Học sinh giỏi toán 11 hà nam năm 2019

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM

MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

Câu 1 (4,0 điểm)

1 [1D1-3.5-4] Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1000

0

x



2 [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số 2017 2019

sin cos 2sin cos

m x x x x y



  xác định với mọi

;

2 2

x���� ��

�

Câu 2 (4,0 điểm)

1 [1D2-5.4-2] Một người A đứng tại gốc O của trục số ' x Ox Do say rượu nên người A

bước ngẫu nhiên sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dài mỗi bước là một đơn vị

Tính xác suất để sau n bước n�2 thì người A quay trở lại gốc tọa độ O

2 [1D2-5.2-3] Cho hình vuông cỡ 9.9 tâm O được tạo từ 9.9 hình vuông đơn vị Hai hình vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có cùng một cạnh chung Một con bọ ban đầu ở O Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vuông đơn vị nó đứng sang tâm hình vuông đơn vị kề bên Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O

3 [1D2-5.2-3] Cho hình lập phương tâm O được ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị Hai

hình lập phương đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có chung một mặt Con bọ ban đầu ở tâm

O Mỗi bước nhảy con bọ sẽ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị nó đứng sang tâm khối lập phương đơn vị kề bên Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho dãy số  u n

được xác định như sau

1

* 1

2019

u

u  u n n



�

�

� � Tìm số hạng tổng quát

của dãy số  u n

Tính lim 3

n n n

u



Câu 4 (2,0 điểm)

[1D4-2.3-3] Tính giới hạn

3 2 0

2 1 3 1 lim

x

L

x

�

  



Câu 5 (8,0 điểm)

1. [1H3-5.6-4] Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Lấy hai điểm M N sao cho,

',

AM k AC

uuuur uuuur

'

CN tCDuuur uuuurvới t k �0 Tính độ dài MN theo a khi MN song song với 'B D

2 [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M là điểm di

động trên cạnh BC ( M khác B và C ) Mặt phẳng   đi qua M và song song với hai đường thẳng SB AC,

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  Xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất

3.[1H2-4.6-4] Cho hình lập phương ABCD A B C D tâm O cạnh có độ dài bằng 1 Gọi ' ' ' '

,

M P là hai điểm sao cho

uuuur uuur uuur uuuur

Mặt phẳng   thay đổi đi qua M P đồng, thời cắt hai cạnhBB DD lần lượt tại N và', ' Q Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu

vi tứ giác MNPQ

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HSG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM

KHỐI 11

Câu 1 (4,0 điểm)

1 [1D1-3.5-4] Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1000

x



2 [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số 2017 2019

sin cos 2sin cos

m x x x x y



  xác định với mọi

;

2 2

x���� ���

Lời giải

1 [1D1-3.5-4] Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1000

0 2cos 2

x

� � � � �  �



Lời giải

Tác giả: Hoàng Vũ ; Fb: Hoàng Vũ Giáo viên phản biện: Lê Đức Lộc ; Fb: Lê Đức Lộc

ĐK:

2

x�۹� x  k 

0 2cos 2

x

� � � � �  �



x  x  x 

2

1 cos 2

1 2

x



� ��  ���

1 sin 2 x  cos 4xsin 2x  6 0

�

2

1 2sin 2 xsin 2xcos 4xsin 2x 6 0

�

3sin 2x3sin 2x 6 0

�

sin 2x1

� (nhận) hay sin 2x  (loại)2

sin 2x1 x 4 k k,

 

 

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm

5

2 , 4

x  k  k��

Tổng số nghiệm trên 0;1000 là tổng 500 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với 1

5 4

u  

, công sai d2

2 499.2 250125

S ��   �� 

Câu 1.2 [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số 2017 2019

sin cos 2sin cos

m x x x x y



  xác định với mọi

;

2 2

x���� ���

.

Lời giải

Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc Phản biện: Tăng Duy Hùng

Với mọi

;

2 2

x���� ���

thì 0 cos� �x 1 cos2019x cos2x.

Khi đó: sin2017xcos2019x 2 sin� 2017xcos2x 2 sin 2017x 1 sin2x 2

với mọi

;

2 2

x���� ���

sin cos 2sin cos

m x x x x y



  xác định với mọi x 2 2;

 

��� ��

sin cos 2sin cos

0

۳

 

��� �� sin cos 2sin cos

 

��� ��

Đặt

sin cos 2 sin

4

t  x x ��x ��

� �;

3

x��� ���x ��� ��� �t �� ��

Suy ra m�f t    t2 t 1

với mọi t ���1; 2��

Vậy m� 2 1 .

2 [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số 2017 2019

sin cos 2sin cos

m x x x x y



  xác định với mọi

;

2 2

x���� ��

�

Lời giải

Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc Phản biện: Tăng Duy Hùng

Với mọi

;

2 2

x���� ��

� thì 0 cos� �x 1 cos2019x cos2x.

Khi đó: sin2017xcos2019x 2 sin� 2017xcos2x 2 sin 2017x 1 sin2x 2

sin x 1 sin x 2 1 2 1 0

với mọi

;

2 2

x���� ��

� Hàm số 2017 2019

sin cos 2sin cos

m x x x x y



  xác định với mọi x 2 2;

 

� �

��� ��

sin cos 2sin cos

0

۳

  với mọi x 2 2;

 

� �

��� �

� sin cos 2sin cos

 

� �

��� �

� Đặt

sin cos 2 sin

4

t x x ��x  ��

� �;

3

x��� ���x ��� ��� �t �� ��

Suy ra m�f t    t2 t 1

với mọi t ���1; 2��

Vậy m� 2 1 .

Câu 2 (4,0 điểm)

1 [1D2-5.4-2] Một người A đứng tại gốc O của trục số ' x Ox Do say rượu nên người A

bước ngẫu nhiên sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dài mỗi bước là một đơn vị

Tính xác suất để sau n bước n�2 thì người A quay trở lại gốc tọa độ O

2 [1D2-5.2-3] Cho hình vuông cỡ 9.9 tâm O được tạo từ 9.9 hình vuông đơn vị Hai hình vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có cùng một cạnh chung Một con bọ ban đầu ở O Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vuông đơn vị nó đứng sang tâm hình vuông đơn vị kề bên Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O

3 [1D2-5.2-3] Cho hình lập phương tâm O được ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị Hai

hình lập phương đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có chung một mặt Con bọ ban đầu ở tâm

O Mỗi bước nhảy con bọ sẽ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị nó đứng sang tâm khối lập phương đơn vị kề bên Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O

Lời giải

1 Một người A đứng tại gốc O của trục số ' x Ox Do say rượu nên người A bước ngẫu nhiên

sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dài mỗi bước là một đơn vị Tính xác suất để

sau n bước n�2

thì người A quay trở lại gốc tọa độ O

Lời giải

Tác giả: Tăng Duy Hùng; Fb: Tăng Duy Hùng

Phản biện: Bùi Dũng; Fb: Bùi Dũng

Trường hợp 1: n2k 1 k N� *

khi đó xác suất người đó quay trở lại O là : P 0 Trường hợp 2: n2k k N � *

Người đó quay trở về O nếu có k bước sang phải và k bước

sang trái

Xác suất bước sang phải là: 0,5

Xác suất bước sang trái là: 0,5

Do đó xác suất để quay về O là: k 0,5 n

n

P C

2 Cho hình vuông cỡ 9.9 tâm O được tạo từ 9.9 hình vuông đơn vị Hai hình vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có cùng một cạnh chung Một con bọ ban đầu ở O Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vuông đơn vị nó đứng sang tâm hình vuông đơn

vị kề bên Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O

Lời giải

Tác giả: Bùi Dũng; Fb: Bùi Dũng Phản biện: Lê Mai Hương; Fb: Lê Mai Hương

Khi con bọ nhảy 4 bước thì không gian mẫu là: 4.4.4.4 256

Ở bước nhảy thứ 2 ta chia các trường hợp sau:

TH1: Bước 2 con bọ nhảy qua B1B2 có 2 cách nhảy

Bước 3 có hai cách nhảy về A1A2 ( nếu từ B1) hoặc nhảy về A1A4 ( nếu từ B2)

Bước 4: con bọ có 1 cách nhảy về O

Có: 4.2.2.1 16 cách

TH2: Bước 2 con bọ nhảy qua B3 có 1 cách nhảy

Bước 3 có 1 cách nhảy về A1

Bước 4: con bọ có 1 cách nhảy về O

Có: 4.1.1.1 4 cách

TH2: Bước 2 con bọ nhảy về O có 1 cách nhảy

Bước 3 có 4 cách nhảy về các ô A1A2A3A4

Bước 4: con bọ có 1 cách nhảy về O

Có: 4.1.4.1 16 cách

Vậy xác suất để con bọ nhảy 4 bước quay trở về O là:

16 4 16 9

256 64

  

3 Cho hình lập phương tâm O được ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị Hai hình lập phương đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có chung một mặt Con bọ ban đầu ở tâm O Mỗi

bước nhảy con bọ sẽ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị nó đứng sang tâm khối lập phương

đơn vị kề bên Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O

Lời giải

Tác giả: Lê Mai Hương; Fb:Le Mai Huong

Mỗi bước con bọ có thể nhảy ngẫu nhiên qua tâm của 6 hình lập phương đơn vị khác

Do đó không gian mẫu là n( )W =6 6.6.6=64

Gọi A là biến cố “con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O ”.

Xét hệ trục tọa độ không gian gốc O với các trục song song các cạnh hình lập phương

Khi đó có hai trường hợp sau:

TH1: Con bọ nhảy trên một đường thẳng (có 3 đường tương ứng 3 trục tọa độ) có 3.C24=18. TH2: Con bọ nhảy không nhảy trên một đường thẳng (trong trường hợp này nó chỉ có thể nhảy trên 2 trục tọa độ) có 3.4! 72= .

Vậy xác suất của biến cố A là:

n A

P A

n

+

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho dãy số  u n

được xác định như sau

1

* 1

2019

u

u  u n n



�

� � Tìm số hạng tổng quát

của dãy số  u n

Tính lim 3

n n n

u



Lời giải

Tác giả: Nguyễn xuân Giao; FB: giaonguyen Phản biện: Vũ Ngọc Tân; FB: Vũ Ngọc Tân

u   u  n �u    n u n n��

Đặt v n   với u n n n��* Khi đó ta có dãy  v n

thỏa mãn

1

* 1

2018 2

v

v  v n



�

là một cấp số nhân có công bội 2 1 n 1 2018.2n 1 2018.2n 1

Vậy u n 2018.2n1 n

Ta có

1

n n

n

� �

(Vì

2

3

n

n� �  � �� �

� � ; nlim 3n 0

n



)

Câu 4 (2,0 điểm)

[1D4-2.3-3] Tính giới hạn

3 2 0

2 1 3 1 lim

x

L

x

�

  



Lời giải

Tác giả:Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân Phản biện: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu.

Ta có :

3 2 0

2 1 3 1 lim

x

L

x

�

  

0

lim

x

�

 

 

2

lim

x

�

  

0 2 2    2  2 3 3 2   2

3

3 lim

x

�

  

0 3 2 3    2

lim

x

x

�

  

1

   

Vậy

1 2

L

.

Câu 5 (8,0 điểm)

1. [1H3-5.6-4] Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Lấy hai điểm M N sao cho,

',

AM k AC

uuuur uuuur

'

CN tCDuuur uuuurvới t k �0 Tính độ dài MN theo a khi MN song song với 'B D

2 [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M là điểm di

động trên cạnh BC ( M khác B và C ) Mặt phẳng   đi qua M và song song với hai đường thẳng SB AC,

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  Xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất

3.[1H2-4.6-4] Cho hình lập phương ABCD A B C D tâm O cạnh có độ dài bằng 1 Gọi ' ' ' '

,

M P là hai điểm sao cho

uuuur uuur uuur uuuur

Mặt phẳng   thay đổi đi qua M P đồng,

thời cắt hai cạnhBB DD lần lượt tại N và', ' Q Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu

vi tứ giác MNPQ

Lời giải

1.Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Lấy hai điểm M N sao cho , uuuurAM k ACuuuur',

'

CN tCDuuur uuuurvới t k �0 Tính độ dài MN theo a khi MN song song với 'B D

Lời giải

Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu Phản biện: Tran Quoc An

y

z

x

N M

D C

A

B

D'

C' B'

A'

Đặt BA x BCuuur r uuur ur uuur r ,  y BB, 'z.

Vì ABCD A B C D ' ' ' 'là hình lập phương cạnh a nên x yr ur0, ur ry z0, z xr r0.

BM BA AM BA k AC BA k BC BA BA k BC BB  BA

uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

 1 k x k y k zr ur r.

BN BC CN BC tCD BC t CD CC    t x y t z

uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r ur r

MN BN BM    t x y t z �k x k y k z  �  t k x k y t k z

�uuuur uuur uuuur r ur r � r ur r� r ur r

B D BD BB  BA BC BB    x y z

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r ur r

Vì MN/ / 'B D nên

1 2 1

3

4 1 4

t

t k m

MN mB D k m k

t k m

m

�

�

  

�

� 

�

�

uuuur uuuur

MN  x y z x y z 

�uuuur r ur r r ur r

2

16

� uuuur r ur r

2 2 2

a

 r ur  r r ur ur r r r    

Vậy

3 4

a

MN 

2 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M là điểm di động trên cạnh

BC ( M khác B và C ) Mặt phẳng   đi qua M và song song với hai đường thẳng SB AC, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  Xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất

Lời giải

Tác giả:Trần Quốc An; Fb:Tran Quoc An

Kẻ MN AC N// , �AB NP SB P SA PK MN AC K SC, // , � , // // , �

Gọi I MN�BD Kẻ IQ SB Q SD// , �

Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  là ngũ giác MNPQK

Ta có:    

//

//

NP SB

MK NP SBC  MK

�

�

Ta có tứ giác MNPK là hình bình hành.

Gọi  là góc giữa SB và AC Đặt 0 1 1 

MK x SB BM

x x BM xBC

 

�

Suy ra : 1 sin 1  .sin

2

MNPK

S  BM MK  x x SB AC 

Gọi H IQ�PK.

Gọi R là trung điểm của SD , ta có :

1 2

QH SH BI BM

x QH xOR x SB

OR  SO  BO  BC  �  

và

PK MN

Vì

�

SB AC, QH PK�, 

, ta có :

S S S  PH QH  QH HK   QH PK 

2

2 2x SB x AC  4x SB AC 

Do đó :   1 2 3 2

x

S S S ��x  x x ��SB AC  ��x ��SB AC 

3.Cho hình lập phương ABCD A B C D tâm O cạnh có độ dài bằng 1 Gọi , ' ' ' ' M P là hai

điểm sao cho

uuuur uuur uuur uuuur

Mặt phẳng   thay đổi đi qua M P đồng thời cắt hai , cạnhBB DD lần lượt tại N và', ' Q Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác

MNPQ

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn

Gọi I MP OO � '� là trung điểm của I MP

Do đó trong hình thang AMPC ta có AM CP  , tương tự 1 DQ BN 2.OI 1.

Đặt BN x DQ,  y thì x y, � 0;1 và x y 1.

Ta có

( ) ( ' ')

( ' ') / /( '

' ')

C



�



�

� Chứng minh tương tự MQ/ /NP, suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành

Suy ra của chu vi tứ giác MNPQ2MN2MQ.

Ta tính được

MN  �� x��MQ �� y��

chu vi tứ giác

 

MNPQ � � x� � y��

*) Áp dụng BĐT 2 2 2 2   2 2

a b  c d � a c  b d

Dấu " " xảy ra khi

1 2

x y

Suy ra giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ 17.

*) Thế y 1 x vào (*) ta có

chu vi tứ giác

 

MNPQ � � x� � x�� f x

f x  ��x�� ��x��

 � ���  �� � ���  �� 

 

x x

 

x   x� �x f x

Suy ra

5 17 ( )

4

maxf x  

khi x hoặc 0 x 1 Suy ra giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác

2

MNPQ 

Ta có : 3 2 1 4 3  1 3 4 3  1 3 4 3 2 1

x  x  x  x  x � ���   ���

Do đó :

1 sin 3

S � SB AC  �S

lớn nhất bằng

1 sin

3 SB AC 

BM

x x x

BC