CD15 QUAN hệ GIỮA CẠNH và góc đối DIỆN 90 99

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

Chuyên đề 15 QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN

TRONG MỘT TAM GIÁC

A Kiến thức cần nhớ

* Định lý 1 Trong một tam giác

- Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

- Đảo lai, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn

Trong hình 15.1

∆ABC: AB > ACB C� �

C B

A

(Hình 15.1)

Suy ra trong một tam giác

- Góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất

- Cạnh đối diện với góc tù ( hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất

* Định lý 2 Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau

- Nếu cạnh thứ ba không bằng nhau thì góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

-Đảo lại nếu, hai góc xen giữa không bằng nhau thì cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn

B Một số ví dụ:

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn lớn hơn

0

30 thì cạnh đối diện với góc ấy lớn hơn cạnh huyền

Giải ( H.15.2)

*Tìm cách giải

Giả sử tam giác ABC vuông tại A, �ABC300, ta phải chứng minh

1 2



Muốn vậy ta chứng minh 2AC BC

Tạo ra đoạn thẳng 2AC bằng cách lấy điểm

D trên tia đối của tia AC sao cho

AD =AC, khi đó xét ∆BDC chỉ cần chứng

minh DC BC

*Trình bày lời giải.

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho

AD =AC

∆ABD =∆ABD (c.g.c) � BD AC và

�  � 300�� 600

C A

B

(Hình 15.2)

∆BCD cân có có góc ở đỉnh lớn hơn 600lên các góc ở đáy nhỏ hơn 600

Xét ∆BCD có �DBC�D nên DC BC (Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)

Do đó 2ACBC� AC BC2

Ví dụ 2 ∆ABC có góc B, góc C là những góc nhọn, �B45 ;0 C�450 Vẽ đường cao

AH Hãy so sánh HA, HB, HC

Giải

* Tìm cách giải

Ta thấy HA, HB, HC không phải là ba cạnh

của một tam giác HA, HB là hai cạnh của

tam giác HAB còn HA và HC là hai cạnh của

tam giác HAC Vì vậy ta dùng HA làm trung

gian để so sánh HA, HB, HC

2 1

H

C B

A

(Hình 15.3)

* Trình bày lời giải

Xét ∆ABH có H�90 ;0 B�450nên �A1450

Vậy � �A1B�HA HB (1)(Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Xét ∆ACH có H�90 ;0 C�450nên �A2 450(Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Vậy C� �A2 � HA HC (2)

Từ (1) và (2) � HB HA HC 

Ví dụ 3 Cho đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của AB Chứng

minh rằng nếu ACBC thì BDAD

Giải

* Tìm lời gải

BDO và ADO có hai cặp cạnh bằng nhau do đó để chứng minh BDADta cần chứng minh BOD AOD� �

*Trình bày lời giải:

AOC và BOC có OA OB , OC chung, AC BC 

� �AOC BOC� (Định lý 2) do đó BOD AOD� �

BOD và AOD có OB OA ;OD chung ;

BOD AOD



BD AD ( Theo định lý 2)

O

(Hình 15.4)

Ví dụ 4:

Tam giác ABC có B 90� 0 và

1 2



Hãy sắp xếp ba cạnh của tam giác theo thứ tự tăng dần

Giải (H.15.5)

*Tìm cách giải.

Vì góc B là góc tù nên cạnh AC là cạnh lớn

nhất Khai thác điều kiện

1 2



ta làm xuất hiện yếu tố

1

2AC bằng cách vẽ trung điểm M của AC Khi đó AB và BC là hai cạnh

của hai tam giác có hai cặp cạnh bằng

nhau, do đó ta có thể chứng minh định lý 2

C

A

M

B

2 1

(Hình 15.5)

*Trình bày lời giải:

Xét tam giác ABC có B 90� 0nên cạnh AC là cạnh lớn nhất, do đó BC AC (1) Gọi M là trung điểm của AC Xét tam giác ABM có AB =AM

1

2

 AC

nên tam giác ABM cân �B� �1 M1900, do đó M�2 900 Vậy M�1M�2

AMB và CMB có MA=MC, MB chung và M�1M nên �2 AB BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB BC CA 

C Bài tập vận dụng.

* Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác

15.1.Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là một điểm trên đường thẳng BC Hãy

so sánh AM và AB

15.2 Cho tam giác ABC Tia phân giác của góc A cắt BC tại D Cho biết góc

ADB là nhọn Hãy so sánh AB và AC

15.3 Tam giác ABC có AB AC Trên cạnh AB lấy điểm M  (M �B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia Mx song song với AC và trên tia này lấy điểm N sao cho MN=MB Chứng minh BC NC

15.4 Cho tam giác ABC, A 60� 0; B 75� 0 Trong tam giác lấy điểm O sao cho

� � 150

OAC OCA Chứng minh OA OB

15.5 Cho tam giác ABC Vẽ AH BC (H BC)� và BK AC (K�AC) Biết

;

AH BC BK AC

Tính số đo các góc của tam giác ABC

15.6 Trong tam giác ABC có AB AC Tia phân giác của góc � A cắt BC tại D Gọi

M là một điểm trên đoạn thẳng AD Hãy so sánh MB và MC

15.7 Cho tam giác ABC cân tại A Trên BC lấy E và F sao cho BAE EAF�  � FAC �

Chứng minh rằng đoạn thẳng EF có độ dài nhỏ nhất trong ba đoạn thẳng BE, EF, FC

15.8.Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy M và N sao cho BM=MN=NC

Chứng minh góc MAN là góc lớn nhất trong ba góc BAM MAN NAC� ;� ;�

15.9.Chứng minh rằng nếu một tam giác có một góc lớn hơn 600thì cạnh đối diện với góc ấy lớn hơn trung bình cộng của hai cạnh còn lại

15.10.Cho tam giác ABC vuông cân tại B Gọi M là một điểm nằm trong tam giác

sao cho

� 1050



 MB MC

MA

*Hai tam giác bằng nhau

15.11 Tam giác ABC có AB AC Trên tia đối của tia BA lấy điểm E  (E�B) Trên tia đối của tia CA lấy điểm F (F �C)sao cho BE=CF Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh

�EF�

D DFE

15.12 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao

cho

� �

ABM ACM Hãy so sánh các góc �AMB v AMCà �

15.13 Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm M nằm giữa A và B Gọi O là trung điểm của CM Tia AO cắt BC tại D Chứng minh rằng BD CD .

15.14 Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho

AMB AMC Tai AM cắt BC tại D Chứng minh rằng MD MB .

15.15 Cho tam giác ABC AB AC,  . Gọi M là trung điểm của BC Lấy điểm . D

nằm giữa A và C sao cho �AMD � Chứng minh 90 MD MB

15.16 Cho tam giác ABC � 60 ,, A � tổng AB AC  cm Tìm giá trị nhỏ nhất của10 chu vi tam giác ABC .