Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Trang 1Chuyên đề 16 QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG
XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
A Kiến thức cần nhớ
Khái niệm: Trong hình 16.1
-Điểm H gọi là hình chiếu của A trên đường
thẳng d
-Đoạn thẳng AH gọi là đường vuông góc, đoạn
thẳng AB gọi là đường xiên
-Đoạn thắng HB gọi là hình chiếu của đường xiên
AB trên đường thẳng d
Định lí 1: Trong các đường xiên, đường vuông góc
kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất
-Trong hình 16.1 ta có AH AB.
Bổ sung: Trong hình 16.2: A d� ; M d� ; AH d.
Ta có AM �AH ( dấu "=" xảy ra M H)
Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm
nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó:
-Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn;
-Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;
-Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau Ngược nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau
B Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hai đoạn thẳng AB và 11Equation Section (Next)211Equation
Chapter (Next) Section 1 DC song song và bằng nhau Một đưởng thẳng xy
không song song, không vuông góc với hai đoạn thẳng đó Hãy so sánh các hình chiếu của AB và 32Equation Section (Next)412Equation Chapter (Next) Section
1 DC trên đường thẳng xy.
Giải (h.16.3)
* Tìm cách giải
Muốn có hình chiếu của AB và 52Equation Section (Next)613Equation Chapter
(Next) Section 1 DC trên xy ta vẽ
', ', ', '
AA BB CC DD cùng vuông góc với
xy Ta phải chứng minh ' 'A B C D' '
Muốn vậy ta tạo hai tam giác bằng
nhau bằng cách vẽ đường phụ
* Trình bày lời giải.
VẽAA'xy BB, 'xy CC, 'xy DD, 'xy.
Khi đó A B' ' và ' 'C D lần lượt là hình chiếu của AB và CD trên xy.
Vẽ 'A M P AB C N, ' P CD theo tính chất đoạn chắn song song ta có
A M AB C N CD Mắt khác do AB CD nên 'A M C N'
Trang 2' ' NC'D'
MA B
có � �B'D' �90 ; 'A M C N' và M� (hai góc có cạnh tươngN�
ứng song song cùng nhọn)
Do đó MA B' ' NC'D'(cạnh huyền, góc nhon) Suy ra: ' 'A B C D' '
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại , A BC a 2 Trên các cạnh , ,
AB BC CA lần lượt lấy các điểm , , D M E Chứng minh MD ME a �
Giải (h16.4)
* Tìm cách giải.
Ta thấy giữa các độ dài a và a 2 có sự liên hệ với
nhau: a 2 là độ dài cạnh huyền của một tam giác
vuông cân có cạnh góc vuông có độ dài là a Ta
phải chứng minh MD ME AB � . Vì MD ME là các,
đường xiên kẻ từ M đến các cạnh góc vuông
,
AB AC nên ta vẽ thêm các đường vuông góc từ
M đến AB AC đẻ có thể dùng định lý về mối,
quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
* Trình bày lời giải
AB AC BC � AB a �AB a
Vẽ MH AB; MKAC, khi đó MH P AC MK; P AB suy ra MK AB (tính chất đoạn chắn song song)
HBM
vuông cân �MH BH
Ta có MD MH MF MK� ; � (dấu " " xảy ra khi D�H ) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) Do đó:
MD ME MH MK � BH AH a.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại , A AB AC . Đường trung trực của BC cắt
BC tại , M cắt AC tại N Lấy điểm K trên đoạn thẳng CN Hãy so sánh . BK và
CN
Giải (h16.5)
* Tìm cách giải.
Ta có thể dễ dàng so sánh đường xiên BK và
BN nhờ so sánh các hình chiếu của chúng Vậy
chỉ còn phải só sánh BN với CN mà thôi.
* Trình bày lời giải
Ta có BK và CN là các đường xiên vẽ từ B tới
đường thẳng AC còn , AK và AN là các hình
chiếu của chúng trên AC .
Vì AK AN nên BK BN (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) (1)
Mặt khác, MN BC và MB MC nênNB NC (2)
Trang 3Từ (1) và (2) suy raBK NC.
C Bài tập vận dụng
Đường vuông góc và đường xiên
16.1 Cho tam giác ABC Vẽ . ADBC BE, AC CF, AB D BC E AC F( � , � , �AB).
Chứng minh rằng AD BE CF nhỏ hơn chi vi tam giác ABC
16.2 Cho tam giác ABC góc , A tù Qua A vẽ đường thẳng d cắt cạnh BC tại
O Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng d luôn nhỏ
hơn hoặc bằng BC .
16.3 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là trung điểm của AC Chứng minh
rằng trung bình cộng các hình chiếu của AB và BC trên đường thẳng BM thì lớn hơnAB
16.4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Qua A vẽ đường thẳng xy không cắt
canh BC Gọi Dvà E theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên xy Xác định vị trí của xy để BD CE BC.
16.5 Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trong tam giác Biết đường trung trực của CM đi qua A Hãy so sánh AB và AC
16.6 Cho ABC cân tại A Trên các tia đối của tia BA và CA lần lượt lấy các điểm
M và N sao cho BM CN Chứng minh rằng:
)
2
MN BC
a BN
)
2
MN BC
b BM
16.7 Cho đoạn thẳng BC 5cm và trung điểm M của nó Vẽ điểm A sao cho
� 900
BAC Qua M vẽ một đoạn thẳng vuông góc với AM cắt các tia AB AC lần, lượt tại E và F Xác định vị trí của điểm A để EF có độ dài ngắn nhất Tính độ dài ngắn nhất đó
Đường xiên và hình chiếu.
16.8 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ AH BC ( H �BC ).
Cho biết BAH� CAH� Hãy so sánh HB với HC
16.9 Cho tam giác ABC , B C 900 Chứng minh rằng với mọi vị trí của điểm
M nằm giữa B và C ta luôn có AM AB.
16.10 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 5cm; AC 12cm Vẽ AH BC Gọi M
là một điểm trên đoạn thẳng AH Chứng minh rằng: 13�MB MC � 17
16.11 Cho tam giác ABC Vẽ AH BC ( H nằm giữa B và C ) Lấy điểm M nằm trên AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC
Chứng minh rằng nếu BD CE thì tam giác ABC là tam giác cân.