Luận văn thạc sỹ một số ứng dụng của đồng nhất thức lagrange

VŨ THỊ KHẢI VÂNMỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG NHẤT THỨC LAGRANGE CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.. 13 Chương 2 Một

VŨ THỊ KHẢI VÂN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG NHẤT THỨC LAGRANGE

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN-2019

1.1 Đồng nhất thức Lagrange kinh điển 4

1.1.1 Trường hợp số thực 4

1.1.2 Trường hợp số phức 6

1.2 Đồng nhất thức dạng Lagrange tổng quát 7

1.2.1 Dạng tổng quát 7

1.2.2 Hệ quả 9

1.2.3 Tính chất 10

1.3 Một số đồng nhất thức dạng đa thức 10

1.3.1 Phát biểu hệ thức Huygens-Leibniz và hệ thức Lagrange 10

1.3.2 Chứng minh các đồng nhất thức HLe và La 11

1.3.3 Ý nghĩa của các đồng nhất thức Hle và La 12

1.3.4 Một dạng vô hướng-vectơ của đồng nhất thức Lagrange 13

1.3.5 Bình phương tối thiểu có trọng số 13

Chương 2 Một số ứng dụng của đồng nhất thức Lagrange 15 2.1 Một số đẳng thức và bất đẳng thức đại số đơn giản 15

2.2 Một số bất đẳng thức đối với các dãy số 19

2.2.1 Ứng dụng các bất đẳng thức kinh điển 19

2.2.2 Ứng dụng đồng nhất thức Lagrange tổng quát 23

2.3 Một số bài toán trong tam giác 25

2.4 Tích véc tơ và tích hỗn tạp trong không gian R3 30

2.4.1 Chuẩn và tích vô hướng của các véc tơ trong không gian R3 30

2.4.2 Khái niệm về tích véc tơ 32

2.4.3 Quy tắc bàn tay phải 33

2.4.4 Tính chất đại số của tích véc tơ 33

2.4.5 Tích bộ ba 34

2.4.6 Các bài toán liên quan 35

Mục đích của luận văn này là trình bày một số hệ quả và ứng dụngcủa đồng nhất thức

(a21 + a22)(b21 + b22) = (a1b1 + a2b2)2 + (a1b2 − a2b1)2, (2)

là trường hợp đặc biệt của đồng nhất thức (1), với n = 2 và a1, a2, b1, b2

là các số thực tùy ý Hệ thức này đã được nhà toán học cổ Hy lạpDiophantus đưa ra từ rất lâu, vào khoảng những năm 50 sau CôngNguyên(A.D)

Năm 1773, khi nghiên cứu về hình chóp Lagrange đã tìm ra đồngnhất thức (1) với n=3

Một hệ quả quan trọng của đồng nhất thức (1) là bất đẳng thức nổitiếng Cauchy-Schwarz:

2

(3)

Cùng với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, luận văn này sẽ giới thiệumột số bất đẳng thức quan trọng khác phục vụ cho công việc giảngdạy và bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG)

Gần đây đã nhận được một số đồng nhất thức đại số là những mởrộng của đồng nhất thức Lagrange cổ điển Trong luận văn này cũngtrình bày một đồng nhất thức dạng Lagrange tổng quát.

Vào năm 1773 [4] Lagrange đưa ra tích véc tơ (cross product) trongkhông gian R3 và cho một trong những ứng dụng quan trọng của đồngnhất thức Lagrange là tích véc tơ của các véc tơ Trong không gian R3,với hai véc tơ a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) tích véc tơ của véc tơ avới véc tơ b được ký hiệu là a × b là véc tơ được xác định bởi

để chứng minh các bất đẳng thức và áp dụng của đồng nhất thứcLagrange trong tích véc tơ của các véc tơ

Luận văn gồm hai chương

Chương 1: Đồng nhất thức Lagrange, trình bày các đồng nhất thứcLagrange kinh điển dạng thực và dạng phức, đồng nhất thức Lagrangetổng quát và hệ quả và một số đồng nhất thức đạng đa thức

Chương 2: Trình bày áp dụng của hệ thức Lagrange chứng minh một

số đẳng thức đại số và hình học, trình bày một số bất đẳng thức đượcsuy ra từ các hệ quả của bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwarz Xét

một số tính chất quan trọng của tích véc tơ đối với các véc tơ trongkhông gian R3.

Trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, bên cạnh sự nỗ lựchọc tập, nghiên cứu và niềm đam mê Toán học của bản thân em là sựhướng dẫn tận tình của TS.NCVC.Nguyễn Văn Ngọc, Trường Đại họcThăng Long Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy

Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Ban giámhiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học khoa học, Đạihọc Thái Nguyên, các thầy, các cô giảng dạy lớp cao học toán K10B2

đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình emhọc tập tại trường cũng như quá trình làm luận văn

Em xin cảm ơn các thầy, cô trong Ban giám hiệu, các đồng nghiệptrong Tổ Toán trường Trung học Cơ sở Lê Lợi, quận Hải An thành phốHải Phòng nơi mà em đang công tác đã luôn tạo điều kiện giúp đỡ vàđộng viên Xin cảm ơn bạn bè và các học viên trong lớp cao học toánK10B2 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gianhọc tập và quá trình làm luận văn

Sự quan tâm, động viên và khích lệ của gia đình cũng là nguồn độngviên lớn để em hoàn thành khóa luận này

Tuy bản thân em có đã nhiều cố gắng, song thời gian và năng lựccủa bản thân có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý của quý thầy cô cùng toànthể bạn đọc

Em xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Học viên

Vũ Thị Khải Vân

Các đồng nhất thức Lagrange

Chương này trình bày các đồng nhất thức Lagrange từ kinh điển

đến tổng quát Nội dung của chương này chủ yếu được hình thành từ

Từ (1.2)-(1.4) suy ra (1.1) Định lý được chứng minh

Nhận xét 1.1.3 Trong không gianRn xét các véc tơ a = (a1, a2, , an),

b = (b1, b2, , bn) Khi đó chúng ta có thể định nghĩa góc θ ∈ [0, π] giữa

các véc tơ trên theo các công thức

cos θ =

Pn i=1aibi

pPn i=1a2 i

pPn i=1b2 i

, sin θ =

qP

1≤i6=j≤n(aibj − ajbi)2

pPn i=1a2 i

pPn i=1b2 i

+ 1M

2

.(1.12)

Hệ thức (1.11) đươc gọi là hệ thức Huygens-Leibniz(HLe), còn hệthức (1.12) được gọi là đồng nhất thức Lagrange (La)

1.3.2 Chứng minh các đồng nhất thức HLe và La

• Trước hết chứng ta chứng minh đồng nhất thức (1.11) Đặt

z = 1M

1.3.3 Ý nghĩa của các đồng nhất thức Hle và La

Năm 1783, trong khi phác thảo thuật toán tìm tâm tỷ cự

(barycen-ter), Lagrange đã tìm ra đồng nhất thức La (1.12) (theo [4]) Trong khi

đó, theo ngôn ngữ của vận chuyển khối lượng thì đồng nhất thức Hle

nói rằng chi phí vận chuyển các khối lượng đặt tại các điểm x1, x2, , xn

đến điểm x bằng chi phí vận chuyển tổng thể khối lượng của hệ thống

từ tâm tỷ cự đến x cộng thêm chi phí vận chuyển tất cả các khối lượng

đặt tại x1, x2, , xn đến tâm tỷ cự

Trong khi đó, đồng nhất thức La khẳng định rằng chi phí vận chuyển

bằng chi phí vận chuyển của khối lượng tổng thể của hệ thống từ tâm

tỷ cự đến điểm x cộng thêm chi phí bổ sung

1M

X

1≤i<j≤n

mimj||x − xj||2

1.3.4 Một dạng vô hướng-vectơ của đồng nhất thức LagrangeĐịnh lý 1.3.2 Cho hai số thực khác không (p1, p2, , pn) và (a1, a2, , an),sao cho

Chứng minh Trong hệ thức (1.12) lấy

x = 0, mk = pka2k, xk = yk/akvới ak 6= 0(k = 1, 2, , n), chúng ta nhận được hệ thức (1.15)

Từ hệ thức (1.15) suy ra

Hệ quả 1.3.3 Nếu pk > 0, (k = 1, 2, , n) thì

a2 a3

b2 b3

− j

a1 a3

b1 b3

+ k

... data-page="18">

Một số ứng dụng đồng nhất< /h3>

thức Lagrange< /h3>

Chương trình bày số ứng dụng đồng thức

Lagrange chứng minh đẳng thức bất đẳng thức đại số, hình học,

tích... phải chứng minh

2.2.1 Ứng dụng bất đẳng thức kinh điển

Mục trình bày số bất đẳng thức nhận từ việc sử dụngcác bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

n = hệ đồng thức. .. theo công thức

2.4.2 Khái niệm tích véc tơ

• Một ứng dụng quan trọng đồng thức Lagrange