Luận văn thạc sỹ một số tính chất của lý thuyết đồ thị và vận dụng

Lý thuyết đồ thị được vận dụng trong nhiềukhía cạnh của thực tế, với góc độ đề tài cho Toán sơ cấp, chúng tôi khai thácchúng ở các dạng toán vận dụng ở bậc phổ thông.. Chủ đề của bài toá

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

HOÀNG THANH PHƯƠNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ VẬN DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trần Xuân Quý

2 TS Đỗ Thị Phương Quỳnh

THÁI NGUYÊN - 2022

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản về giải tích tổ hợp 5

1.1.1 Cơ sở của phương pháp đếm 5

1.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 8

1.2 Đồ thị, đường đi, chu trình 11

1.2.1 Lịch sử phát minh đồ thị 11

1.2.2 Định nghĩa đồ thị 12

1.2.3 Đường đi, chu trình 14

1.3 Một số dạng đồ thị đặc biệt 15

Chương 2 Tính chất của đồ thị và vận dụng 17 2.1 Tính liên thông 17

2.1.1 Một số định nghĩa và ví dụ 17

2.1.2 Một số tính chất 18

2.2 Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton 20

2.2.1 Đường đi Euler và đồ thị Euler 20

2.2.2 Đường đi Hamilton và đồ thị Hamilton 24

2.3 Bài toán đường đi ngắn nhất 31

Danh mục hình

1.1 Đồ thị 13

1.2 Đường đi và chu trình trên đồ thị 15

2.1 Đồ thị liên thông 18

2.2 Bảy cây cầu trên sông Pregel 20

2.3 Chu trình Euler trên đồ thị 21

2.4 Đồ thị có và đồ thị không có chu trình Hamilton 25

2.5 Điều kiện của định lý 2.2.7 không là điều kiện đủ 26

2.6 Đồ thị có trọng số G của ví dụ 2.3.4 36

2.7 Ví dụ 2.3.4 39

Mở đầu

Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực nghiên cứu đã có từ lâu đời và có nhiềuứng dụng hiện đại Những tư tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuấtvào những năm đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học người Thụy Sĩ LeonhardEuler Chính Euler đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về các cáicầu ở thành phố K¨onigsberg Lý thuyết đồ thị được vận dụng trong nhiềukhía cạnh của thực tế, với góc độ đề tài cho Toán sơ cấp, chúng tôi khai thácchúng ở các dạng toán vận dụng ở bậc phổ thông

Chủ đề của bài toán tổ hợp hay cụ thể là bài toán liên quan tới đồ thị đãđược khai thác trong một số luận văn thạc sĩ, mục đích của luận văn sẽ khaithác một số tính chất của đồ thị để giải quyết các bài toán tổ hợp ở bậc phổthông Đó là lý do nghiên cứu của tôi trong thời gian qua Đề tài mang tên

“Một số tính chất của lý thuyết đồ thị và vận dụng”, nhằm mục tiêu:

- Nêu lại một số kiến thức về giải tích tổ hợp, các quy tắc đếm

- Một nội dung quan trọng của đề tài là lý thuyết về đồ thị : định nghĩa, cáctính chất, một số dạng đồ thị đặc biệt, trong đó tập trung vào một dạng đồthị có ý nghĩa thực tiễn quan trọng là đồ thị liên thông

- Đề tài khai thác một khía cạnh đồ thị quan trọng với học sinh và được ứngdụng nhiều trong thực tế, đó là đồ thị Euler và đồ thị Hamilton và thuậttoán để tìm đường đi trên hai đồ thị đó Một chủ đề quan trọng được đềcập trong luận văn là bài toán đường đi ngắn nhất - một bài toán có nhiều

áp dụng trong cuộc sống

Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđối với TS Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị Phương Quỳnh, thầy cô đã tậntình hướng dẫn và chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn này Tácgiả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên,

các thầy cô giáo, các phòng chức năng của trường đã tạo cho tác giả mọiđiều kiện tốt nhất trong quá trình học tập tại trường Tác giả xin gửi lời cảm

ơn chân thành tới bạn bè, các bạn học viên trong lớp Cao học Toán K14 đãđộng viên và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập cùng nhau

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ sự biết ơn đối với cha mẹ, các anh chị em

và người thân trong gia đình đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình học tập

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 10 năm 2022

Tác giả

Hoàng Thanh Phương

1.1 Một số khái niệm cơ bản về giải tích tổ hợp

Trong cuộc sống, ta thường gặp các tình huống cần đếm hoặc liệt kênhư: sắp xếp các đồ vật, phân chia người/vật theo điều kiện, đặc điểm nhấtđịnh, , từ đó nảy sinh các bài toán đếm Ở đây, ta đề cập tới hai quy tắc đếm

cơ bản (quy tắc cộng, quy tắc nhân) và các phương pháp đếm hoán vị, chỉnhhợp, tổ hợp

1.1.1 Cơ sở của phương pháp đếm

Bài toán đếm số phần tử tập hợp khá phổ biến trong khoa học cũng nhưcuộc sống Nếu số phần tử xuất hiện không nhiều, ta có thể đếm trực tiếpbằng phương pháp liệt kê Tuy nhiên, phần lớn các trường hợp ta gặp phải có

số phần tử lớn nên cách đếm trực tiếp không khả thi, nên thường ta sử dụnghai quy tắc đếm cơ bản: quy tắc cộng và quy tắc nhân

Định nghĩa 1.1.1 (Quy tắc cộng) Giả sử một công việc có thể được thực

hiện theo một trong k phương án A1,A2, ,Ak Có n1cách thực hiện phương

án A1, n2 cách thực hiện phương án A2, và nk cách thực hiện phương án

Ak Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n1+ n2+ · · · + nk cách

Quy tắc cộng có thể phát biểu theo các phép toán tập hợp như sau: Cho ntập hợp A1,A2, ,An là các tập hợp hữu hạn không giao nhau đôi một, tức

VÍ DỤ 1.1.2 Trong tủ sách có 6 cuốn sách tiếng Anh, 7 cuốn sách tiếng

Pháp và 5 cuốn sách tiếng Đức Hỏi có bao nhiêu cách lấy một cuốn sáchbất kỳ?

Định lý 1.1.3 (xem [1], tr.18) Cho n ≥ 2 tập hợp hữu hạn A1,A2, ,An Khi đó ta có

X

1≤i1<i2< <ik≤n

(−1)k+1 Ai1 ∩Ai2 ∩ ∩Aik + · · · + (−1)n+1|A1 ∩A2∩ ∩An|

VÍ DỤ 1.1.4 (xem [1], tr.93) Trong tập S = {1, 2, , 280} có bao nhiêu số

không chia hết cho 2, 3, 5, 7?

A4 = {k ∈ S | k 7} Khi đó |A1 ∪A2∪A3 ∪A4| là tập hợp các số chia hết cho

Như vậy trong tập S có 280 − 216 = 64 số không chia hết cho 2, 3, 5, 7 □

Định nghĩa 1.1.5 (Quy tắc nhân) Giả sử một công việc nào đó bao gồm k

công đoạn A1,A2, ,Ak Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, côngđoạn A2 có thể thực hiện theo n2cách, , công đoạn Ak có thể thực hiện theo

nk cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1n2 .nk cách

Ta có thể phát biểu quy tắc nhân theo công thức tập hợp: Giả sử có ntập hợp hữu hạn A1,A2, ,An Khi đó, số cách chọn một bộ gồm n phần tử(a1,a2, an) với ai ∈ Ai,(1 ≤ i ≤ n) sẽ là số phần tử của tích Descartes củacác tập hợp A1,A2, ,An

VÍ DỤ 1.1.6 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau

mà các chữ số được lấy từ tập hợp A = {0, 2, 3, 6, 7, 8}

- Có 5 cách chọn chữ số a (vì , 0)

- Có 5 cách chọn chữ số b (vì b , a)

- Có 4 cách chọn chữ số c (vì c , a, b).

Vậy ta lập được 100 số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán □Trong phần tới chúng ta đề cập đến nguyên lý Dirichlet, được đề xuất bởinhà toán học người Đức Johann Dirichlet (1805-1859), hay còn được gọi lànguyên lý chuồng bồ câu (hoặc nhốt thỏ vào chuồng) Nội dung nguyên lý

như sau: Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một

Đây được coi như nguyên lý Dirichlet cơ bản

Định lý 1.1.7 (Nguyên lý Dirichlet mở rộng, xem [1], tr.42) Nếu nhốt n con

m

#

con thỏ.

Ở đây, ta sử dụng ký hiệu [x] là phần nguyên của số x

" n + m − 1m

#+ 1

con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều không quá " n − 1

m

#con Từ đó suy ra

tổng số con thỏ không vượt quá m." n − 1

m

#

≥ n −1 con

Nguyên lý Dirichlet có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhaucủa toán học như bất đẳng thức, tổ hợp - xác suất,

VÍ DỤ 1.1.8 Trong một nhóm 61 người sinh tháng 9, luôn có ba người cùng

ngày sinh vì tháng 9 chỉ có 30 ngày, nên số người cùng ngày sinh trong tháng

Định nghĩa 1.1.9 (Hoán vị) Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử Khi sắp

xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập

A(gọi tắt là một hoán vị của A) Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là

Pn = n!

Định nghĩa 1.1.10 (Hoán vị lặp) Cho k phần tử khác nhau a1,a2, ,ak.Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1phần tử a1,n2 phần tử a2, ,nkphần tử ak (trong đó n1+ n2 + + nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi

là hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1,n2, ,nk) của k phần tử Số các hoán vị lặpdạng như trên là

Pn(n1,n2, ,nk) = n!

n1!n2! nk!

VÍ DỤ 1.1.11 Với các chữ số 0, 1, 3, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số gồm

10 chữ số, trong đó mỗi chữ số 0, 1, 3, 7 xuất hiện đúng một lần, chữ số 5xuất hiện đúng bốn lần và chữ số 8 xuất hiện đúng hai lần?

gọi dạng tổng quát của x, ta có x = a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10 Khi đó, mỗi số

xlà một hoán vị của mười phần tử a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10

Số các hoán vị ta thu được là 10! song do a5 = a6 = 8, nên khi đổi chỗ a5 và

a6 thì hoán vị a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10 vẫn giữ nguyên Như vậy, khi đổi chỗcác phần tử a2,a4,a7,a9 cho nhau ta vẫn nhận được số x

Như vậy, khi thực hiện 2! hoán vị a5,a6 và 4! hoán vị a5,a7,a9 ta vẫn thuđược x

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu có thể lập được là

S = 10!

2!.4! = 75600.

□

Định nghĩa 1.1.12 (Chỉnh hợp) Cho tập hợp A gồm n phần tử và số không

âm k với 0 ≤ k ≤ n và n > 0 Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúngtheo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt

là một chỉnh hợp chập k của A)

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được tính bởi công thức

Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = n!

(n − k)!·

Định nghĩa 1.1.13 (Chỉnh hợp lặp) Một dãy bao gồm k phần tử của tập A,

trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tựnhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử

Định nghĩa 1.1.15 (Tổ hợp) Cho tập A có n phần tử và số không âm k với

0 ≤ k ≤ n và n > 0 Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợpchập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)

Số tổ hợp chập k (0 ≤ k ≤ n) của n phần tử được kí hiệu là Ck

n và được tínhtheo công thức

Ckn = n!

k!(n − k)!·

Định nghĩa 1.1.16 (Tổ hợp lặp) Một dãy bao gồm k phần tử (k có thể lớn

hơn n) của tập A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần (khôngtính đến thứ tự sắp xếp của chúng) gọi là một tổ hợp lặp chập k của n phầntử

Ta ký hiệu Cm

n là số tổ hợp lặp chập m của n phần tử Số tổ hợp lặp chập

kcủa tập n phần tử bằng Ck

n+k−1

VÍ DỤ 1.1.17 Một cửa hàng bán 8 loại máy in được ký hiệu lần lượt là loại

1, loại 2, , loại 8 Một khách hàng muốn mua 3 chiếc máy in Hỏi kháchhàng đó có bao nhiêu lựa chọn?

3 của 8 phần tử

Vậy người đó có C3

3+8−1 = C103 = 120 cách để chọn được 3 máy in theo

VÍ DỤ 1.1.18 Có bao nhiêu cách chia cho nhóm 4 người, mỗi người 5 lá bài

37 cách lấy được 5 lá bài, khi đó còn 32 lá

Theo quy tắc nhân, ta có C5

52.C475 C425 C375 = 52!

5!5!5!5!32! cách chia cho bốn

Ta có thể tổng quát ví dụ nêu trên bởi mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.19 Số cách chia n món đồ khác nhau vào trong m hộp khác

đồ thị, xuất phát từ những bài toán nghiên cứu về mạng điện, mô hình tinh

thể và cấu trúc phân tử của các chất Sau đó, nhiều bài toán khác cũng đượcphát triển dưới ngôn ngữ đồ thị, trong đó nổi tiếng nhất là bài toán bốn màuđược đề xuất vào năm 1850 của De Morgan Ta sẽ điểm qua một số bài toánlịch sử dẫn tới sự phát triển của lý thuyết đồ thị

• Bài toán bảy chiếc cầu ở thành phố K ¨onigsberg (sẽ được nêu kỹ hơn ởphần 2.2.1)

• Bài toán mạng điện: Năm 1847, nhà vật lý học Kirchhoff đã xây dựng lýthuyết để giải hệ các phương trình đại số tuyến tính cho phép xác địnhđược cường độ dòng điện trong mỗi dây dẫn và trong mỗi mạch khépkín của một mạng điện Ông ta đã biểu diễn mỗi mạch điện bằng một

sơ đồ mà ngày nay ta gọi là đồ thị Bằng cách dùng đồ thị đó, Kirchhoff

đã giải quyết được bài toán đặt ra

• Bài toán đếm đồng đẳng hóa học: Năm 1857, nhà hóa học Cayley đãđếm số đồng đẳng hidrocacbon no C2H2n+2 với số nguyên tử cacbon là

n Để giải quyết bài toán, Cayley đã đi tới khái niệm cây, một khái niệmquan trọng trong đồ thị Muộn hơn vào năm 1869, Jordan độc lập vớiCayley nghiên cứu các cây một cách thuần toán học

Trên đây ta mới chỉ xét các vấn đề toán học, vật lý và hóa học mà khi giảiquyết chúng đã đưa tới khái niệm đồ thị Ngoài ra, khái niệm này cũng nảysinh từ rất nhiều lĩnh vực thực tế như lý thuyết trò chơi, lý thuyết tối ưu,thông tin, sinh vật học, kinh tế,

1.2.2 Định nghĩa đồ thị

Định nghĩa 1.2.1 (xem [4]) Tập hợp X , ∅ các đối tượng và bộ E các cặp

sắp thứ tự và không sắp thứ tự các phần tử của X được gọi là một đồ thị, kýhiệu là G(X, E) (hoặc G = (X, E) hoặc G(X))

Thông thường, ta biểu diễn tập đỉnh V của G bởi một tập điểm trên mặtphẳng và tập cạnh E gồm các đoạn thẳng (hoặc đường cong) nối giữa cáccặp điểm tương ứng

Cặp đỉnh sắp thứ tự được gọi là cạnh, cặp đỉnh sắp thứ tự gọi là cung.Trong trường hợp hai đầu mút trùng nhau, cạnh với hai đầu mút được gọi

B

C

D E

Hai cạnh (cung) được gọi là kề nhau nếu

• Chúng khác nhau

• Chúng có đỉnh chung (nếu a, b là cung, thì không phụ thuộc vào đỉnhchung đó là đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối củacung b)

Định nghĩa 1.2.2 (xem [4]) Số đỉnh kề với một đỉnh x ∈ X được gọi là bậc

của đỉnh x và ký hiệu là dG(x) Nếu không có nhầm lẫn, ký hiệu là d(x)

của đồ thị với bậc của các đỉnh được thể hiện trong công thức

X

x∈X

d(x) = 2|E|

tương ứng với e = {x, v} ∈ E Dễ thấy rằng tương ứng này là song ánh giữaN(x) và Ex = {{x, v} ∈ E | x , v} Vì thế

Vì mỗi cạnh {x, v} ∈ E với v , x có hai đỉnh liên thuộc với nó là v và x, nêntrong tổng ở vế phải mỗi {x, v} ∈ E với v , x đã được tính đúng hai lần: mộtlần trong Ev và một lần trong Ex Do đó

x∈X

|N(v)| + 2 |X2| = 2 |E1| + 2 |E2| = 2|E|

□

1.2.3 Đường đi, chu trình

Định nghĩa 1.2.4 (xem [4]) Trong đồ thị G, đường đi là một chuỗi luân

phiên giữa đỉnh và cạnh, bắt đầu và kết thúc bởi hai đỉnh, sao cho khôngđỉnh nào xuất hiện nhiều hơn một lần Nếu biểu diễn đường đi trên các đỉnhcủa nó là x1x2 xk sao cho xkxk+1 ∈ E thì ta có một chu trình v1v2 vkv1 Nóicách khác, chu trình là hợp của đường đi và cạnh nối đỉnh đầu và cuối củađường đi đó Độ dài của đường đi hoặc chu trình là số cạnh của đường đihoặc chu trình đó

Chu trình độ dài 3 (hay đồ thị đầy đủ 3 đỉnh K3) được gọi là tam giác,còn chu trình độ dài 4 được gọi là tứ giác

Một đường đi (có hướng hoặc vô hướng) được gọi là khép kín nếu đỉnhđầu và đỉnh cuối trùng nhau Đường đi khép kín sẽ trở thành chu trình nếuđường đi có độ dài ít nhất là 3 và khi xóa đỉnh cuối thì trở thành đường

Một đường đi được gọi là vết nếu các cạnh của đường đi đó khác nhau.

VÍ DỤ 1.2.5 Xét đồ thị hình 1.1 Khi đó ta có

• ABCD là một đường

Đồ thị G(X, E) không có khuyên và mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằng

không quá một cạnh, được gọi là đồ thị đơn.

Đồ thị G(X, E) không có khuyên và có ít nhất một cặp đỉnh được nối với

nhau bằng từ hai cạnh trở lên được gọi là đa đồ thị.

Đồ thị vô hướng (hoặc có hướng) G(X, E) được gọi là đồ thị đầy đủ, nếugiữa hai đỉnh bất kỳ của đồ thị luôn có cạnh nối

Đồ thị G(X, E) được gọi là đồ thị hai phía, nếu tập đỉnh X của nó là hợprời của hai tập X1,X2 khác rỗng và mỗi cạnh đều có một đầu thuộc X1, đầucòn lại thuộc X2 Khi đó G(X, E) còn được ký hiệu bằng G(X1,X2,E)

Đồ thị được gọi là cây nếu nó liên thông và không có chu trình.

Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) được gọi là đồ thị (đa đồ thị) hữu hạn nếu sốđỉnh của đồ thị là hữu hạn, nghĩa là tập X có lực lượng hữu hạn Trong cácphần tiếp theo, các đồ thị, đa đồ thị được xét đều hữu hạn.

Cho Y ⊆ X, Y , ∅; H ⊆ E, F = E ∩ (Y × Y); V = (X × X)/E với

X × X = {(x, y) : x, y ∈ X}; Y × Y = {(x, y) : x, y ∈ Y ⊆ X}

Đồ thị G1(Y, F) được gọi là đồ thị con, còn đồ thị G2(X, H) được gọi là

đồ thị bộ phận của đồ thị G(X, E)

Đồ thị G′

(X, V) được gọi là đồ thị bù của đồ thị G(X, E)

Chương 1 trình bày các quy tắc đếm cơ bản, đồng thời trình bày một sốkhái niệm về các dạng đồ thị thường gặp Trong chương sau, ta sẽ nghiêncứu một số tính chất đặc biệt của đồ thị và hai dạng đồ thị phổ biến: đồ thịEuler và đồ thị Hamilton

Chương 2

Tính chất của đồ thị và vận dụng

Trong chương này, tác giả đề cập tới một số dạng đồ thị, bao gồm đồ thịliên thông, đồ thị Euler và đồ thị Hamilton, đồng thời nêu ra một số tính chấtcủa đường đi Euler và Hamilton, cách xây dựng thuật toán để tìm chu trình

và đường đi của hai loại đồ thị nêu trên Ngoài ra, trong phần này tác giả nêu

ra bài toán đường đi ngắn nhất, bao gồm thuật toán để giải và một số ví dụminh họa

Nội dung chương này tham khảo trong các tài liệu [2], [3] và [4], đồngthời bổ sung, giải chi tiết và làm rõ các ví dụ và các mục cụ thể

2.1 Tính liên thông

Đồ thị liên thông là một trong những tính chất quan trọng nhất của đồ thịnói riêng và lý thuyết đồ thị nói chung Trong phần này, ta sẽ đề cập tới địnhnghĩa và một số tính chất thường gặp của đồ thị liên thông

2.1.1 Một số định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1.1 (xem [2], tr.195) Đồ thị G được gọi là liên thông yếu hay

gọi tắt là liên thông, nếu với hai đỉnh khác nhau bất kỳ xi và xj của G đềutồn tại một đường đi vô hướng trong G với đỉnh đầu là xi và đỉnh cuối là xj.Trong trường hợp ngược lại, đồ thị được gọi là không liên thông

Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu với hai đỉnh bất kỳ xi

và xj, luôn tồn tại đường đi có hướng từ xi tới xj và ngược lại

Đỉnh x trong đồ thị liên thông G được gọi là điểm khớp, nếu đồ thị con

G1 nhận được từ G bằng cách bỏ đỉnh x, là đồ thị không liên thông Điểmkhớp x, mà nó được nối với mỗi thành phần liên thông của G1 bằng đúngmột cạnh, được gọi là điểm khớp đơn

Việc xoá đỉnh khớp khỏi một đồ thị liên thông sẽ tạo ra một đồ thị conkhông liên thông

Một cạnh mà khi ta bỏ nó đi sẽ tạo ra một đồ thị có nhiều thành phần liênthông hơn so với đồ thị xuất phát được gọi là cạnh khớp (cầu)

2.1.2 Một số tính chất

Định lý 2.1.2 (xem [3], tr.23) Đồ thị mà bậc của mỗi đỉnh của nó không

nhỏ hơn một nửa số đỉnh là đồ thị liên thông.

thông, khi đó có ít nhất hai đỉnh a và b nằm trong hai mảng liên thông khácnhau

Vậy ta có n ≤ r(a) + r(b) ≤ n − 2, suy ra điều mâu thuẫn □

Định lý 2.1.3 (xem [3], tr.23) Giả sử đồ thị G có n đỉnh, m cạnh và k thành

phần liên thông Khi đó ta có bất đẳng thức:

n − k ≤ m ≤ (n − k)(n − k + 1)

Chứng minh. Bất đẳng thức n − k ≤ m được chứng minh quy nạp theo m.Nếu m = 0 thì k = n nên bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức trên đúng với m − 1, với m ≥ 1 Gọi G′ là đồ thị conbao trùm của G có số cạnh m0 là nhỏ nhất sao cho nó có k thành phần liênthông Do đó việc loại bỏ bất cứ cạnh nào trong đồ thị G′ cũng tăng số thànhphần liên thông lên 1 và khi đó đồ thị thu được sẽ có n đỉnh, k +1 thành phầnliên thông và m0−1 cạnh Theo giả thiết quy nạp, ta có m0−1 ≥ n − (k + 1)hay m0 ≥ n − k

Vậy m ≥ n − k

Ta bổ sung cạnh vào G để nhận được đồ thị G′′ có m1 cạnh sao cho kthành phần liên thông là những đồ thị đầy đủ Ta có m ≤ m1 nên chỉ cầnchứng minh:

m1 ≤ (n − k)(n − k + 1)

Giả sử Gi và Gj là hai thành phần liên thông của G′′ với ni và nj đỉnh và

ni ≥ nj > 1(∗) Nếu ta thay Gi và Gj bằng đồ thị đầy đủ với ni + 1 và nj −1đỉnh thì tổng số đỉnh không thay đổi nhưng số cạnh tăng thêm một lượng là:

#+

Thủ tục này được lặp lại khi hai thành phần nào đó có số đỉnh thoả mãn (∗)

Vì vậy m1 là lớn nhất (n, k là cố định) khi đồ thị gồm k − 1 đỉnh cô lập vàmột đồ thị đầy đủ với n − k + 1 đỉnh

theo định lý 2.1.3 số cạnh m của đồ thị thỏa mãn các bất đẳng thức:

(n − 1)(n − 2)

(n − k)(n − k + 1)

Bất đẳng thức thỏa mãn khi k = 1, nên đồ thị G liên thông □

2.2 Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton

Trong mục này, ta đề cập tới hai loại đồ thị có rất nhiều ứng dụng trongthực tế: đồ thị Euler và đồ thị Hamilton

2.2.1 Đường đi Euler và đồ thị Euler

Khái niệm chu trình và đường đi Euler được ra đời từ bài toán sau

Bài toán 1 Thành phố K¨onigsberg thuộc nước Cộng hoà Litva (thành phố

Kaliningrad ngày nay) có con sông Pregel chảy qua Giữa sông có cù lao Kneiphof tạo nên bốn vùng đất Người ta đã xây dựng 7 cây cầu để nối các vùng đất này lại với nhau như hình vẽ dưới đây.

Hình 2.2: Bảy cây cầu trên sông Pregel

Người dân nơi đây truyền nhau bài toán: Liệu có thể đi qua cả bảy cây cầu, mỗi cầu chỉ đi qua đúng một lần rồi quay trở về chỗ xuất phát được không?

Năm 1736, nhà toán học người Thụy Sĩ Euler đã chứng minh rằng bàitoán trên là không giải được

Nếu biểu diễn mỗi vùng đất bằng đỉnh của một đa đồ thị vô hướng và cócạnh nối giữa hai đỉnh nếu có cầu đi qua, thì bài toán trên đưa ra yêu cầu:tìm một chu trình đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần

Từ bài toán trên, ta có các định nghĩa và tính chất sau:

Định nghĩa 2.2.1 Đường đi α trong đồ thị vô hướng G(X, E) được gọi là

đường đi Euler nếu nó đi qua tất cả các cạnh của G và qua mỗi cạnh đúng