Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Trang 1Chuyên đề 16 QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG
XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
A Kiến thức cần nhớ
•Khái niệm: Trong hình 16.1
- Điểm gọi là hình chiếu của trên đường thẳng
- Đoạn thẳng gọi là đường vuông góc, đoạn thẳng gọi là đường xiên
- Đoạn thắng gọi là hình chiếu của đường xiên
trên đường thẳng
•Định lí 1: Trong các đường xiên, đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường
thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất
- Trong hình 16.1 ta có
Bổ sung: Trong hình 16.2:
Ta có ( dấu "=" xảy ra )
•Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó:
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn;
- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;
- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau Ngược nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau
B Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hai đoạn thẳng và 11Equation Section (Next)211Equation
Chapter (Next) Section 1 song song và bằng nhau Một đưởng thẳng
không song song, không vuông góc với hai đoạn thẳng đó Hãy so sánh các hình
chiếu của và 32Equation Section (Next)412Equation Chapter (Next) Section
1 trên đường thẳng
Giải (h.16.3)
* Tìm cách giải
Trang 2Muốn có hình chiếu của và
2Equation Section (Next)613Equation
Chapter (Next) Section 1 trên xy
ta vẽ cùng vuông
góc với Ta phải chứng minh
Muốn vậy ta tạo hai tam
giác bằng nhau bằng cách vẽ đường phụ
* Trình bày lời giải.
của và trên
Vẽ theo tính chất đoạn chắn song song ta có
Mắt khác do nên
có ; và (hai góc có cạnh tương ứng song song cùng nhọn)
Do đó (cạnh huyền, góc nhon) Suy ra:
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân tại Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm Chứng minh
Giải (h16.4)
* Tìm cách giải.
Ta thấy giữa các độ dài và có sự liên hệ với
nhau: là độ dài cạnh huyền của một tam giác
vuông cân có cạnh góc vuông có độ dài là Ta
phải chứng minh Vì là các
đường xiên kẻ từ đến các cạnh góc vuông
nên ta vẽ thêm các đường vuông góc từ đến đẻ có thể dùng định lý về mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
* Trình bày lời giải
Trang 3Vẽ khi đó suy ra (tính chất đoạn chắn song song)
vuông cân
Ta có (dấu xảy ra khi ) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) Do đó:
Ví dụ 3: Cho tam giác vuông tại Đường trung trực của cắt tại cắt tại Lấy điểm trên đoạn thẳng Hãy so sánh và
Giải (h16.5)
* Tìm cách giải.
Ta có thể dễ dàng so sánh đường xiên và
nhờ so sánh các hình chiếu của chúng Vậy
chỉ còn phải só sánh với mà thôi
* Trình bày lời giải
Ta có và là các đường xiên vẽ từ tới
đường thẳng còn và là các hình chiếu của chúng trên
Vì nên (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) (1)
Từ (1) và (2) suy ra
C Bài tập vận dụng
•Đường vuông góc và đường xiên
16.1 Cho tam giác Vẽ
Chứng minh rằng nhỏ hơn chi vi tam giác
16.2 Cho tam giác góc tù Qua vẽ đường thẳng cắt cạnh tại Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ và đến đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng
Trang 416.3 Cho tam giác vuông tại Gọi là trung điểm của Chứng minh rằng trung bình cộng các hình chiếu của và trên đường thẳng thì lớn hơn
16.4 Cho tam giác vuông cân tại Qua A vẽ đường thẳng không cắt canh Gọi và theo thứ tự là hình chiếu của và trên Xác định vị
16.5 Cho tam giác và một điểm nằm trong tam giác Biết đường trung trực của CM đi qua Hãy so sánh và
16.6 Cho cân tại Trên các tia đối của tia và lần lượt lấy các điểm
và sao cho Chứng minh rằng:
16.7 Cho đoạn thẳng và trung điểm của nó Vẽ điểm sao cho
Qua vẽ một đoạn thẳng vuông góc với cắt các tia lần lượt tại và Xác định vị trí của điểm để có độ dài ngắn nhất Tính độ dài ngắn nhất đó
•Đường xiên và hình chiếu.
16.8 Cho tam giác vuông tại Vẽ ( )
Cho biết Hãy so sánh với
16.9 Cho tam giác , Chứng minh rằng với mọi vị trí của điểm nằm giữa và ta luôn có
là một điểm trên đoạn thẳng Chứng minh rằng:
16.11 Cho tam giác Vẽ ( nằm giữa và ) Lấy điểm
Trang 5Chứng minh rằng nếu thì tam giác là tam giác cân.