Luận văn thạc sỹ một số kết quả về bất đẳng thức kiểu hermite hadamard trên tập phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN THÙY LINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU HERMITE - HADAMARD TRÊN TẬP PHÂN THỨ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THÙY LINH

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

KIỂU HERMITE - HADAMARD TRÊN TẬP PHÂN THỨ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2022

rộng và một số vận dụng 232.2.2 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard đối với hàm h-lồi 32

Mở đầu

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, bất đẳng thức là một chuyên

đề rộng, có nhiều bài toán hay và thú vị, có ý nghĩa quan trọng trong Toán họcứng dụng Ngày nay việc tìm ra lời giải gần đúng của các bài toán trong lĩnh vực,đặc biệt kinh tế, địa chất, khí tượng trở thành phổ biến nhờ có sự hỗ trợ mạnh

mẽ của máy tính Việc giải các bài toán đó đòi hỏi ta ước lượng đánh giá để thuđược lời giải gần đúng cần thiết

Đối các bài toán bất đẳng thức (hay bài toán so sánh) luôn được đánh giá làmột nội dung tương đối khó, đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao của học sinh

Vì vậy trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp, thì chủ đề bất đẳng thức thườngvẫn luôn được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau Với chủ đề bất đẳng thức,

đã có rất nhiều tài liệu đề cập tới và được nhiều tác giả khai thác ở các khía cánhkhác nhau Tuy nhiên đối với luận văn thạc sĩ Toán học, với mong muốn tìm hiểu

về bất đẳng thức đặc biệt đối với lớp hàm lồi để giải, sáng tạo một lớp bất đẳngthức và vận dụng vào giải một số bài toán liên quan trong đề thi học sinh giỏi cáccấp, và cũng để làm tài liệu cho việc giảng dạy của bản thân, tài liệu tham khảocho học sinh khá, giỏi, tự học chúng tôi chọn chủ đề: Một số kết quả về bất đẳngthức kiểu Hermite – Hadamard trên tập phân thứ Nội dung chính của đề tài luậnvăn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 02 chương, cụthể:

Chương 1: Về bất đẳng thức Hermite- Hadamard Trong chương này, chúngtôi sẽ trình bày lại một số bất đẳng thức cơ bản sẽ vận dụng trong phần sau củaluận văn và đưa ra một số ví dụ vận dụng Một số khái niệm cơ bản Bất đẳngthức Hermite – Hadamard, một số mở rộng và vận dụng Bất đẳng thức Hermite– Hadamard đối với hàm h- lồi

Chương 2: Một số kết quả về bất đẳng thức kiểu Hermite – Hadamard trên tậpphân thứ và một số ứng dụng Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày lại một sốkết quả trong tài liệu [4,5] và một số tài liệu cập nhật trong quá trình thực hiện

luận văn.

Tập phân thứ và một số kết quả cơ bản Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày

về tập phân thứ, hàm suy rộng và một số bất đẳng thức về lớp hàm này, đưa ramột số ví dụ vận dụng Bất đẳng thức kiểu Hermite – Hadamard trên tập phânthứ

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày về một số dạng bất đẳng thức Hermite– Hadamard trên tập phân thứ đối với hàm suy rộng và một số vận dụng

Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc đốivới giáo viên hướng dẫn TS Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị Phương Quỳnh, thầy

cô đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tácgiả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, cácthầy cô giáo, các phòng chức năng của trường đã tạo cho tác giả mọi điều kiệntốt nhất trong quá trình học tập tại trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thànhtới bạn bè, các bạn học viên trong lớp Cao học Toán K14 đã động viện và giúp

đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập cùng nhau

Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT ChiLăng, Lạng Sơn cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện chotác giả trong thời gian đi học Cao học Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tớigia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, khích lệ tôi trong quá trình học tập

và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2022.

Tác giả

Nguyễn Thùy Linh

Chương 1

Về bất đẳng thức Hermite - Hadamard

Chương này trình bày lại một số khái niệm cơ bản và bất đẳng thức Hadamard một số mở rộng và vận dụng

Hermite-1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho hai điểm a, b ∈ R, tập tất cả các điểm x = (1−λ)a+λb

với 0 6 λ 6 1 được gọi là đoạn thẳng (đóng) giữa a và b ký hiệu bằng [a, b] Tập

I ⊂ R được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đường thẳng nối hai điểm của nó; nói cáchkhác, nếu (1 − t)a + tb ∈ I với a, b ∈ I, 0 6 λ 6 1

(ii) Cho hàm f : I → [−∞, +∞] trên tập lồi I ⊂ R Hàm f được gọi là lồi nếuvới mọi x1,x2 ∈ I và λ ∈ [0, 1] ta có

f(λx1+ (1− λ)x2) 6 λ f (x1) + (1 − λ) f (x2)

Hàm f được gọi là lõm trên I nếu − f là hàm lồi.

Mệnh đề 1.1.2 Cho f : I → [−∞, +∞] là hàm lồi Khi đó, với bất kỳ tập hữu hạn

x1, ,xk ∈ I và bất kỳ các số không âm λ1, , λkthỏa mãn λ1+λ2+· · ·+λk = 1,

i=1

λif(xi)

Mệnh đề 1.1.3 Hàm f là một hàm liên tục trên [a, b] Khi đó, f là hàm lồi trên

(a, b) nếu và chỉ nếu thỏa mãn

f  x + y2

Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa 2.3, [5]) Cho s là một số thực thỏa mãn s ∈ (0, 1].

Hàm f : [0, ∞) → [0, ∞) được gọi là s-lồi theo nghĩa thứ hai nếu thỏa mãn

f(tx + (1 − t)y) ≤ tsf(x) + (1 − t)sf(y), ∀x, y ∈ [0, ∞) and t ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.1.5 (Định nghĩa 2.4, [5]) Hàm f : I → R được gọi là P-hàm, nếu

f không âm với mọi x, y ∈ I và với t ∈ [0, 1], ta có

f(tx + (1 − t)y) ≤ f (x) + f (y)

Định nghĩa 1.1.6 (Định nghĩa 2.7, [5]) Cho h : [0, 1] → R là một hàm không

âm Ta nói rằng f : I → R là hàm h-lồi nếu f là hàm không âm với mọi x, y ∈ I

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Hermite - Hadamard) Giả sử f là hàm lồi trên

[a, b] Khi đó, nếu f khả tích trên [a, b] thì ta có

f a + b2

!

6 1

b − a

Z b a

f(x)dx 6 f(a) + f (b)

2 . (1.2)Các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard (1.2) là một công cụ quan trọngtrong các lĩnh vực toán học trừu tượng và ứng dụng, chẳng hạn như phân tíchtoán học, lý thuyết hàm, tối ưu hóa, lý thuyết điều khiển, lý thuyết về các phươngtiện đặc biệt và các biến thể khác nhau của các bài toán entropy, nội suy và xấp

xỉ, phương pháp số bao gồm tích phân số, lý thuyết thông tin, xác suất và thống

kê Các kết quả của bài báo này có thể được áp dụng cho các bất đẳng thức tíchphân cho các hàm có giá trị khoảng phân số và các phương trình vi phân tươngứng và các bài toán tối ưu hóa

Dragomir và Agarwal đã chứng minh bất đẳng thức sau có liên hệ với vế phảicủa bất đẳng thức (1.2).

f(x)dx

6

a + b2

!

− 1

a − b

Z b a

f(x)dx

6

"

f(a) + f a + b

2

!+ f (b)

#

− 1

b − a

Z b a

Định lý 1.2.5 (Định lý 3, [6]) Cho f là hàm liên tục trên khoảng [a, b] và đạo

#

− 1

b − a

Z b a

f(x)dx

Định lý 1.2.6 (Định lý 4, [6]) Cho f là hàm liên tục trên khoảng [a, b] và đạo

đây đúng:

6

f(x)dx

f(x)dx

6 (b − a)|ρ2(a, b)|

12

1 + 2p+13(p + 1)

!1q[| f′(a)|q] + | f′(b)|q]1q, (1.7)

với

1

p + 1

q = 1

Từ (1.7), lấy p = q = 2 ta được hệ quả sau

Hệ quả 1.2.12 (Hệ quả 1, [6]) Theo các điều kiện của Định lý 1.2.6, ta có

f(a) + f (b)

2 − 1

b − a

Z b a

f(x)dx

6 (b − a)|ρ2(a, b)|

12

q

| f′(a)|2 +| f′(b)|2

1.2.2 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard đối với hàm h-lồi

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về bất đẳng thức Hermite

- Hadamard đối với hàm h-lồi được đưa ra bởi Noor và cộng sự năm 2015 (xem[5]) Các kết quả này đã được mở rộng trên tập phân thứ bởi Tuba và cộng sự(xem [11]) sẽ được trình bày trong Chương 2

Định lý 1.2.13 (Bất đẳng thức Hermite-Hadamard đối với hàm h-lồi, Định lý 3.1,

h12 , 0 vàR01h(t)dt ≥ 12, khi đó ta có bất đẳng thức sau

1

4hh12i2

f a + b2

!

≤ ∆1 ≤ 1

b − a

Z b a

f(x)dx

≤ ∆2 ≤

([ f (a) + f (b)]" 1

2 + h 1

2

!#) Z 1 0h(t)dt

trong đó

∆1 = 14h12

"

f 3a + b4

!+ f a + 3b

2 ,bi Khi đó vớih

! "

f ta + (1 − t)a + b2

!+ f (1 − t)a + ta + b2

!#

.Tích phân hai vế của bất đẳng thức trên theo t trên [0, 1], ta thu được

14h12 f

3a + b4

!

≤ 1

b − a

Z a+b 2

a

f(x)dx (1.8)

Tiếp theo, vớiha+b

2 ,bi, ta cóf

! "

f ta + b

2 + (1− t)b

!+ f (1 − t)a + b2 + tb

!#

.(1.9)

Tích phân hai về của bất đẳng thức trên theo t trên [0, 1], ta thu được

14h12 f

a + 3b4

!

≤

Z b

a+b 2

f(x)dxCộng (1.8) và (1.9), ta thu được

∆1 = 1

4h12

"

f 3a + b4

!+ f a + 3b

#+ 12

# "

f a + b2

!+ f (b)

# Z 1 0h(t)dt

h(t)dt = ∆2

#.Tiếp theo, ta có

1

4hh12i2

f a + b2

!

= 1

4hh12i2

f " 12

3a + b

4 + 1

2

a + 3b4

! (

f 3a + b4

!+ f a + 3b

!+ f a + 3b

≤ " f (a) + f (b)

2 + f a + b

2

!# Z 1 0

# Z 1 0h(t)dt

=

([ f (a) + f (b)]" 1

2 + h 1

2

!#) Z 1 0h(t)dt

Ta có điều phải chứng minh Với kết quả chỉ ra trong Định lý 1.2.13 về bất đẳng thức Hermite - Hadamardđối với hàm h-lồi, ta có nhận xét sau

NHẬN XÉT 1.2.14 (i) Nếu chọn h(t) = t thì ta thu được các kết quả của Farisi

(xem [3]) và Gao (xem [4])

(ii) Nếu chọn h(t) = ts, thì ta thu được kết quả sau đối với hàm s-lồi

!+ f a + 3b

1

4 f

a + b2

!

≤ ∆1 ≤ 1

b − a

Z b a

f(x)dx ≤ ∆2 ≤ 32[ f (a) + f (b)],

trong đó

∆1 = 12

"

f 3a + b4

!+ f a + 3b

1.2.3 Một số kết quả vận dụng của bất đẳng thức Hermite - Hadamard

1.2.3.1 Một số bất đẳng thức mới với hàm Digamma trong số hạng của hàm Trigamma

Trong phần này là thiết lập các bất đẳng thức mới liên quan đến các hàmDigamma và Trigamma

5

72 2ψ

′(t) − 2t

2+ 2t + 1

t2(t + 1)2

! (1.10)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh 

Mệnh đề 1.2.18 (Mệnh đề 2, [6]) Với mọi t > 0, bất đẳng thức sau đúng: