Đồng nhất thức Lagrange kinh điển
Trường hợp số thực
Định lý 1.1.1 (Đồng nhất thức Lagrange kinh điển).
Giả sử a k , b k , k = 1,2, , n là các số thực bất kỳ Khi đó có đồng nhất thức
Từ (1.2)-(1.4) suy ra (1.1) Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).
Từ (1.1) suy ra bất đẳng thức
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a i b i = a j b j , i, j = 1,2, , n.
Trong không gian R^n, với các véc tơ a = (a1, a2, , an) và b = (b1, b2, , bn), chúng ta có thể định nghĩa góc θ ∈ [0, π] giữa các véc tơ này thông qua công thức cosθ = (∑(ai * bi)) / (√(∑(ai^2)) * √(∑(bi^2))) Bên cạnh đó, sinθ có thể được tính bằng cách sử dụng công thức liên quan đến cosθ và các véc tơ a, b.
1≤i6=j≤n(a i b j −a j b i ) 2 pPn i=1a 2 i pP n i=1 b 2 i Định lý 1.1.4 (Đồng nhất thức Lagrange mở rộng).
(ajvk −akvj)(bkuj −bjuk). Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.1.5 Với u j = a j và v j = b j , thì (1.6) có dạng
(ajbk −akbj) 2 (1.7) chính là đồng nhất thức Lagrange (1.1).
Trường hợp số phức
Định lý 1.1.6 (Đồng nhất thức Lagrange) Cho các số phức a i , b i , i1,2ã ã ã , n Khi đú cú đồng nhất thức
Từ (1.9) suy ra (1.8) Định lý được chứng minh.
Đồng nhất thức dạng Lagrange tổng quát
Dạng tổng quát
Giả sử a1, a2, , as và b1, b2, , bs là 2s số thực và
(−1) k C k m Xa m+1−k b k Xa k b m+1−k , trong đó Pa k b m+1−k là ký hiệu thu gọn của P s i=1 a k b m+1−k , ngoài ra
Ta có kết quả sau Định lý 1.2.1.
P i 0, β > 0 và γ là số thực thỏa mãn γ^2 ≤ αβ, thì bất đẳng thức α sẽ được xác lập.
(2.20) Chứng minh Ta có bất đẳng thức αd j a 2 i c i + βb 2 j c i d j ≥2pαβa i b j c i d j ≥2γa i b j c i d j Lấy tổng théo i và theo j từ 1 đến n, ta được bất đẳng thức (2.20).
Hệ quả 2.2.9 Giả sử a = (a 1 , , a n ), b = (b 1 , , b n ) là các bộ số thực không âm Nếu α > 0, β > 0 và γ là số thực thỏa mãn γ 2 ≤ αβ, thì ta có α n
(2.22) Định lý 2.2.10 Giả sử a = (a 1 , , a n ), b = (b 1 , , b n ) là các bộ số thực và p= (ap 1 , , p n ) là bộ số thực không âm thỏa mãn P n j=1 p j > 0. Thế thì, ta có
Chứng minh Bất đẳng thức (2.23) nhận được bằng cách trong bất đẳng thức (2.20) cho c i = d i = p i , α n
Một trường hợp riêng của bất đẳng thức (2.23) là bất đẳng thức
2.2.2 Ứng dụng đồng nhất thức Lagrange tổng quát Định lý 2.2.11 Giả sử p, q, n là các số nguyên dương, a i là các số không âm Ký hiệu T p n
X i=1 a p i Khi đó có các bất đẳng thức
Chứng minh cho đa thức P(x) = Π n i=1 (x − α i ), với α i ∈ R, cho thấy bậc của đa thức là n (degP(x) = n) và α 1 , α 2 , , α n là n nghiệm của P(x) Áp dụng tính chất 1.2.3 của các đồng nhất thức M p với a i = (|α i |) p ≥ 0 và b i = (|α i |) q, i= 1,2, , n, ta có m.
Với điều kiện (m+ 1−k)p+kq và (m+ 1−k)q+kp là các số nguyên dương, đặt T n = P n i=1 (|α i |) n ,ta có bất đẳng thức sau m
Với m = 1,2,3,4,5, , từ (2.25), ta thu đươc các bất đẳng thức cụ thể như sau
T6pT6q + 15T4p+2qT2p+4q−6T5p+qTp+5q −10T 3p+3q 2 ≥ 0 . Định lý được chứng minh.
Một số bài toán trong tam giác
Trong tam giác ABC, ký hiệu a, b, c đại diện cho độ dài các cạnh đối diện với các góc A, B, C Các ký hiệu m a, m b, m c là độ dài các đường trung tuyến từ các đỉnh A, B, C, và l a, l b, l c là độ dài các đường phân giác tương ứng Theo Định lý Apollonius-Papus, có hệ thức m²a = b² + c² trong tam giác này.
4. Định lý 2.3.2 (Công thức đường phân giác) Độ dài các phân giác l a , l b , l c của góc A,B,C trong tam giác ABC tương ứng được tính theo công thức l a = 2bc b+ccosA
2. Bài toán 2.3.3 Chứng minh rằng đẳng thức
(ah a +bh b +ch c ) 2 = (a 2 +b 2 +c 2 )(h 2 a + h 2 b +h 2 c ) (2.26) đúng khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Lời giải Áp dụng đồng nhất thức Lagrange ta có
= (a 2 +b 2 +c 2 )(h 2 a +h 2 b +h 2 c )−(ah b −bh a ) 2 −(ah c −ch a ) 2 −(ch b −bh c ) 2
Suy ra đẳng thức (2.26) đúng khi và chỉ khi
ahb −bha = 0, ahc −cha = 0, bh c −bh c = 0
a 2 b 2 = ah a bh b = 1, a 2 c 2 = ah a ch c = 1, b 2 c 2 = bh b ch c = 1
Vậy đẳng thức (2.26) đúng khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Bài toán 2.3.4 Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu
Lời giải Áp dụng đồng nhất thức Lagrange ta có
= (a 2 +b 2 +c 2 )(m 2 a +m 2 b +m 2 c )−(am b −bm a ) 2 −(am c −cm a ) 2 −(cm b −bm c ) 2 Suy ra đẳng thức (2.27) đúng khi và chỉ khi
am b −bm a = 0, am c −cm a = 0, cm b −bm c = 0
Vậy đẳng thức (2.27) đúng khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Bài toán 2.3.5 Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu
Lời giải Áp dụng đồng nhất thức Lagrange ta có
= (a 2 +b 2 +c 2 )(l a 2 +l 2 b + l 2 c )−(al b −bl a ) 2 −(al c −cl a ) 2 −(cl b −bl c ) 2
Suy ra đẳng thức (2.28) đúng khi và chỉ khi
alb −bla = 0, al c −cl a = 0, cl b −bl c = 0
a b b b+c cos A 2 a a+c cos B 2 , a c c b+c cos A 2 a a+b cos C 2 , b c c a+c cos B 2 b a+b cos C 2
Từ định lý hàm số cosine suy ra cosA = b 2 +c 2 −a 2
Thay vào phương trình đầu trong hệ phương trình cuối cùng ta được b 2 b+c
Tương tự như vậy, ta thu được hệ phương trình
Vậy đẳng thức (2.28) đúng khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Bài toán 2.3.6 Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu
Lời giải Áp dụng đồng nhất thức Lagrange ta có
−(h a m b −h b m a ) 2 −(h a m c −h c m a ) 2 −(h c m b −h b m c ) 2 Suy ra đẳng thức (2.29) đúng khi và chỉ khi
Vậy đẳng thức (2.29) đúng khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Bài toán 2.3.7 Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu
Lời giải Áp dụng đồng nhất thức Lagrange ta có
−(h a l b −h b l a ) 2 −(h a l c −h c l a ) 2 −(h c l b −h b l c ) 2 Suy ra đẳng thức (2.30) đúng khi và chỉ khi
2abc a+c cos B 2 , ah a ch c 2abc b+c cos A 2
Từ định lý hàm số sine, ta có a sinA = b sinB = c sinC = R.
Suy ra a = RsinA, b = RsinB, c = RsinC.
Thay vào phương trình đầu trong hệ phương trình cuối cùng ta được
Tương tự với phương trình còn lại trong hệ, ta thu được
Ab= Bb = C.bVậy đẳng thức (2.30) đúng khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Tích véc tơ và tích hỗn tạp trong không gian R 3
2.4.1 Chuẩn và tích vô hướng của các véc tơ trong không gian R 3
Cho các số thực x j , j = 1,2,3 Khi đó mỗi véc tơ trong không gian
R 3 có dạng x = (x 1 , x 2 , x 3 ) Ký hiệu x T là véc tơ chuyển vị của véc tơ x Chuẩn hay độ dài của véc tơ x được xác định theo công thức
Cho hai véc tơ x = (x1, x2, x3),y = (y1, y2, y3) trong không gian R 3
Tích vô hướng của các véc tơ x,y được xác định theo công thức x•y 3
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các véc tơ song song Nếu x 6= 0 và y 6= 0, thì
Tồn tại duy nhất góc θ ∈ [0, π] sao cho cosθ = x•y
||x|||y||, và được gọi là góc giữa các véc tơ x và y. Định lý 2.4.1 (Định lý hàm số cosine).
||x−y|| 2 = ||x|| 2 +||y|| 2 −2||x||||y||cosθ Chứng minh Ta có
Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
2.4.2 Khái niệm về tích véc tơ
Một trong những ứng dụng quan trọng của đồng nhất thức Lagrange là tính tích véc tơ của hai véc tơ trong không gian R³ Với hai véc tơ a = (a₁, a₂, a₃) và b = (b₁, b₂, b₃), tích véc tơ a×b được xác định bằng công thức a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁).
•Như vậy, đồng nhất thức Lagrange đối với các véc tơa = (a 1 , a 2 , a 3 ),b (b 1 , b 2 , b 3 ) có thể được viết lại ở dạng
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi các véc tơ vuông góc.
• Một cách thuận tiện cho định nghĩa tích véc tơ là dùng định thức a×b i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3
, trong đó i,j,k tương ứng là các véc tơ đơn vị của các trục tọa độ của không gian R 3 với i×j = k, j×k= i, k×i = j.
Thông thường định thức được tính bằng cách khai triển phần bù đại số dọc theo hàng đầu tiên: a×b = i a 2 a 3 b 2 b 3
Xét theo góc θ giữa x và y, ta có công thức x•y = kxkkykcosθ.
Vì vậy, kx×yk= kxkkyksinθ.
Kết quả này hoàn chỉnh việc giải thích hình học của tích có hướng với sai khác dấu Véctơ x×y trực giao với mặt phẳng xác định bởi các điểm 0, x và y, và chuẩn của nó được xác định theo công thức ở trên Một cách trực quan, chuẩn của x×y tương ứng với diện tích của hình bình hành có các đỉnh 0, x, y và x + y.
2.4.3 Quy tắc bàn tay phải
Trong không gian Euclid ba chiều, ta có thể thiết lập một hệ tọa độ vuông góc với gốc tọa độ đã chọn, bao gồm các trục x1, x2 và x3 Hệ tọa độ này được gọi là hệ tọa độ bàn tay phải, trong đó nếu đặt tay phải sao cho các ngón tay cuộn từ trục dương x1 đến trục dương x2 một góc 90 độ, thì ngón cái sẽ chỉ về hướng dương của trục x3.
Để diễn đạt điều này, bạn hãy đặt tay phải của mình sao cho các ngón tay cuộn lại theo chiều từ tớij Khi làm như vậy, ngón tay cái của bạn sẽ chỉ theo hướng ˆk, nếu hệ tọa độ được xác định theo quy tắc bàn tay phải.
Trong không gian ba chiều, nếu i×j = k, ta có thể áp dụng quy tắc bàn tay phải để xác định hướng của tích có hướng Khi x×y khác 0, hãy đặt bàn tay phải sao cho các ngón tay cuộn từ x đến y tạo thành một góc nhọn, lúc này ngón tay cái sẽ chỉ về hướng của x×y.
2.4.4 Tính chất đại số của tích véc tơ
1 Tích véc tơ của véc tơ với chính nó a×a= 0.
2 Nhân véc tơ với một số:
3 Tích có hướng là tuyến tính theo mỗi thành phần, nên đối với bốn véctơ x,y,u,v ta có
(ax+by)×(cu+dv) = ac(x×u) +ad(x×v) +bc(y×u) +bd(y×v), trong đó a, b, c, d ∈ R.
4 Tích véc tơ có tính phản giao hoán: y×x = −x×y.
5 Tích véc tơ không có tính kết hợp, ví dụ: i×(i×j) = i×k = −j;
6 Cho x ∈ R 3 cố định Khi đó x×y là một hàm tuyến tính từ R 3 vào
R 3 và do đó có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng ma trận nhân véctơ cột y Khi đó x×y 0 −x 3 x 2 x 3 0 −x 1
2.4.5 Tích bộ ba Định nghĩa 2.4.2 Số (x×y)•u được gọi là tích bộ ba vô hướng của các véctơ x,y và u.
Tính chất của tích bộ ba vô hướng :
Do đó ta có kết quả thú vị sau mà x, y, u theo thứ tự cho ta
Tích bộ ba vô hướng không phụ thuộc vào ký hiệu × hay • mà chủ yếu dựa vào thứ tự của các véc tơ Do đó, chúng ta thường diễn đạt nó một cách ngắn gọn.
Tích bộ ba vô hướng với véc tơ thành phần:
(a×b)•a= (a×b)•b = 0 (2.40) Như vậy véc tơ a×b vuông góc với các véc tơ a và b. Định nghĩa 2.4.3 Số (x×y) ×u được gọi là tích bộ ba véc tơ của các véctơ x,y và u.
Tính chất của tích bộ ba vô hướng và tích bộ ba véc tơ sẽ được trình bày trong mục sau đây dưới dạng các bài toán.
2.4.6 Các bài toán liên quan
Bài toán 2.4.4 (Đồng nhất thức Lagrange mở rộng) Chứng minh rằng
Lời giải Dễ thấy rằng vế phải bằng
Bài toán 2.4.5 Biểu diễn dạng ma trận của tích có hướng (x×y)•u.
Bài toán 2.4.6 Chứng minh hệ thức:
Lời giải Chứng minh đẳng thức này tương tự như Bài toán 2.4.4 Ta có
Từ (2.41) và (2.42) suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.4.7 Chứng minh nhanh rằng thứ tích hỗn tạp véctơ thỏa mãn x×(y×u) = (x•u)y−(x•y)u.
Lời giải Chứng minh tiến hành tương tự như đối với Bài toán 2.4.6.
Bài toán 2.4.8 Chứng minh rằng ||x×y|| là diện tích của hình bình hành được tạo bởi hai véc tơ x và y.
Lời giải Chúng ta có thể giả thiết rằng x 6= 0 và y 6= 0 Từ đồng nhất thức
||x|| 2 ||y|| 2 + cos 2 θ = 1, trong đó θ là góc giữa các véc tơ x và y Suy ra sinθ = ||x×y||
||x||||y||sinθ = ||x×y|| 2 và ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2.4.9 (Đồng nhất thức Jacobi) Chứng minh hệ thức a×(b ×c) +b×(c×a) +c×(a×b) =0.
Lời giải Áp dụng Bài toán 2.4.7, ta có a×(b×c) = (c•a)b−(b•a)c, b ×(c×a) = (a•b)c−(c•b)a, c×(a×b) = (b•c)a−(a•c)b.
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta có điều cần chứng minh Tích hỗn tạp vô hướng là công cụ giúp tính thể tích của hình hộp trong R³ Xét ba véctơ x, y, u trong R³, chúng tạo thành một miền D được gọi là hình hộp.
Bài toán 2.4.10 Chứng minh rằng
Để tính thể tích, ta áp dụng định nghĩa cơ bản là diện tích đáy nhân với chiều cao Nếu coi x và y là các cạnh đáy của hình bình hành, thì diện tích đáy được tính bằng kx×yk Chiều cao được xác định thông qua chuẩn của phép chiếu của cạnh u lên phương vuông góc với đáy.
Biểu diễn theo góc θ giữa x×y với u, độ cao là kuk|cosθ| = kuk|(x×y)•u| kx×ykkuk
Do đó thể tích của D là vol(D) =|(x×y)•u|.
Thể tích của hình hộp được tính bằng trị tuyệt đối của tích hỗn tạp của ba cạnh Dưới dạng định thức, công thức tính thể tích được biểu diễn là vol(D) = det(u1, u2, u3) x (x1, x2, x3) x (y1, y2, y3).
Chú ý vol(D) = 0 ⇔ các véctơ x,y,u phụ thuộc tuyến tính ⇔ hình hộp D nằm trong không gian con hai chiều của R 3
Luận văn đã đề cập những vấn đề sau đây:
1 Trình bày các hệ thức Lagrange bao gồm hệ thức kinh điển, các hệ thức dạng thực, dạng phức và các hệ quả Tiếp đó, trình bày hệ thức Lagrange tổng quát, chứa những hệ thức đã biết như những trường hợp riêng và các hệ thức dạng đa thức có liên quan đến hệ chất điểm trong Hình học và Cơ học
2 Trình bày một số ứng dụng của các đồng nhất thức Lagrange, đó là các đẳng thức và bất đẳng thức đại số, một số bài toán trong tam giac và đặc biệt là tích véc tơ và tích bộ ba vô hướng và tích bộ ba véc tơ cùng các bài toán liên quan.