Luận văn thạc sỹ một số vấn đề về căn nguyên thủy và ứng dụng

Euler đềubiết đến căn nguyên thủy, nhưng ông là người đầu tiên đưa ra bằng chứng chặtchẽ về sự tồn tại của các căn nguyên thủy theo môđun nguyên tố n.. Luận văn này nhằm nghiên cứu một s

Một số kiến thức cơ bản về số học

Mục này cung cấp kiến thức cơ bản về số học, với các kết quả được tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4] Định lý 1.1.1 khẳng định rằng, với hai số nguyên a và b (với b khác 0), tồn tại duy nhất các số nguyên q và r sao cho a = bq + r, trong đó 0 ≤ r < |b|.

Số r trong định lý trên được gọi là phần dư của phép chia a cho b Nếu r= 0 thì ta nói b là một ước của a, và ký hiệu là b|a.

Cho a và b là hai số nguyên Số nguyên d được gọi là ước chung lớn nhất của a và b nếu d là ước chung của a và b, và với mọi ước chung d₀ của a và b, thì d₀ chia hết cho d Ký hiệu (a, b) được sử dụng để chỉ ước chung lớn nhất dương của a và b.

Mệnh đề 1.1.2 Cho a, b, c là các số nguyên khác 0.

(ii) Nếu b |a, c|a và (b, c) = 1 thì bc|a.

(iii) Nếu c|ab và (b, c) = 1 thì c|a.

Mệnh đề 1.1.3 Cho u và v là các số nguyên Nếu d= (u, v) thì tồn tại các số nguyên x và y sao cho d=xu+yv.

Số tự nhiên p6= 1 được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước là 1 và chính nó Theo Định lý cơ bản của số học, mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể phân tích thành một tích các số nguyên tố, và sự phân tích này là duy nhất, không tính đến thứ tự các nhân tử.

Theo Định lý cơ bản của số học, mọi số nguyên $ n > 1 $ đều có thể biểu diễn dưới dạng $ n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k} $, trong đó $ p_1, p_2, \ldots, p_k $ là các số nguyên tố phân biệt và $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k $ là các số nguyên dương Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính tắc của $ n $ Định nghĩa 1.1.5 cho biết rằng hai số nguyên $ a $ và $ b $ được gọi là đồng dư với nhau theo môđun $ m $ (ký hiệu $ a \equiv b \mod m $) nếu hiệu $ a - b $ chia hết cho $ m $.

Tính chất 1.1.6 Cho a, b, c, d, m, nlà các số nguyên dương Nếu a≡b (mod m) và c≡d (mod m) thì:

Nếu $ d $ là một ước chung của $ a, b $ và $ m $, thì $ a d \equiv b d $ (mod $ m d $) Định lý 1.1.7 cho biết rằng phương trình đồng dư bậc nhất $ ax + b \equiv 0 $ (mod $ m $) có nghiệm khi và chỉ khi $ d | b $ với $ d = (a, m) $ Khi phương trình có nghiệm, nó có $ d $ nghiệm theo môđun $ m $ là $ x_0, x_0 + m d, x_0 + 2m d, \ldots, x_0 + (d-1)m d $, trong đó $ x_0 $ là một nghiệm của phương trình đồng dư $ a dx + b d \equiv 0 $ (mod $ m d $) Định lý 1.1.8, hay Định lý Thặng dư Trung Hoa, khẳng định rằng với các số nguyên dương $ m_1, m_2, \ldots, m_k $ là nguyên tố cùng nhau từng đôi một, hệ phương trình đồng dư $ x \equiv a_i $ (mod $ m_i $) có nghiệm duy nhất theo môđun $ m_1 m_2 \cdots m_k $ Định lý 1.1.9 chỉ ra rằng nếu $ p $ là một số nguyên tố và $ f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 $ với $ n \geq 0 $ là một đa thức với hệ số nguyên, thì phương trình $ f(x) \equiv 0 $ (mod $ p $) có không quá $ n $ nghiệm (kể cả bội) Cuối cùng, định nghĩa 1.1.10 ký hiệu $ \phi(m) $ là số các lớp thặng dư nguyên tố cùng nhau với $ m $, và hàm $ \phi(m) $ được gọi là Hàm Euler.

Ta có thể hiểuϕ(m)như là số các số nguyênk với1≤k < msao cho(k, m) = 1. Nếu p là một số nguyên tố thì rõ ràng ϕ(p) = p−1.

Tính chất 1.1.11 Nếu (m1, m2) = 1 thì ϕ(m1m2) = ϕ(m1)ϕ(m2). Định lý 1.1.12 Với m là một số nguyên dương lớn hơn 1 ϕ(m) =mY p|m

1−1 p trong đó p là các ước nguyên tố của m. Định lý 1.1.13 (Định lý Euler) Cho m và a là các số nguyên dương Nếu (a, m) = 1 thì a ϕ(m) ≡1 (mod m).

Trong trường hợp đặc biệt, Định lý Fermat (Định lý 1.1.14) khẳng định rằng với một số nguyên tố p, nếu a là một số nguyên bất kỳ, thì có thể viết \$a^p \equiv a \, (\text{mod} \, p)\$ Bên cạnh đó, định nghĩa 1.1.15 đề cập đến tập hợp A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} chứa n số nguyên.

A là một hệ thặng dư đầy đủ theo môđun n khi và chỉ khi a i 6≡ a j (mod n) với

1≤i < j≤n. Định nghĩa 1.1.16 Cho tập B = {b 1 , b 2 , , b k } là tập hợp có k số nguyên, B là một hệ thặng dư thu gọn theo môđun n khi thỏa mãn ba điều kiện sau (i) k =ϕ(n);

Nếu $ b_i \equiv b_j \,(\text{mod } n) $ với $ 1 \leq i < j \leq k $, thì ta có định nghĩa 1.1.17: cho $ m $ là một số tự nhiên lớn hơn 1, và $ a $ là một số nguyên với $ (a, m) = 1 $, nếu tồn tại số nguyên $ x $ sao cho $ x^k \equiv a \,(\text{mod } m) $, thì $ a $ được gọi là một thặng dư bậc $ k $ theo môđun $ m $; ngược lại, $ a $ là một bất thặng dư bậc $ k $ theo môđun $ m $ Định nghĩa 1.1.18 (Ký hiệu Legendre) áp dụng cho số nguyên tố $ p > 2 $ và $ a \in \mathbb{Z} $ với $ p \nmid a $, ta đặt $ a \, \text{p} $.

1 nếu a là một thặng dư bậc hai theo môđun p

−1 nếu a là một bất thặng dư bậc hai theo môđun p

Rõ ràng là nếu a ≡b (mod p) thì a p b p

Định lý 1.1.19 Cho p >2 là một số nguyên tố Có đúng p − 1

2 thặng dư bậc hai theo môđun p, và p − 1

2 bất thặng dư bậc hai theo môđun p Hơn nữa, các phần tử 1 2 ,2 2 , , p − 1 2

Định lý 1.1.20, hay còn gọi là tiêu chuẩn Euler, khẳng định rằng với một số nguyên tố $ p > 2 $ và mọi số nguyên $ a $, ta có $ a^{\frac{p-1}{2}} \equiv a^p $ modulo $ p $ Điều này tạo thành một tập đầy đủ các thặng dư bậc hai theo môđun $ p $.

Từ Định lý 1.1.20 ta có kết quả sau.

Mệnh đề 1.1.21 Nếu p- ab thì ab p a p b p

Mệnh đề 1.1.22 Cho p là một số nguyên tố lẻ.

Mệnh đề 1.1.23 Cho p là một số nguyên tố Số 2 là một thặng dư bậc hai theo môđun p khi và chỉ khi p≡ ±1 (mod 8).

Mệnh đề 1.1.24 Cho p là một số nguyên tố Số −2 là một thặng dư bậc hai theo môđun p khi và chỉ khi p≡1 (mod 8) hoặc p≡3 (mod 8).

Một số kết quả chuẩn bị

Trong mục này chúng tôi trình bày một số kết quả được sử dụng trong luận văn Các kết quả trong mục này được tham khảo từ tài liệu [5].

Mệnh đề 1.2.1 Nếu p= 2 α + 1 là số nguyên tố thì α = 2 n với n là số nguyên không âm.

Chứng minh Giả sử trái lại, đặt α = 2 n m với n, m là các số nguyên không âm,trong đó m lẻ và m≥3 Khi đó p= 2 α +1 = 2 2 n m +1 = (2 m +1)2 (2 n −1)m −(2 m +1)2 (2 n −2)m + .−(2 m +1)2 m +(2 m +1)

Vì 12 Hơn nữa, nếu r là số các ước nguyên tố lẻ phân biệt của m thì 2 r là ước của ϕ(m).

Q i=1 p α i i với p i là các ước số nguyên tố phân biệt, α 1 , α 2 , , α k là các số nguyên dương Khi đó ϕ(m) k

(p i −1)p i α i −1 là số chẵn, từ đó suy ra ϕ(m) là số chẵn.

Vì 2|p i −1 với mỗi p i lẻ, 1≤i≤k nên

(p i −1)p i α 1 −1 do m có r ước nguyên tố lẻ phân biệt Do đó 2 r | ϕ(m) Vậy ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp số căn nguyên thủy bằng 1 ta có kết quả sau.

Mệnh đề 2.3.2 Với p là một số nguyên tố, số căn nguyên thủy theo môđun p bằng 1 khi và chỉ khi p= 2 hoặc p= 3.

Chứng minh Nếu p= 2 thì rõ ràng 1 là căn nguyên thủy duy nhất theo môđun

2 Nếup lẻ thìp= 2 α k+ 1với α và k là các số nguyên dương, trong đó k lẻ Theo

Hệ quả 2.2.6, số căn nguyên thủy theo môđun p bằng ϕ(ϕ(p)) =ϕ(p−1) =ϕ(2 α )ϕ(k).

Nếu số căn nguyên thủy theo môđun là 1, thì ϕ(2α) = 1 và ϕ(k) = 1, dẫn đến α = 1 và k = 1 theo Mệnh đề 2.3.1, với p = 3 Ngược lại, với p = 3, 2 là căn nguyên thủy duy nhất theo môđun 3 Do đó, điều cần chứng minh đã được xác nhận.

Kết quả sau chỉ ra rằng ta chỉ cần xét trường hợp số căn nguyên thủy là một số chẵn.

Mệnh đề 2.3.3 Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 3 thì số căn nguyên thủy theo môđun p là số chẵn.

Chứng minh Vìp >3 nênp−1>2 Do đó, theo Hệ quả 2.2.6 và Mệnh đề 2.3.1, số căn nguyên thủy theo môđun p là ϕ(ϕ(p)) =ϕ(p−1) là số chẵn.

Trường hợp số căn nguyên thủy bằng t= 2 r với r≥1 ta có các kết quả sau.

Giả sử p là số lẻ, ta có p = 2αk + 1 với α và k là các số nguyên dương, trong đó k lẻ Theo Hệ quả 2.2.6, số căn nguyên thủy theo môđun p được tính bằng ϕ(ϕ(p)) = ϕ(p−1) = ϕ(2α)ϕ(k) Nếu số căn nguyên thủy theo môđun p là 2, thì có hai trường hợp: ϕ(2α) = 2 và ϕ(k) = 1, hoặc ϕ(2α) = 1 và ϕ(k) = 2.

Nếu ϕ(2 α ) = 2 và ϕ(k) = 1, thì suy ra α = 2 và k = 1, do k lẻ, nên p = 5 Nếu ϕ(2 α ) = 1 và ϕ(k) = 2, thì suy ra α = 1 và k = 3, do k lẻ, nên p = 7 Đối với p = 5, số căn nguyên thủy theo môđun 5 là ϕ(ϕ(5)) = ϕ(4) = 2; với p = 7, số căn nguyên thủy theo môđun 7 là ϕ(ϕ(7)) = ϕ(6) = 2 Vậy ta đã chứng minh được điều cần thiết.

Giả sử p là số lẻ, ta có p = 2αk + 1 với α và k là các số nguyên dương, trong đó k lẻ Theo Hệ quả 2.2.6, số căn nguyên thủy theo môđun p được tính bằng ϕ(ϕ(p)) = ϕ(p−1) = ϕ(2α)ϕ(k) Nếu số căn nguyên thủy theo môđun p là 4, theo Mệnh đề 2.3.1, ta sẽ có ba trường hợp.

Trong trường hợp 1, nếu ϕ(2 α ) = 1 và ϕ(k) = 4 = 2^2, ta suy ra α = 1 và số ước nguyên tố lẻ phân biệt của k không vượt quá hai Hơn nữa, ϕ(3.5) = 2.4 = 8 > 4 cho thấy k có duy nhất một ước nguyên tố lẻ, từ đó suy ra k = 5 và p = 11 Trong trường hợp 2, nếu ϕ(2 α ) = 2 và ϕ(k) = 2, ta có α = 2 và k = 3, do đó p = 13 Cuối cùng, trong trường hợp 3, nếu ϕ(2 α ) = 4 và ϕ(k) = 1, ta suy ra α = 3 và k = 1, nhưng k lẻ dẫn đến p = 9, mâu thuẫn với giả thiết.

Ngược lại, với p = 11 rõ ràng số căn nguyên thủy theo môđun p là ϕ(ϕ(11)) = ϕ(10) = ϕ(2)ϕ(5) = 4, với p = 13 rõ ràng số căn nguyên thủy theo môđun p là ϕ(ϕ(13)) = ϕ(12) = ϕ(4)ϕ(3) = 2.2 = 4 Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bằng cách áp dụng lập luận tương tự như trong các Mệnh đề 2.3.4 và 2.3.5, ta có thể khẳng định rằng luôn tồn tại số nguyên tố $ p $ sao cho số căn nguyên thủy theo môđun $ p $ bằng $ 2^r $ với $ 3 \leq r \leq 9 $ Ví dụ, với $ p = 31 $, ta có $ \varphi(\varphi(31)) = \varphi(30) = \varphi(2^3) \varphi(3) \varphi(5) = 2^3 $ Tương tự, với $ p = 41 $, $ \varphi(\varphi(41)) = \varphi(40) = \varphi(2^3) \varphi(5) = 2^4 $ Đối với $ p = 97 $, $ \varphi(\varphi(97)) = \varphi(96) = \varphi(2^5) \varphi(3) = 2^5 $ Với $ p = 193 $, ta có $ \varphi(\varphi(193)) = \varphi(192) = \varphi(2^6) \varphi(3) \varphi(5) = 2^6 $ Đối với $ p = 409 $, $ \varphi(\varphi(409)) = \varphi(408) = \varphi(2^3) \varphi(3) \varphi(17) = 2^7 $ Với $ p = 769 $, ta có $ \varphi(\varphi(769)) = \varphi(768) = \varphi(2^8) \varphi(3) = 2^8 $ Cuối cùng, với $ p = 1361 $, $ \varphi(\varphi(1361)) = \varphi(1360) = \varphi(2^4) \varphi(5) \varphi(17) = 2^9 $.

Tuy nhiên với t= 2 10 ta có kết quả sau.

Mệnh đề 2.3.6 khẳng định rằng không có số nguyên tố nào có số căn nguyên thủy là $2^{10}$ Để chứng minh điều này, giả sử tồn tại một số nguyên tố $p$ thỏa mãn điều kiện trên và giả thiết $p$ là số lẻ Khi đó, $p$ có thể được biểu diễn dưới dạng $2^{\alpha}k + 1$ với $\alpha$ và $k$ là các số nguyên dương, trong đó $k$ là số lẻ Theo Hệ quả 2.2.6, số căn nguyên thủy theo môđun $p$ được tính bằng $\varphi(\varphi(p)) = \varphi(p-1) = \varphi(2^{\alpha})\varphi(k)$ Do đó, theo Mệnh đề 2.3.1, nếu số căn nguyên thủy theo môđun $p$ là $2^{10}$, sẽ có mười trường hợp xảy ra.

Trường hợp 1: ϕ(2 α ) = 1 và ϕ(k) = 2 10 = 4.256, từ đó suy ra α = 1 và k = 5.257 = 1285 Do đó p = 2571, mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố.

Trong trường hợp 2, ta có ϕ(2 α ) = 2 và ϕ(k) = 2^9 = 2.256, từ đó suy ra α = 2 và k = 3.257 = 771, dẫn đến p = 3085, điều này mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố Trong trường hợp 3, ϕ(2 α ) = 2^2 và ϕ(k) = 2^8 = 256, suy ra α = 3 và k = 257, do đó p = 2057, cũng mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố.

Trường hợp 4: ϕ(2 α ) = 2 3 và ϕ(k) = 2 7 = 2.4.16, từ đó suy ra α = 4 và k = 3.5.17 = 255 Do đó p = 4081, mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố.

Trường hợp 5: ϕ(2 α ) = 2 4 vàϕ(k) = 2 6 = 4.16, từ đó suy raα= 5và k = 5.17 = 51.

Do đó p= 2721, mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố.

Trường hợp 6: ϕ(2 α ) = 2 5 vàϕ(k) = 2 5 = 2.16, từ đó suy raα= 6và k = 3.17 = 51.

Trường hợp 7: ϕ(2 α ) = 2 6 và ϕ(k) = 2 4 = 16, từ đó suy ra α = 7 và k= 17 Do đó p= 2177, mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố.

Trường hợp 8: ϕ(2 α ) = 2 7 và ϕ(k) = 2 3 = 2.4, từ đó suy ra α = 8 và k = 3.5 = 15.

Trường hợp 9: ϕ(2 α ) = 2 8 và ϕ(k) = 2 2 = 4, từ đó suy ra α = 9 và k = 5 Do đó p= 2561, mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố.

Trường hợp 10 cho thấy rằng nếu ϕ(2α) = 29 và ϕ(k) = 2, thì ta suy ra α = 10 và k = 3, dẫn đến p = 3073, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng p là số nguyên tố Do đó, điều cần chứng minh đã được xác nhận Kết quả này cũng áp dụng cho các số nguyên tố Fermat.

Mệnh đề 2.3.7 Cho số chẵn k = 2 2 n −1 với 1 ≤ n ≤ 4 Khi đó số nguyên tố Fermat p=F n = 2 2 n + 1 có số căn nguyên thủy là k.

Chứng minh Với 1≤n ≤4 ta có ϕ(ϕ(F n )) =ϕ(ϕ(2 2 n + 1)) =ϕ(2 2 n ) = 2 2 n −1 =k.

Do đó, theo Hệ quả 2.2.6, số nguyên tố p=F n = 2 2 n + 1 có số căn nguyên thủy là k.

Bây giờ ta xét trường hợp số căn nguyên thủy bằng t = 2q r với r nguyên dương và q là một số nguyên tố lẻ.

Mệnh đề 2.3.8 Với p là một số nguyên tố, số căn nguyên thủy theo môđun p bằng 6 khi và chỉ khi p= 19.

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lẻ, thì p có thể được biểu diễn dưới dạng $ p = 2^{\alpha} k + 1 $ với $ \alpha $ và $ k $ là số nguyên dương, trong đó $ k $ lẻ Theo Hệ quả 2.2.6, số căn nguyên thủy theo môđun p bằng $ \varphi(\varphi(p)) = \varphi(p-1) = \varphi(2^{\alpha})\varphi(k) $ Theo Mệnh đề 2.3.1, nếu số căn nguyên thủy theo môđun p là 6, thì $ \varphi(2^{\alpha}) = 1 $ và $ \varphi(k) = 6 = 2 \cdot 3 $, từ đó suy ra $ \alpha = 1 $ và $ k $ có duy nhất một ước nguyên tố lẻ, dẫn đến $ k = 7 $ hoặc $ k = 9 $ Do đó, p có thể là 15 hoặc 19, nhưng p = 15 mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố Ngược lại, với p = 19, số căn nguyên thủy theo môđun p là $ \varphi(\varphi(19)) = \varphi(18) = \varphi(2)\varphi(3^{2}) = 6 $, điều này chứng minh được yêu cầu.

Mệnh đề 2.3.9 Không tồn tại số nguyên tố p nào có số căn nguyên thủy theo môđun p bằng 18.

Giả sử tồn tại số nguyên tố $ p $ thỏa mãn điều kiện của đề bài, ta có thể giả thiết $ p $ lẻ, tức là $ p = 2^{\alpha} k + 1 $ với $ \alpha $ và $ k $ là số nguyên dương, trong đó $ k $ lẻ Theo Hệ quả 2.2.6, số căn nguyên thủy theo môđun $ p $ bằng $ \varphi(\varphi(p)) = \varphi(p-1) = \varphi(2^{\alpha})\varphi(k) $ Nếu số căn nguyên thủy theo môđun $ p $ là 18, thì $ \varphi(2^{\alpha}) = 1 $ và $ \varphi(k) = 18 = 2 \cdot 3^2 $, suy ra $ \alpha = 1 $ và $ k $ có duy nhất một ước nguyên tố do $ k $ lẻ, từ đó suy ra $ k = 19 $ hoặc $ k = 27 $ Do đó, $ p = 39 $ hoặc $ p = 55 $, mâu thuẫn với giả thiết $ p $ là số nguyên tố Vậy ta có điều phải chứng minh.

Mệnh đề 2.3.10 nêu rõ rằng, với q là một số nguyên tố có dạng q = 3m + 1 (với m là số nguyên dương), không tồn tại số nguyên tố nào có số căn nguyên thủy là 2q^α, trong đó α là một số nguyên dương.

Giả sử tồn tại số nguyên tố $ p $ thỏa mãn điều kiện của đề bài, ta có thể giả thiết $ p $ lẻ, tức là $ p = 2 \beta k + 1 $ với $ \beta $ và $ k $ là các số nguyên dương, trong đó $ k $ lẻ Theo Hệ quả 2.2.6, số căn nguyên thủy theo môđun $ p $ bằng $ \varphi(\varphi(p)) = \varphi(p-1) = \varphi(2^\beta)\varphi(k) $ Do đó, theo Mệnh đề 2.3.1, nếu số căn nguyên thủy theo môđun $ p $ là $ 2q^\alpha $ thì $ \varphi(2^\beta) = 1 $ và $ \varphi(k) = 2q^\alpha $, từ đó suy ra $ \beta = 1 $ và $ k $ có duy nhất một ước nguyên tố lẻ.

Giả sử $ k $ không phải là số nguyên tố, ta có $ k = n^\gamma $ với $ n $ là số nguyên tố lẻ và $ \gamma $ là số nguyên dương, $ \gamma \geq 2 $ Khi đó, $ \varphi(k) = (n-1)n^{\gamma-1} $, dẫn đến $ q = n = 3 $, gây mâu thuẫn vì $ q = 3m + 1 $ Do đó, $ k $ phải là số nguyên tố, suy ra $ k = 2q^\alpha + 1 $ Hơn nữa, vì $ q \equiv 1 \mod 3 $ nên $ q^\alpha \equiv 1 \mod 3 $, do đó $ 2q^\alpha \equiv 2 \mod 3 $ Kết luận, $ k \equiv 0 \mod 3 $ gây mâu thuẫn vì $ k $ là số nguyên tố Vậy ta đã chứng minh điều cần chứng minh.

Mối liên hệ giữa thặng dư bậc hai với căn nguyên thủy

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kết quả liên quan đến mối quan hệ giữa thặng dư bậc hai và căn nguyên thủy theo môđun với một số nguyên tố Các kết quả này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [4].

Mệnh đề 2.4.1 Chop là một số nguyên tố lẻ Các căn nguyên thủy theo môđun p là các bất thặng dư bậc hai theo môđun p.

Chứng minh Lấy g là một căn nguyên thủy theo môđun p Khi đó g p−1 2 6≡1 (mod p).

Mặt khác, theo Định lý 1.1.20 ta có g p

Do đó g là bất thặng dư bậc hai theo môđun p.

Từ Mệnh đề 2.4.1, ta thấy rằng số các căn nguyên thủy theo môđun p không vượt quá p − 1

2 Sau đây là một số trường hợp đặc biệt.

Mệnh đề 2.4.2 Cho p là một số nguyên tố lẻ Số căn nguyên thủy theo môđun p bằng p − 1

2 khi và chỉ khi p= 2 α + 1 với α là một số nguyên dương.

Chứng minh Vì p lẻ nên p = 2 α k+ 1 với α và k là các số nguyên dương, trong đó k lẻ Nếu k = 1 thì p = 2 α + 1 Theo Hệ quả 2.2.6, số căn nguyên thủy theo môđun p bằng ϕ(ϕ(p)) =ϕ(p−1) =ϕ(2 α ) = 2 α−1 = p−1

2 Nếu k ≥3 thì số căn nguyên thủy theo môđun p bằng ϕ(ϕ(p)) =ϕ(p−1) =ϕ(2 α )ϕ(k)≤2 α−1 (k−1)

Tiêu đề	Một Số Vấn Đề Về Căn Nguyên Thủy Và Ứng Dụng
Tác giả	Nguyễn Thiên Thủy
Người hướng dẫn	TS. Trần Đình Lương
Trường học	Trường Đại Học Quy Nhơn
Chuyên ngành	Phương pháp Toán Sơ Cấp
Thể loại	Luận Văn Thạc Sỹ
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Bình Định

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	382,68 KB