp cao 39

2.1 Các khái niệm cơ bản 39

2.1.1 Nghiệm 40

2.1.2 Bài toán Cauchy 40

2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 40

2.2.1 Điều kiện Lipschitz 41

2.2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 41

2.2.3 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n 42

2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 43

2.4 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n 44

2.4.1 Một số tính chất của nghiệm phương trình 45

2.4.2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ hàm 45 2.4.3 Định thức Vronski 47

2.4.4 Công thức Ostrogradski - Liuvil 50

2.4.5 Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát 53

2.5 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n 56

2.5.1 Nghiệm 56

2.5.2 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 58

2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 59

2.6.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng 60

2.6.2 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số hằng 62

2.7 Bài tập chương 2 69

Chương 3 Hệ phương trình vi phân 71 3.1 Các khái niệm cơ bản 71

3.2 Bài toán Cauchy 72

3.2.1 Bài toán Cauchy 72

3.3 Phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân cấp một 72 3.3.1 Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp một 72

Mục lục 5

3.3.2 Đưa hệ n phương trình vi phân cấp một về một phương

trình vi phân cấp n 73

3.3.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 73

3.3.4 Sự thác triển nghiệm 80

3.3.5 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân 80

3.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 82

3.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 82

3.4.2 Các tính chất của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 83

3.4.3 Sự phụ thuộc tuyến và độc lập tuyến tính của hệ véctơ hàm 83

3.4.4 Hệ nghiệm cơ bản 86

3.4.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 88

3.4.6 Các tính chất nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 89

3.4.7 Nghiệm tổng quát 89

3.4.8 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 90

3.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 93

3.5.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 93 3.5.2 Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 94

3.5.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng 99

3.6 Bài tập chương 3 102

Lời nói đầu

Bộ Giáo trình Giải tích Toán học nầy gồm 3 tập, được biên soạn bởi tậpthể tác giả: TS Phạm Quang Trình, Ths Nguyễn Xuân Huy, Ts NguyễnNgọc Anh, dựa theo chương trình khung môn Giải tích Toán học đã được hội

đồng bộ môn của bộ Giáo dục đào tạo thẩm định dùng cho các trường Đạihọc, nhằm đáp ứng yêu cầu đảm bảo chất lượng - hiệu quả đào tạo sinh viêncác trường công nghệ và kĩ thuật đại học

Bộ giáo trình này được biên soạn theo định hướng: Tinh giản, chọn lọcphù hợp với khung thời gian tương ứng dành cho môn học; phù hợp với đốitượng sinh viên ngành công nghệ - kĩ thuật; ưu tiên một cách rõ nét việc vậndụng các kết quả lý thuyết, đồng thời đảm bảo một cách tốt nhất tính khoahọc của hệ thống kiến thức trong chương trình

Tập 3 của bộ giáo trình cung cấp hệ thống kiến thức cơ bản về phươngtrình vi phân và hệ phương trình vi phân, được giới thiệu trong 3 chươngChương 1 - Phương trình vi phân cấp 1

Nếu trong miền G, từ phương trình (1.1) ta có thể giải được y0

y0 = f (x, y) (1.2)thì ta được phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra đạo hàm

Ví dụ. yy0 = x2+ y2, y0 = xy + y2, dy

dx = 2y.

1.1.2 Nghiệm

Hàm số y = ϕ(x) xác định và khả vi trên khoảng I = (a, b) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) nếu

a) (x, ϕ(x), ϕ0(x)) ∈ G với mọi x ∈ I.

b) F (x, ϕ(x), ϕ0(x)) ≡ 0 trên I.

Ví dụ Xét phương trình dy

dx = 2y có thể kiểm tra trực tiếp y = ce2x

xác định trên khoảng (−∞, +∞) với c là hằng số tuỳ ý là nghiệm của phương trình vi phân đã cho.

1.1.3 Bài toán Cauchy

Qua ví dụ trên ta thấy Nghiệm của phương trình vi phân là vô

số (do hằng số c có thể lấy tuỳ ý) Trong thực tế ta thường quan tâm đến nghiệm của phương trình vi phân thoả mãn những điều kiện nào đó, chẳng hạn

y(x0) = y0 (1.3)

Điều kiện trên được gọi là điều kiện ban đầu Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thoả mãn điều kiện ban đầu (1.3) gọi là bài toán Cauchy Ta sẽ tìm các điều kiện để bài toán Cauchy

có nghiệm duy nhất.

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét phương trình vi phân

y0 = f (x, y), (1.4)trong đó f xác định trong miền G ⊂ R2 Ta sẽ chỉ ra các điều kiện của f để bài toán Cauchy ứng với phương trình (1.4) có nghiệm duy nhất.

1.2.1 Điều kiện Lipschitz

Hàm f xác định trong miền G gọi là thoả mãn điều kiện chitz theo biến y nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với hai điểm

Lips-1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 11(x, y), (x, y∗) ∈ G bất kỳ ta có bất đẳng thức

|f (x, y) − f (x, y∗)| ≤ L|y − y∗| (1.5)Chú ý Nếu hàm f có đạo hàm riêng theo y bị chặn trong miền

G thì thoả mãn điều kiện Lipschitz (Độc giả tự chứng minh, dùng

định lí Lagrange).

1.2.2 Dãy xấp xỉ Picar

Giả sử f (x, y) là hàm liên tục trên miền G, (x0, y0) là điểm trong của G Chọn các số dương a, bsao cho hình chữ nhật

∀n = 0, 1, 2, ã ã ã Thật vậy, điều này đúng với n = 0.

Giả sử ta có (x, yn−1(x)) ∈ Q khi x ∈ [x0− h, x0+ h] Khi đó ta có thể xây dựng

1.2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Picar)

Định lí 1.2.1 Giả sử hàm f thoả mãn các điều kiện sau

a) f liên tục trong miền G

b) f thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến y trong G

Khi đó ứng với mỗi điểm (x0, y0) ∈ Gtồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x)của phương trình (1.4) thoả mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Nghiệm nàyxác định trên một lân cận đóng [x0− h, x0 + h]của x0, trong đó h là hằng

số xác định phụ thuộc vào hàm f, điểm (x0, y0)và miền G

Chứng minh Ta xét dãy xấp xỉ Picar {yn(x)}đã xây dựng ở trên Vì (x, yn(x)) ∈ Q, ∀n và f liên tục nên các hàm yn(x) liên tục, khả

vi trên [x0 − h, x0 + h] Dễ thấy yn(x0) = y0, ∀n Bây giờ ta chứng minh yn(x)hội tụ đều trên [x0− h, x0+ h] Trên đoạn[x0− h, x0+ h]

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 13

ta có

|y1(x) − y0(x)| =

|y2(x) − y1(x)| =

≤

≤ L

a1 b1

a2 b2

6= 0

a1 b1

a2 b2

Đặt x = u + α, y = v + β trong đó α, β là nghiệm của hệ sau







−7α + 3β + 7 = 03α − 7β − 3 = 0

Ta tìm được α = 1, β = 0 Sau phép thế biến trên phương trình đưa

về dạng

dv

du =

−7u + 3v3u − 7v =

u =

y

x − 1 ta tìm được tích phân tổng quát của phương trình ban đầu là|y+x−1|5|y−x+1|2 = C

Đây là phương trình thuần nhất, tích phân nó ta được

u2 + 2uv − v2 = C Thay lại biến x, y ta được tích phân tổng quát của phương trình đã cho là

x2+ 2xy − y2− 4x + 8y = C

1.3.4 Phương trình vi phân toàn phần Thừa số tích phân

Định nghĩa 1.3.2 Phương trình

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (1.19)gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm U(x, y) khả vi saocho vi phân toàn phần của nó

Định lí 1.3.3 Để (1.19) là phương trình vi phân toàn phần trong miền đơnliên G thì điều kiện cần và đủ là

(ở đây ta chọn (x0, y0) ∈ Gsao cho tại đó các hàm M (x, y), N (x, y)không đồng thời triệt tiêu).

Bây giờ ta chọn hàm ϕ(x) sao cho

1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 27

Ví dụ Giải phương trình (3x2+ 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0.

Dễ dàng kiểm tra đây là phương trình vi phân toàn phần Chọn(x0, y0) = (1, 0) Khi đó

định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3.4 Hàm số à(x, y) được gọi là thừa số tích phân của phươngtrình

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (1.20)nếu tồn tại hàm số U(x, y) khả vi sao cho

dU (x, y) = à(x, y).M (x, y)dx + à(x, y).N (x, y)dy

Cách tìm thừa số tích phân thực tế, không phải lúc nào phương trình (1.20) cũng tồn tại thừa số tích phân hoặc trong trường hợp tổng quát nếu có ta cũng không thể tìm được Trong phần này ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt của phương trình trên mà có thể tìm được thừa số tích phân.

*Trường hợp 1 Nếu biểu thức

∂M

∂y − ∂N

∂xN

chỉ phụ thuộc vào x Đặt

y được xác định như sau à(y) = CeR ψ(y)dy

Ví dụ 1 Giải phương trình (x2− y)dx + (x2y2+ x)dy = 0.

x2

(1 − y

x2)dx + (y2+ 1

x)dy = 0.

Có thể thấy đây là phương trình vi phân toàn phần.

Dùng một trong hai công thức đã cho ở mục trước, ta tìm được

(x − y)dx + ( 1

y2 − x)dy = 0Tích phân phương trình này ta được

với giả thiết p(x), q(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b).

a) Phương pháp giải Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.21), trước hết ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với nó

y0+ p(x)y = 0 (1.22)Giả sử y 6= 0, chia cả hai vế của (1.22) cho y ta có phương trình phân li biến số

C = C(x)và tìm cách chọnC(x)sao cho biểu thứcy = C(x)e−R p(x)dxthỏa mãn (1.21) Thay biểu thức đó vào (1.21) ta có

1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 31

Biểu thức trên nhận được bằng cách xác định C trong công thức nghiệm (1.24) nhờ điều kiện ban đầu.

Thật vậy, đặt

Φ(x) = −

Zp(x)dx

Khi đó công thức nghiệm (1.24) được viết dưới dạng

y = eΦ(x)h

Zq(x)e−Φ(x)dx + Ci, với C ∈ R (1.26)

Đặt

Ψ(x) =

Zq(x)e−Φ(x)dx,công thức (1.26) trở thành

y = eΦ(x)

hΨ(x) + C

i, với C ∈ R (1.27)Với điều kiện đầu y(x0) = y0 ta tìm được hằng số C

C = y0e−Φ(x0 )− Ψ(x0)

Thay vào (1.27)

y = eΦ(x)hΨ(x) + y0e−Φ(x0 )− Ψ(x0)i

= eΦ(x)−Φ(x0 )heΦ(x0 )(Ψ(x) − Ψ(x0)) + y0i.Theo công thức Newton - Leibnitz

x

Z

x

p(τ )dτ

Đây là điều phải chứng minh.

Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Ta giả thiết α 6= 0, α 6= 1 vì trong các trường hợp đó phương trình Bernoulli trở về phương trình tuyến tính đã xét.

z0+ (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x)

1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 33

Giả sử z = ϕ(x, C) là nghiệm tổng quát của phương trình trên Khi

đó nghiệm tổng quát của phương trình Bernoulli là

x Do đó nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là

y = x

C + x.Ngoài ra phương trình còn có một nghiệm là y(x) ≡ 0.

Ví dụ 2 Giải phương trình sau

y0− 2xy = 3x3y2

Đây là phương trình Bernoulli với α = 2 Đặt z = y−1 ta được phương trình

z0+ 2xz = −2x3Tích phân phương trình này ta được

Ví dụ 3 Giải phương trình sau

z0 + x2(1 − x2)z =

) (C +Z 1

2xe

R xdx2(1 − x2

) dx)

= eln4

√ 1−x 2

(C + 12

Z

xe− ln4

√ 1−x 2

với p(x), q(x), r(x) là các hàm liên tục trên một khoảng nào đó

Nhận xét Phương trình Riccati không phải bao giờ cũng giải được Trong vài trường hợp đặc biệt như p(x) ≡ 0 hay r(x) ≡ 0 ta có thể

đưa về phương trình tuyến tính hoặc phương trình Bernoulli Tuy vậy, kết quả sau cho phép ta tích phân phương trình Riccati nếu biết một nghiệm nào đó của nó.

Ngồi với z = −1, phương trình cịn có nghiệm x + y = 0.

1 .3. 3 Phương trình quy phương trình nhất