Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Trang 1ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HSG KHỐI 11 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 – VĨNH
PHÚC MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT
Câu 1 (1,0 điểm)
a) [1D1-3.3-3] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
b) [1D1-3.5-2] dGiải phương trình: cos 2x1 2cos x sinx cosx 0
Câu 2 (1,0 điểm)
[1D1-3.5-2] Cho tam giác ABC có BC a AB c AC b , , Biết góc BAC và 90
2
3
theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính số đo góc B C,
Câu 3 (1,0 điểm)
[1D2-3.2-3] Cho n là một số nguyên dương Gọi a3n 3 là hệ số của x3n 3
trong khai triển thành
đa thức của x21nx2n
Tìm n sao cho a3n3 26n?
Câu 4 (1,0 điểm)
[1D2-2.1-4] Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối?
Câu 5 (1,0 điểm)
[1D4-1.7-4] Cho dãy số u n thỏa mãn:
1
1 1
2019
1 2019
n n
u
Tìm công thức số hạng tổng quát và tính limu n
Câu 6 (2,0 điểm)
Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang có
mãn 3MB MS 0, 4IS3ID0.
Mặt phẳng (AIM) cắt SC tại N
a) Chứng minh rằng đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (AIM).
b) Chứng minh ANI 90 ;0 AMI 90 0
c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMI) và hình chóp S ABCD
Trang 2Câu 7 (1,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác BCD, G là trung điểm của AG Một mặt phẳng ( ) đi qua G cắt các cạnh AB AC AD, , lần lượt tại B C D, , Tính
AB AC AD
Câu 8 (1,0 điểm)
[1D4-3.4-4] Cho n số a a1, , ,2 a n 0;1 Chứng minh rằng:
1 2 3 1 2 3
1a a a a n 4 a a a a n
Trang 3GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HSG THPT YÊN LẠC 2 – VĨNH PHÚC
KHỐI 11
Câu 1 (1,0 điểm)
a) [1D1-3.3-3] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
b) [1D1-3.5-2] Giải phương trình: cos 2x1 2cos x sinx cosx 0
Lời giải
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen
Phản biện: Fb:Hieu Le
Với mỗi x ta có:
2 cosx sinx 4 2 cosx1 1 sin x (vì 1 0 sinx 1;1 , cos x 1;1
) nên
2 cos sin 4
y 2 sin x 1 2 cosy x 3 4y 0
(*)
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi y221 2 y2 3 4 y2
,
tương đương
11
y y y
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho lần lượt là
2
11
b) Giải phương trình: cos 2x1 2cos x sinx cosx 0
Lời giải
Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le
Trang 4Phản biện: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh
Ta có: cos 2x1 2cos x sinx cosx 0
2 2
cos x sin x 1 2cosx sinx cosx 0
cosx sinx cosx sinx 1 2cosx cosx sinx 0
cosx sinx cosx sinx 1 2 cosx 0
cosx sinx sinx cosx 1 0
cos sin 0 sin cos 1 0
2
2
3
2
Vậy phương trình có 3 nghiệm :x 4 k
;x 2 k2
;x k2k
Câu 2 (1,0 điểm)
[1D1-3.5-2] Cho tam giác ABC có BC a AB c AC b , , Biết góc BAC và 90
2
3
theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính số đo góc B C,
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh Phản biện: Nguyễn Đức Hoạch ; Fb: Hoạch Nguyễn
c
b
a B
Do
2
3
theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có
2
2
3b ac (*)
Trang 5Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có sin sin sin
B C (vì tam giác ABC vuông tại A)
1 cos
2 cos 2(lo¹i)
B B
1 cos
2
B
vì B là góc của tam giác ABC nên B 60 C30 Vậy B 60 , C30
Câu 3 (1,0 điểm)
[1D2-3.2-3] Cho n là một số nguyên dương Gọi a3n 3 là hệ số của x3n 3
trong khai triển thành
đa thức của x21nx2n
Tìm n sao cho a3n3 26n?
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đức Hoạch, Fb: Hoạch Nguyễn Phản biện: Nguyễn Văn Mộng, FB: Nguyễn Văn Mộng
m n k, , ; 0m k n,
Xét số hạng chứa x3n3 thì ta suy ra 2n 2k n m 3n 3 2k m 3
Do ,k m nên suy ra k m , 0;3 , 1;1 .
⇒ Hệ số của số hạng chứa x3n 3
là a3n3 C C n0 .2n3 3 C C1n .2n1 Theo giả thiết a3n3 26n nên
3
2n 3n 35 0 n 5
(Do n )
Vậy n thỏa mãn yêu cầu bài toán.5
Câu 4 (1,0 điểm)
Trang 6[1D2-2.1-4] Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối?
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Mộng; Fb: Nguyễn Văn Mộng GVPB: Trần Thanh Sơn; Fb: Trần Thanh Sơn
Do 0 1 2 3 4 5 6 7 28 , nên để tổng 4 chữ số đầu và tổng 4 chữ số cuối bằng nhau là
tổng đó bằng 14
Ta lập 4 bộ số có tổng là 14 và có chữ số 0 là:
0;1;6;7 ; 0;2;5;7 ; 0;3;4;7 ; 0;3;5;6 Với mỗi bộ số có số 0 trên ứng với một bộ còn lại
không có số 0 và có tổng bằng 14
TH1: Bộ có số 0 đứng trước: có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có:
+) Xếp 4 số đầu có 3.3! cách
+) Xếp 4 số cuối có 4! cách
Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4! 1728 số
TH2: Bộ có số 0 đứng sau: có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có:
+) Xếp bộ không có chữ số 0 đứng trước có 4! cách
+) Xếp bộ có chữ số 0 đứng sau có 4! cách
Áp dụng qui tắc nhân có 4.4!.4! 2304 số
Vậy có 1728 2304 4032 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho dãy số u n thỏa mãn:
1
1 1
2019
1 2019
n n
u
Tìm công thức số hạng tổng quát và tính limu n
Lời giải
Tác giả: Trần Thanh Sơn ; Fb: Trần Thanh Sơn Phản biện: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải
Ta có
do đó
Trang 72 1
2 1 1
3 2
3 2 2
1
1 2019 1 2019
1 2019
Suy ra:
1
1
1 1
n
n
Vậy
1
1 1 2019 2019
2018
n n
n
u
Ta có
1
1 1
2019
2018
n n
n
u
(AM-GM cho n 1 số 1 và số 2020)
Mặt khác
2019
n
Vậy limu n 1
Câu 6 (2,0 điểm)
Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang có
mãn 3MB MS 0, 4IS3ID0.
Mặt phẳng (AIM) cắt SC tại N
d) Chứng minh rằng đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (AIM).
e) Chứng minh ANI 90 ;0 AMI 90 0
f) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMI) và hình chóp S ABCD
Lời giải
Tác giả: Dương Hà Hải ; Fb: Dương Hà Hải.
Phản biện: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức
Trang 8
a) Đặt AB a AD b AS c , , .
Ta có
2
1
2
Ta có:
Suy ra SD AI. 0,SD AM. 0.
Do đó SDAI SD, AM.
Vậy SD(AMI).
b) Trog mặt phẳng (ABCD AC), cắt BD tại E Trog mặt phẳng (SBD SE), cắt MI tại F
Khi đó, trong mặt phẳng (SAC AF), cắt SC tại N
Ta có:
,
,
c) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMI) và hình chop S ABCD là tứ giác AMNI
Ta có S AMNI S ANI S AMN
Ta có
2
ANI
a
Ta có
2
AM AN
Trang 9 2
.sin
AMN
a
Vậy
AMNI
Câu 7 (1,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác BCD, G là trung điểm của AG Một mặt phẳng ( ) đi qua G cắt các cạnh AB AC AD, , lần lượt tại B C D, , Tính
AB AC AD
Lời giải
Tác giả: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức Phản biện: Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc.
1) Trước hết ta xét bài toán: “ Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Một đường
thẳng d bất kì cắt các cạnh AB AC và đoạn thẳng AM lần lượt tại các điểm , B C M khác 1, ,1 1
2
Chứng minh:
Qua B và C lần lượt dựng các đường thẳng nhận B C 1 1
làm vectơ chỉ phương Mỗi đường
thẳng này theo thứ tự cắt đường thẳng AM tại E và F (hình vẽ) Không mất tính tổng quát,
ta giả sử E thuộc đoạn AM thì khi đó F đối xứng với E qua M
Áp dụng định lí Thales, ta có
.
2
.(đpcm)
2) Gọi M N theo thứ tự là trung điểm của , CD vàBG còn M N, theo thứ tự là giao điểm của mặt phẳng ( ) với AM AN ,
Trang 10Áp dụng kết quả của bài toán trên vào các tam giác ACD, ABG, AMN ta được:
AC AD AM
,
Từ 1 , 2 và 3 suy ra 2 + 2 2.4 2 6
AC AD AB .
Câu 8 (1,0 điểm)
[1D4-3.4-4] Cho n số a a1, , ,2 a n 0;1
Chứng minh rằng:
1 2 3 1 2 3
1a a a a n 4 a a a a n
Lời giải
Tác giả: Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc.
Phản biện: Nguyễn Phương Thu; Fb: Nguyễn Phương Thu
Ta có:
2 2 2
1 1 2 2 3 3
Mặt khác a a1, , ,2 a n 0;1 nên
Trang 11
1 1
2 2
1 0
a a
a a
f
a a
Mà f 0 a12a22 a2n 0 f 1 f 0 0
Mặt khác hàm số f x liên tục trên 0;1.
Do đó phương trình f x 0 có nghiệm trên đoạn 0;1
1 a a a n 4 a a a n 0
1a a a n 4 a a a n