ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH TOÁN HỌC 2 (3 TÍN CHỈ) DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN

CHƯƠNG 1 Chuỗi số Số tiết: 08 Lý thuyết: 06 tiết; Bài tập 02 tiết A MỤC TIÊU: Sinh viên hiểu những kiến thức cơ bản về khái niệm chuỗi số và các vấn ựề liên quan ựến chuỗi số như: sự hộ

ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH TOÁN HỌC 2 (3 TÍN

CHỈ) - DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH ðẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 2

Chuỗi số 2

CHƯƠNG 2 7

Dãy hàm và chuỗi hàm 7

CHƯƠNG 3 15

ðạo hàm và vi phân hàm số có nhiều biến số 15

CHƯƠNG IV 26

Tích phân phụ thuộc tham số 26

CHƯƠNG V 32

Tích phân bội 32

CHƯƠNG 1 Chuỗi số

Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; Bài tập 02 tiết)

A) MỤC TIÊU:

Sinh viên hiểu những kiến thức cơ bản về khái niệm chuỗi số và các vấn ựề liên quan ựến chuỗi số như: sự hội tụ, tổng của chuỗi số, ựiều kiện hội tụ, các dấu hiệu hội tụ, chuỗi hội tụ tuyệt ựối và chuỗi bán hội tụ

Sinh viên thành thạo trong việc khảo sát sự hội tụ, phân kì của chuỗi số Tắnh tổng của một số chuỗi số cơ bản thường gặp

B) NỘI DUNG

1.1 Các khái niệm cơ bản

Phần này trình bày về khái niệm chuỗi số và một số ựiều kiện ban ựầu liên quan ựến

Các số a n ựược gọi là số hạng thứ n của chuỗi số ựó

định nghĩa 1.2: đặt Sn =

1

n k k

a

=

∑ (i) Ta gọi dãy (Sn) là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1)

(ii) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: lim n

→∞ = thì chuỗi (1.1) ựược gọi là chuỗi hội tụ

và s ựược gọi là tổng của chuỗi Kắ hiệu

1

.

k k

∑ (1.2) ựược gọi là phần dư thứ n của chuỗi (1.1) hay

ph ần dư sau số hạng thứ n và ựược kắ hiệu là rn

Nhận xét: Chuỗi (1.1) hội tụ hay phân kỳ ựồng thời với phần dư của nó và khi

chuỗi (1.1) hội tụ thì phần dư hội tụ ựến 0: lim n 0.

n r

→∞ = đó là lý do trong nhiều trường hợp khi nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi ta thường thay nó bằng phần dư hoặc chỉ cần xét các số hạng trong chuỗi ứng với chỉ số ựủ lớn

(i) ðiều ngược lại nhìn chung không ñúng, nghĩa là nếu lim n 0

→∞ = thì chuỗi (1.1) chưa chắc ñã hội tụ

(ii) ðiều kiện ñủ ñể chuỗi (1.1) phân kỳ là: lim n 0

Tiêu chuẩn Cauchy

Hoàn toàn tương tự như dãy số, ta có ñiều kiện sau ñây về sự hội tụ của chuỗi

ðịnh lý 1.2: ðiều kiện cần và ñủ ñể chuỗi (1.1) hội tụ là:∀ >ε 0, *

ðịnh lý 1.3: Chuỗi ñiều hoà tổng quát hội tụ khi P > 1, phân kì khi P ≤ 1.

1.1.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương

Phần này sẽ nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi số dương

1

,

n n

ñược gọi là chuỗi trội của chuỗi (1.3)

Nhận xét: (i) Nếu chuỗi (1.4) hội tụ thì chuỗi (1.3) hội tụ

(ii) Nếu chuỗi (1.3) phân kì thì chuỗi trội (1.4) cũng phân kì

a c b

→∞ = Khi ñó: (i) Nếu c ≠ 0 h ữu hạn thì hai chuỗi ñã cho cùng hội tụ hay phân kỳ;

(i) Nếu q < 1 thì chuỗi hội tụ;

(ii) Nếu q > 1 thì chuỗi phân kỳ;

(iii) Nếu q = 1 thì chưa thể kết luận về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi

ðịnh lý 1.6(Dấu hiệu D’Alembert): Giả sử tồn tại lim n 1 .

n n

a d a

+

→∞ = Khi ñó:

(i) Nếu d < 1 thì chuỗi hội tụ;

(ii) Nếu d > 1 thì chuỗi phân kỳ;

(iii) Nếu d = 1 thì chưa thể kết luận về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi

1.2 Chuỗi với dấu bất kì

1.2.1 Chuỗi hội tụ tuyệt ñối và chuỗi hội tụ có ñiều kiện

t ụ có ñiều kiện hay chuỗi bán hội tụ

*) Chú ý: Người ta ñã chứng minh ñược rằng:

(i) Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt ñối thì các số hạng của chuỗi có thể ñổi chỗ cho nhau theo thứ tự bất kỳ mà tổng của chuỗi vẫn không thay ñổi

(ii) Nếu chuỗi hội tụ có ñiều kiện thì bằng cách ñổi chỗ thích hợp các số hạng của chuỗi, ta có thể nhận ñược một chuỗi mới có tổng bằng số cho trước bất kỳ (không loại trừ

±∞)

1.2.2 Dấu hiệu Leibniz

ðịnh lý 1.7: Nếu a n = (-1)n b n ; bn ≥ 0 và dãy (b n ) bắt ñầu từ một chỉ số nào ñó ñơn ñiệu, tiến tới không thì chuỗi

B) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

1) Tính tổng của chuỗi sau

3) Chứng minh rằng nếu các số hạng của chuỗi

+

  ⋯   ⋯

b)

1

1

2

n n

n

n n

1

n n n n

n n

−

∞

=

Sinh viên biết vận dụng kiến thức ñã học ñể tính tổng, khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm và biểu diễn hàm số theo chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier

B) NỘI DUNG

2.1 Dãy hàm

2.1.1 Các khái niệm cơ bản

ðịnh nghĩa 2.1: Cho các hàm f, f 1 , f 2 , , f n , cùng xác ñịnh trên X Dãy hàm (fn)

ñược gọi là hội tụ về hàm f trên X nếu ∀ x0∈ X , dãy số {f n (x0)} hội tụ về f(x0) Tức là:

2.1.2 ðiều kiện hội tụ ñều

ðịnh lý 2.1.(Tiêu chuẩn Cauchy) ðiều kiện cần và ñủ ñể dãy hàm {f n (x)} hội tụ ñều trên X là với mọi ε > 0 tồn tại số tự nhiên n 0 (chỉ phụ thuộc vào ε ) sao cho với mọi m, n >

n 0 , với mọi x ∈X ta luôn có:

i) Dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) hội tụ ñều trên X về hàm f(x)

ii) f n (x) liên tục trên X với mọi n ≥ 1

Khi ñó f(x) liên tục trên X

ðịnh lý 2.4.(Tính khả tích) Giả sử

i) Dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) hội tụ ñều trên [a, b] về hàm f(x)

ii) f n (x) khả tích trên [a, b] với mọi n ≥ 1

Khi ñó f(x) khả tích trên [a, b] và

Hệ quả 2.1 Nếu mọi hàm của dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) ñều liên tục trên [a, b] và dãy hội tụ ñều trên [a, b] về hàm f(x) thì f(x) khả tích trên [a, b] và

a) Dãy hàm {f n( )x} hội tụ ñều trên (a, b) về hàm ( ) f x

b) Hàm ( )f x khả vi trên (a, b) và f/( )x =g x( ),∀ ∈x ( , )a b hay

2.2.1 Miền hội tụ và miền hội tụ ñều

ðịnh nghĩa 2.3: Cho dãy {u x n( )}các hàm cùng xác ñịnh trên tập X ⊂ ℝ Chuỗi hàm là tổng hình thức

u x

∞

=

∑ phân kỳ thì ta nói x0 là ñiểm

phân kỳ của chuỗi hàm

1

( )

n n

u x

∞

=

∑ ñược gọi là hội tụ tới hàm s(x) trên tập X

nếu dãy tổng riêng Sn(x) =

1

( )

n k k

u x

∞

=

∑ ñược gọi là hội tụ ñều tới hàm s(x) trên tập X

nếu dãy tổng riêng {Sn(x)} của nó hội tụ ñều tới hàm s(x) trên tập X

Ví dụ 2.1 Xét chuỗi

1

n n

1

n n

i n

− vì x

n

→ 0

Với mọi x mà | x | ≥ 1 thì chuỗi phân kỳ

Như vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là ( – 1 ; 1) và

n n

x x

( 1)(1 )

n

n n

x x

∞ +

Khi ñó với ε > 0 cho trước, ta chọn n0  1 1

= ε + thì với mọi n ≥ n 0 ta luôn có 1

| ( ) |r x n

n

< <ε, ∀x ∈ ℝ Vậy chuỗi hội tụ ñều trên ℝ

b Dấu hiệu xét sự hội tụ ñều

ðịnh lý 2.6(Tiêu chuẩn Cauchy): ðiều kiện cần và ñủ ñể chuỗi

1

( )

n n

a x

∞

=

∑ bị chặn ñều trên X, tức là tồn tại

m ột số dương M sao cho

ii) Dãy hàm { ( )} b x n ñơn ñiệu, tức là với mỗi x ∈X dãy số { ( )} b x n ñơn ñiệu, và dãy

hàm { ( )} b x n h ội tụ ñều trên X ñến hàm 0 Khi ñó chuỗi

∑ h ội tụ ñều trên X

ðịnh lý 2.9(Dấu hiệu Abel ): Cho hai dãy hàm { ( )}, { ( )} a x n b x n cùng xác ñịnh trên

a x

∞

=

∑ h ội tụ ñều trên X

ii) Dãy hàm { ( )} b x n ñơn ñiệu với mỗi x ∈X và bị chặn ñều trên X Khi ñó chuỗi

∑ h ội tụ ñều trên X

Ví dụ 2.3 Xét sự hội tụ của chuỗi hàm

1

sin

n

nx n

+ ∞

=

∑a) Trên ñoạn ε ≤ ≤x π ε− , 0< <ε π

Trường hợp trên ñoạn 0≤ ≤x π

Tại x = 0 và x = π chuỗi ñã cho hội tụ và có tổng bằng không Với 0 < x< π, theo phần trên chuỗi hội tụ Vậy chuỗi hội tụ trên [0, π]

Vì khi ε → 0 thì 1

sin2

ε → + ∞ nên

c Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ ñều

c.1 Tính liên tục

ðịnh lý 2.10: (i) Nếu dãy hàm f n (x) (n =1,2,…) hội tụ ñều trên [a,b] về hàm f(x) thì

f(x) liên t ục trên [a,b]

(ii) Nếu tất cả các số hạng của chuỗi s(x) =

1

( )

n n

u x

∞

=

∑ liên t ục trên [a,b] và chuỗi

hàm h ội tụ ñều trên [a,b], thì tổng s(x) của nó cũng liên tục trên [a,b]

(t ức là có thể chuyển qua giới hạn dưới dấu ñạo hàm)

(ii) Nếu chuỗi

1

( )

n n

(t ức là có thể lấy ñạo hàm từng số hạng của chuỗi)

c.3 Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân

ðịnh lý 2.12: (i) Nếu dãy hàm liên tục fn(x) (n =1,2,…) hội tụ ñều trên [a,b] về hàm

c.4 Chuyển qua giới hạn từng số hạng của dãy hàm và chuỗi hàm

ðịnh lý 2.13: (i) Nếu chuỗi hàm

1

( )

n n

là trong chu ỗi hội tụ ñều ta có thể chuyển qua giới hạn từng số hạng của nó

(ii) Nếu dãy hàm liên tục f n (x) (n =1,2,…) hội tụ ñều trong lân cận ñiểm x0 và với mỗi n tồn

t ại giới hạn hữu hạn

2.2 Chuỗi luỹ thừa

2.2.1 Miền hội tụ và bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

ðịnh nghĩa 2.5: Chuỗi có dạng

0

n n

∞

=

∑ − ñược gọi là chuỗi luỹ thừa, hằng số

a n ñược gọi là hệ số của chuỗi

ðịnh lý 2.14: (i) Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x0 ≠ a thì nó h ội tụ tại mọi

0

:

x x − a < x − a H ơn nữa, với mỗi số dương r < x0− a chu ỗi ñã cho hội tụ ñều trên

kho ảng ( a − r a , + r ).

(ii) Nếu chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại x0 ≠ a thì nó phân k ỳ tại mọi x x : − a > x0 − a

ðịnh lý 2.15: Tồn tại R (0 ≤ R ≤ ∞ ) sao cho chu ỗi luỹ thừa hội tụ tại mọi x:

x − a < R và phân k ỳ tại mọi x: x − a > R

Người ta gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi, nó ñược xác ñịnh theo công thức Cauchy

– Añama:

1 limn

a R

a

→∞

+

= (nếu giới hạn này tồn tại)

Nếu R = 0 thì chuỗi luỹ thừa ñã cho hội tụ tại duy nhất một ñiểm x = a, nếu R = ∞ thì chuỗi hội tụ trên toàn trục số

2.1.1.2 Các tính chất cơ bản của chuỗi luỹ thừa

a) Tổng của chuỗi luỹ thừa trong miền hội tụ là một hàm liên tục Hơn nữa trong khoảng hội tụ nó khả vi vô hạn

b) Nếu chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại ñầu mút x = R + a của khoảng hội tụ thì chuỗi

không thể hội tụ ñều trong khoảng [a, R + a)

c) Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ khi x = R + a thì chuỗi hội tụ ñều trên ñoạn [a, R + a]

ðịnh lý 2.16 (Abel): Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại ñiểm x = R + a thì tổng S(x) của

nó là hàm liên t ục phía trái tại ñiểm ñó, nghĩa là: S(R+a) =

toàn tương tự, ta cũng có khẳng ñịnh ñối với mút trái của khoảng hội tụ)

2.1.1.3 Khai triển hàm thành chuỗi Taylorr

ðịnh nghĩa 2.6: (i) Cho hàm f(x) khả vi vô hạn tại ñiểm a Chuỗi luỹ thừa

= − trên một khoảng nào ñó thì ta nói f khai triển ñược

thành chu ỗi Taylorr hay có khai triển Taylorr tại a

(iii) Khi a = 0, thì khai triển Taylorr tại 0 ñược gọi là khai triển Maclorin

ðịnh lý 2.17: ðể cho hàm f(x) có khai triển thành chuỗi Taylor trên khoảng (a-R,

a+R) ñiều kiện cần và ñủ là hàm f(x) khả vi vô hạn và phần dư thứ n của chuỗi Taylor ñối với

hàm này ti ến dần tới 0 khi n → ∞ trên kho ảng ñó

Hàm f(x) khai triển ñược thành chuỗi Taylorr, ñược gọi là hàm giải tích và khai triển Taylorr của nó là duy nhất

Phần dư của khai triển hàm thành chuỗi Taylorr dưới dạng Lagrange:

1, cos , sin , x x … ,cos nx , sin nx , …

xác ñịnh trên [- , ] π π ñựợc gọi là hệ lượng giác cơ sở Hệ hàm này trực giao trên [- , ] π π

(ii) Cho f(x) là hàm khả tích trên [- , ] ℓ ℓ các số

1 ( ) cos

ñược gọi là hệ số Fourier của hàm f(x) theo hệ lượng giác cơ sở

(iii) Chuỗi lượng giác:

0 1

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

1) Xác ñịnh miền hội tụ (hội tụn tuyệt ñối và hôi tụ có ñiều kiện) của các chuỗi hàm sau ñây:

sin ( )

n n

CHƯƠNG 3

ðạo hàm và vi phân hàm số có nhiều biến số

Số tiết: 16 (Lý thuyết: 14 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)

A) MỤC TIÊU

Sinh viên hiểu những kiến thức cơ bản về hàm số nhiều biến thực bao gồm: giới hạn

và tính liên tục, tính khả vi và ñạo hàm riêng, vi phân hàm nhiều biến

Sinh viên biết vận dụng kiến thức ñã học ñể khảo sát về sự tồn tại giới hạn, tính giới hạn, khảo sát tính liên tục, nghiên cứu tính khả vi, tính các ñạo hàm riêng và vi phân của một hàm nhiều biến cho trước

n

i i i

E ñược gọi là tập xác ñịnh của f

ðể thuận lợi cho việc trình bày, trong chương này ta chỉ xét trường hợp hàm hai

biến, trường hợp hàm nhiều hơn hai biến xét tương tự

ðịnh nghĩa 2: ðồ thị của hàm 2 biến f x x ( ,1 2) là tập hợp các ñiểm của không gian ℝ3

dạng ( , x x f x x1 2, ( ,1 2))

ðịnh nghĩa 3: Giả sử f x y ( , ) là hàm hai biến xác ñịnh trên tậpE và P x y0( ,0 0) là ñiểm giới hạn của tập E Số b ñược gọi là giới hạn của hàm số f tại ñiểm Po khi M → Po nếu

với mỗi số ε > 0, ∃ δ > 0 : ∀ M x y( , )∈E thoả mãn 0<ρ(M P, 0)<δ thì f M( )−b <ε

f M không có giới hạn khi M → Mo

(ii) Giới hạn của hàm (f M khi ) M → Mo nếu có là duy nhất

(iii) ðối với hàm nhiều biến, cùng với giới hạn thông thường (giới hạn kép) ñã nêu trên người

ta còn xét giới hạn lặp như sau:

Giả sử f(x,y) xác ñịnh trong hình chữ nhật Q = { , ( x y ) : x − xo < d1, y − y0 < d2}

có thể trừ ra chính các ñoạn x = x yo, = yo Khi cố ñịnh một giá trịythì hàm f x y ( , ) trở thành hàm một biến Giả sử ñối với giá trị y cố ñịnh bất kỳ thoả mãn ñiều kiện

0 < y − y < d tồn tại giới hạn:

( ) ( )0

→ ,y cố ñịnh, gọi là giới hạn trong

Tương tự, ta có thể phát biểu ñịnh nghĩa giới hạn lặp khác ( )

0 0

→ → trong ñó giới hạn ( )

0

→ , xcố ñịnh, là giới hạn trong

Ta có ñịnh lý sau về mối quan hệ giữa giới hạn kép và giới hạn lặp

ðịnh lý 2: Giả sử tại ñiểm M x y0( ,0 0) gi ới hạn kép và các giới hạn trong của các giới hạn

l ặp của hàm f x y ( , ) t ồn tại Khi ñó các giới hạn lặp tồn tại và

3.1.3 Tính liên tục và liên tục ñều

ðịnh nghĩa 4: Cho hàm f M ( ) xác ñịnh trên tập E ⊂ ℝ2, ñiểm Po∈ E là ñiểm giới hạn của tập E

(i) Hàm f M ( ) ñược gọi là liên tục tại ñiểm Po nếu nó có giới hạn tại ñiểm Po và giới hạn

ñó bằng f P ( )o

(ii) Nếu hàm số f M ( ) liên tục tại mọi ñiểm P ∈ E thì ta bảo f M ( ) liên tục trên E và kí hiệu f M ( ) ∈ C E ( ) Nếu hàm số f không liên tục tại Po thì ta bảo f gián ñoạn tại Po và

0

P ñược gọi là ñiểm gián ñoạn của f

Sau ñây chúng ta nghiên cứu một số tính chất của hàm liên tục

ðịnh lý 3 (Weierstrass 1): Nếu hàm số f x y ( , ) xác ñịnh và liên tục trên tập hợp ñóng và bị

ch ặn D thì nó b ị chặn trên miền ấy

ðịnh lý 4 (Weierstrass 2): Nếu hàm số f x y ( , ) liên t ục trên tập hợp ñóng và bị chặn D thì

nó ñạt ñược cận trên ñúng và cận dưới ñúng trên miền ấy

Tiếp theo, ta chuyển sang nghiên cứu về tính liên tục ñều

ðịnh nghĩa 5: Hàm số f xác ñịnh trên tập E ⊂ ℝ2 ñược gọi là liên tục ñều trên tập E nếu với mỗi số ε > 0, tồn tại số δ ε ( ) > 0 sao cho với mọi cặp ñiểm

thì giới hạn ñó ñược gọi là ñạo hàm riêng của hàm số u ñối với biến số x tại ñiểm P x y ( , )

và kí hiệu bằng một trong các kí hiệu sau: ( , )

*) Chú ý: (i) Từ ñịnh nghĩa ta thấy việc tính ñạo hàm riêng thực chất là tính ñạo hàm của hàm

một biến số khi ta xem biến kia là một số không ñổi Do ñó mọi công thức tính ñạo hàm của hàm một biến vẫn ñược bảo toàn khi tính ñạo hàm riêng

(ii).Hoàn toàn tương tự, ta có thể ñịnh nghĩa ñạo hàm riêng của hàm ba biến số hoặc nhiều hơn ba biến số

3.2.2 Tính khả vi và vi phân toàn phần

ðịnh nghĩa 7: Cho hàm số u = f x y ( , ) Hiệu ∆ = f f x ( + ∆ x y , + ∆ y ) − f x y ( , ) ñược gọi là số gia toàn phần của hàm f x y ( , ) tại ñiểm M x y ( , ) ∈ D, trong ñó M ( − − 1, 1 ) là những số gia của các biến x và η = b x1 + b y2 + b z3 tương ứng Hàm u = f x y ( , ) ñợc gọi

là hàm khả vi tại ñiểm M x y ( , ) nếu số gia toàn phần của nó tại ñiểm M x y ( , ) có thể biểu diễn dưới dạng:

ðịnh lý 6: Nếu hàm f x y ( , ) kh ả vi tại ñiểm M x y ( , ) thì t ại ñiểm ñó nó liên tục, có ñạo

hàm riêng theo m ỗi biến và f ( , ) x y A , f ( , ) x y B

thì giới hạn ñó ñược gọi là ñạo hàm của hàm f x y ( , ) theo h ướng = MMo

 

ℓ cho trước

ðịnh lý 8: Nếu hàm f x y ( , ) kh ả vi tại ñiểm ( , ) x y thì t ại ñiểm này hàm f x y ( , ) có ñạo

hàm theo m ọi hướng và: f f cos f sin



ℓ

3.2.3 ðạo hàm riêng của hàm hợp, tính bất biến của vi phân cấp một

Giả sử u = f x y ( , )là hàm khả vi trong miền D ⊂ R ; x = x t s y ( , ), = y t s ( , ) là những hàm khả vi ñối với biến t s , trong miền D′ và có miền giá trị thuộc D Khi ñó hàm hợp u = f x t s ( ( ) ( ) , , y t s , ) là hàm của hai biến (ñộc lập) xác ñịnh trongD′ Ta có:

3.3 ðạo hàm và vi phân cấp cao

3.3.1 ðạo hàm riêng cấp cao

∂ ∂ t ồn tại trong một lân cận nào

ñó và liên tục tại ñiểm M x y ( , ) thì 2f ( ) M

3.4 Công thức Taylorr của hàm hai biến

Nếu hàm f x y ( , ) khả vi n lần trong lân cận nào ựó của ựiểm M x y ( , ) thì với tất cả các ựiểm M ′ ( x + h y , + k ) thuộc lân cận của ựiểm M x y ( , ) ta có công thức:

đặc biệt khi M x y ( , )trùng với ựiểm gốc O(0,0)thì ta gọi công thức Taylorr là công thức Maclorin

3.5 Cực trị của hàm hai biến Cực trị có ựiều kiện

3.5.1 Khái niệm cực trị

định nghĩa 1: Cho hàm số u = f x y ( , ) xác ựịnh trong miền mở D và ựiểm P x yo( ,o o) ∈ D

Ta nói rằng P x yo( ,o o) là một ựiểm cực ựại (cực tiểu ) ựịa phương của hàm số u nếu tồn tại một lân cận S P R ( , )o ⊂ D sao cho f x y ( , ) < f x y ( ,o o), ( ( , ) f x y > f x y ( ,o o)) với mọi ựiểm P ( x y , ) ∈ ( , ) S P Ro ,P ≠ Po

điểm cực ựại ựịa phương và ựiểm cực tiểu ựịa phương ựược gọi chung là ựiểm cực trị ựịa phương

*) Chú ý: Tương tự như ựối với hàm số thực một biến, không mấy khó khăn ta nhận thấy

rằng giá trị cực ựại ựịa phương (tương ứng: cực tiểu ựịa phương) nhìn chung không phải là giá trị lớn nhất (tương ứng: giá trị nhỏ nhất) của hàm số

3.5.2 điều kiện tồn tại cực trị ựịa phương

định lý 3.1: Nếu hàm f x y ( , ) có c ực trị ựịa phương tại ựiểm Po thì t ại ựiểm Po c ả hai ựạo

hàm riêng c ủa hàm f (n ếu tồn tại) ựều bằng 0 hoặc ắt nhất một trong hai ựạo hàm riêng

không t ồn tại (đó là những ựiểm tới hạn hoặc ựiểm dừng của hàm f x y ( , ))

*) Chú ý: Không phải mọi ựiểm dừng ựều là ựiểm cực trị

định lý 3.2: Giả sử P0 là ựiểm dừng của hàm số f(x, y) đặt :

(iii) Nếu ∆ = 0 thì t ại ñiểm Po hàm có th ể có và cũng có thể không có cực trị ñịa phương

Vậy các ñiểm tới hạn là M(1; 1), N(1; - 1), P(-1; 1), Q( -1; -1)

Tại M, ta có A = 3, B = 0, C = 12, ∆ < 0, A > 0 nên M là ñiểm cực tiểu

Tại N, ta có A = 3, B = 0, C = -12, ∆ > 0, nên M không là ñiểm cực trị

Tại P, ta có A = - 3, B = 0, C = 12, ∆ > 0, nên M không là ñiểm cực trị

Tại Q, ta có A = - 3, B = 0, C = - 12, ∆ < 0, A < 0 nên M là ñiểm cực ñại

3.5.3 Hàm số ẩn, cực trị có ñiều kiện

3.5.3.1 Khái niệm hàm số ẩn

Cho phương trình

F(x, y) = 0 (3.1) trong ñó F(x, y): U → R là một hàm hai biến xác ñịnh trên một tập con U của R2 Nếu với

mỗi x = x0 cố ñịnh trong một khoảng I nào ñó, có một hay nhiều giá trị y 0 sao cho F(x 0 , y 0) =

0, ta nói phương trình (3.1) xác ñịnh một hay nhiều hàm số ẩn y theo x trong khoảng I Vậy

Phương trình trên xác ñịnh hai hàm số ẩn xác ñịnh trong ñoạn [ - 1; 1]

Ta có các ñịnh lý sau khẳng ñịnh về sự tồn tại, tính liên tục và tính khả vi của các hàm

số ẩn

ðịnh lý 3.3 Cho phương trình

F(x, y) = 0 (3.1) trong ñó F(x, y): U → R là một hàm hai biến có các ñạo hàm riêng liên tục trên một tập hợp

m ở U của R 2 Giả sử (x 0 , y 0 ) ∈ U, F(x 0 , y 0 ) = 0 N ếu F x yy/( ,0 0) ≠ 0 thì phương trình (3.1)

xác ñịnh trong một lân cận nào ñó của ñiểm x 0 m ột hàm số ẩn duy nhất y = f(x), thỏa mãn: y 0

= f(x 0 ), liên tục, có ñạo hàm liên tục trong lân cận nói trên

Chú ý:

+ ðổi vai trò của x và y Giả sử (x 0 , y 0) ∈ U, F(x 0 , y 0) = 0 Nếu F x yx/( ,0 0) ≠ 0 thì phương trình (3.1) xác ñịnh trong mọt lân cận nào ñó của ñiểm y0 một hàm số ẩn duy nhất x =

f (y), x0 = f(y0), liên tục, có ñạo hàm liên tục trong lân cận nói trên

+ Nếu F x yx/( ,0 0) = F x yy/( ,0 0) = 0 thì không kết luận ñược gì về sự tồn tại hàm ẩn

xác ñịnh bởi phương trình (3.1) Khi ñó ñiểm (x 0 , y 0) ñược gọi là ñiểm kỳ dị của phương trình (3.1)

ñ-ðể tìm cực trị có ñiều kiện với ñiều kiện ràng buộc g x y ( , ) = 0 ta lập hàm Lagrange: F x y ( , , λ ) = f x y ( , ) + λ g x y ( , ) Trong ñó λ là hằng số nhân chưa ñược xác

ñịnh và ñi tìm cực trị thông thường của hàm bổ trợ này ðây là phương pháp nhân tử