SỔ TAY TOÁN học 10

Lý thuyết căn bản cần nắm vững về khảo sát sự biến thiên của hàm số: — Bước 1.. HÀM SỐ BẬC NHẤT... C dùng phương pháp chia khoảng để giải.. ĐƯA VỀ TÍCH SỐ BẰNG PHÉP NHĨM Phương p

CHỦ ĐỀ: TẬP XÁC ĐỊNH

0

1

x

x





    



2

x  x    x 2

2 0

x     x x

2

x  x   x 2

2 1 0

x  x   2

x  x   x

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số:

x y

 

Lời giải: Ta có:

2 6 1

2 16

0, 2

2 0

x

x x



Lý thuyết căn bản cần nắm vững về khảo sát sự biến thiên của hàm số:

— Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số y f x( )

— Bước 2 Giả sử 1 2

1 2

,







 

2 1

f x f x T

x x



 + Nếu T0 : hàm số đồng biến trên miền D

+ Nếu T0 : hàm số nghịch biến trên miền D

— Bước 3 Kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D

HÀM SỐ BẬC NHẤT

phương trình bậc nhất một ẩn



Giải và biện luận phương trình ax b   0 ax b ( )i

0

a

  

0

0

b ( )i nghiệm đúng với mọi x.

Bài toán tìm tham số trong phương trình bậc nhất ax b  0 ( )ii

 Để phương trình ( )ii có nghiệm duy nhất  a 0.

 Để phương trình ( )ii có tập nghiệm là (vơ số nghiệm)

0 0

a b

 

   

 Để phương trình ( )ii vơ nghiệm 0

0

a b

 

   

 Để phương trình ( )ii có nghiệm  có nghiệm duy nhất hoặc có

tập nghiệm là

0 0 0

a a b

 



    





 Lưu ý: Có nghiệm là trường hợp ngược lại của vơ nghiệm Do

đó, tìm điều kiện để ( )ii có nghiệm, thơng thường ta tìm điều kiện để ( )ii vơ nghiệm, rời lấy kết quả ngược lại

phương trình bậc hai một ẩn



Hàm số bậc hai: 2  

0

yax bx c a Tập xác định của hàm số này là D

I – ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

0

yax bx c a  là một đường parabol có đỉnh là điểm ; ,

b I



đối xứng là đường thẳng

2

b x a

  Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a0, xuống dưới nếu a0

x y

O

4a

2

b a

x y

O

4a

2

b a

0

Cách vẽ: Để vẽ parabol 2  

0 ,

yax bx c a  ta thực hiện các bước

1) Xác định tọa độ của đỉnh ;

b I



2

b x a

  3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm  0;c ) và trục hồnh (nếu cĩ)

4) Vẽ parabol Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a (a0 bề lõm quay lên trên, a0 bề lõm

quay xuống dưới)

II – CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

0 ,

yax bx c a ta cĩ bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a0

và a0 như sau

0

Dạng toán 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai

Giải và biện luận phương trình bậc hai: 2

0

ax bx c  ( )i

Phương pháp:

Bước 1 Biến đởi phương trình về đúng dạng 2

0.

ax bx c 

Bước 2 Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

 Trường hợp 1: a 0, ta giải và biện luận ax b  0.

 Trường hợp 2: a 0. Ta lập 2

4

b ac

   Khi đó:

Nếu   0 thì ( )i có 2 nghiệm phân biệt

1,2

2

b x

a

  

Nếu   0 thì ( )i có 1 nghiệm (kép):

2

b x a

  

Nếu   0 thì ( )i vơ nghiệm

Bước 3 Kết luận

Lưu ý:

 Phương trình ( )i có nghiệm 0

0

a b

 

  

0

a

 



 



 Phương trình ( )i có nghiệm duy nhất 0

0

a b

 

  

0

a

 



 



x

y

2

b

a

4a

4a

y

x

2

b

a

Dạng toán 2: Định lý Viét & Ứng dụng



Định lý Viét

Nếu phương trình bậc hai 2

0, ( 0)

ax bx c  a có 2 nghiệm x x1, 2 thì 1 2

1 2

b

S x x

a c

P x x

a

    



  



Ngược lại, nếu hai số u và v có tởng u v S  và tích uvP thì u v, là 2 nghiệm của phương

0, ( 4 0).

x Sx P  S  P

Ứng dụng định lý Viét

 Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc hai:

1 2 ( 1 2 1 2 2 ) 2 1 2 ( 1 2 ) 2 1 2 2

x x  x  x x x  x x  x x  x x S  P

(x x )  (x x )  4x x S  4Px x   a 0 (x x ) a S  4P a

1 2 ( 1 2 )( 1 1 2 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 3 1 2 ( 3 ) 3

x x  x x x x x x  x x  x x  x x S S  P S  SP

Lưu ý: Nếu biểu thức khơng đối xứng thường ta giải hệ

1 2

1 2

(1)

(3)

b

S x x

a

c

P x x

a

    









  



bằng phương pháp cộng ở (1) và (2) được x x1, 2 theo m và thế x x1, 2 vào (3) để tìm m

 Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: x1  0 x2 P 0.

 Phương trình có 2 nghiệm dương: 1 2

0

0

S

 



 



 Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt: 1 2

0

0

P

 



 



 Phương trình có 2 nghiệm âm: 1 2

0

0

S

 



 



 Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt: 1 2

0

0

S

 



 



 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu: 1 2

1 2

x x

    

 

    



Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu so sánh 2 nghiệm x x1, 2 với số  , ta thường có 2 cách làm sau:

Một là đặt ẩn phụ t  x để đưa về so sánh 2 nghiệm t t1, 2 với số 0 như trên

Hai là biến đởi, chẳng hạn:

nhân

1 2

a x x

           

     

         



Biểu thức khơng đối xứng (2)

Dạng toán 2: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối



Để giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, ta tìm cách khử dấu trị tuyệt đối bằng cách: dùng

định nghĩa khi 0,

khi 0

A

  

 hoặc bình phương 2 vế hoặc đặt ẩn phụ

 Loại 1:

0

B

 









hoặc sử dụng định nghĩa:

0 0

A

A B

A B

A

A B

 

 





    

 





 

     

 Loại 3: a A b B C dùng phương pháp chia khoảng để giải

 Lưu ý: Giải và biện luận phương trình ax b  cx d ta làm như sau:

 Phương trình ax b cx d ax b cx d

ax b cx d

   

        

(1) (2)

 Giải và biện luận từng phương trình (1) và (2)

 Xét trường hợp nghiệm của phương trình (1) trùng với nghiệm phương trình (2)

 Kết luận

Dạng toán 3: Phương trình chứa dấu căn thức



A B

 



  



 

0 (hay 0)

A B

 A B AB2  3 3

.

A  B A B

DẠNG: A B C 0

Phương pháp giải :

 Bước 1 Đặt điều kiện

 Bước 2 Chuyển vế để hai vế đều dương, tức PT A C B.

 Bước 3 Bình phương hai vế A C  2 AC  B 2 AC   B A C.

Đây là dạng cơ bản A B B 02

A B

 



  





 Lưu ý: Biến đởi trên là biến đởi hệ quả, do đó khi giải xong cần thay thế nghiệm

lại đề bài và kiểm tra nhằm tránh thu nghiệm ngoại lai

ĐƯA VỀ TÍCH SỐ BẰNG PHÉP NHĨM

Phương pháp: Dùng các phép biến đởi, đờng nhất kết hợp với việc tách, nhóm, ghép

thích hợp để đưa phương trình đã cho về dạng tích số đơn giản hơn và biết cách giải,

chẳng hạn như: A B   0 A 0 hoặc B 0………

Một số biến đổi thường gặp:

f x ax bx c a x x x x với x x1, 2 là 2 nghiệm của f x( ) 0 

 Dùng các hằng đẳng thức cơ bản, lưu ý các biến đổi thường gặp sau:

u v   1 uv (u  1) v u(    1) 0 (u 1)(1 v) 0    u v 1.

au bv ab vu   a u b(   ) v u b(    ) 0 (u b a v )(  ) 0 

DẠNG: 3 3 3

A B C

Phương pháp giải:

 Bước 1 Lũy thừa: ( 3A 3B) 3  ( 3C) 3   A B 3 3AB.( 3A 3B) C ( ) 

A B C vào ( )  thì

( )    A B 3 ABC C  3 ABC C A B  

3

27.ABC (C A B)

 Lưu ý: Biến đổi trên là biến đổi hệ quả, do đó khi giải xong cần thay thế nghiệm lại

đề bài và kiểm tra nhằm tránh thu nghiệm ngoại lai

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1: a f x ( ) b.n f x( )  c 0 (1)

Dấu hiệu nhận dạng: Biểu thức chứa biến trong và ngoài căn thức có mối liên hệ với

nhau

Phương pháp giải: Đặt n ( ) n ( )

t f x  t f x thì (1) n 0

a t b t c t x

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 2: a. f x( ) b g x ( )  2 ab f x g x( ) ( ) h x( ) (2)

Dấu hiệu nhận dạng: Có chứa các hạng tử loại tổng và tích hoặc hiệu và tích

Phương pháp giải:

 Bước 1 Đặt t tổng hoặc t hiệu, suy ra: 2

t  hoặc 3

t 

 Bước 2 Giải phương trình với biến mới theo t, suy ra x.

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 3:  n af x( )   m b f x( ) c (3)

Dấu hiệu nhận dạng: Chỉ số căn thức lệch bậc hoặc đồng bậc cao

( ) ( )

n

m m

u v c

v b f x

v b f x

         

, .

u vx

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 4: 2 2

a A  b A B c B  (4)

Phương pháp giải : có 2 hướng xử lý

 Hướng 1 Đặt 2 ẩn phụ n , n ,

(4) a u b uv c v   0 (đẳng cấp)

 Hướng 2 Chia trực tiếp cho lượng khác 0, chẳng hạn 2

0,

n

B  để được phương trình bậc hai dạng, tức:

2

 

       

 

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 5: a f x ( ) b g x ( ) c. f x g x( ) ( ) (5)

Dấu hiệu nhận dạng: Phương trình có 1 căn thức và biểu thức trong căn thức phân

tích được thành tích số

Phương pháp giải: có 2 hướng xử lý

 Hướng 1 Đặt 2 ẩn phụ u f x( ), v g x( ), đưa về phương trình đẳng cấp bậc

hai dạng: 2 2

a u b v c uv

 Hướng 2 Chia trực tiếp cho lượng dương, chẳng hạn g x( ) 0,  để được phương

trình bậc hai dạng: ( ) ( ) 0.

f x f x

g x g x

    

 Một số lưu ý:

– Đề bài thường cho giải phương trình với các dạng thường gặp sau đây:

2

ax bx c  (dx e  ) mx n (1)

ax bx c  d mx nxp. (2)

ax bx c  d mx nx px q (3)

ax bx c  d mx nx px qx r (4)

  ax bx c    mx nx   p dx ex f. (5) Trong đó dạng (5) ta cần chuyển vế sao cho 2 vế đều dương và lũy thừa sẽ đưa

về một trong các dạng (2), (3), (4)

– Thơng thường, các biểu thức trong căn thức chưa phân tích thành tích số sẵn

mà ta phải phân tích với các dạng phân tích hay được sử dụng sau:

2

( )f x ax bx c   a x x( ) (  x x ) với x x1, 2 là 2 nghiệm của f x( ) 0.

Chia Hoocner đối với đa thức bậc cao khi nhẩm được nghiệm đẹp

a b   (a b a)( ab b ), a b   (a b a b)(  ).

x x   1 (x  1) x  (x   1 x x)(   1 x).

x   1 (x  1)  2x  (x x 2 1)(  x x 2 1) 

4x   1 (2x  1)  4x  (2x  2x 1)(2x  2x 1)

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 6: 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

a f x b g x c d f x e g x (6)

Phương pháp giải: Đặt 2 ẩn phụ u f x v( ), g x( ), đưa phương trình đã cho về dạng

cơ bản AB, với 2 2

c d u e v a u b v hoặc chia cho lượng dương g x( ) 0 thu được phương trình: . ( ) . ( )

 

 

( ) ( )

f x t

g x

 để bài toán đơn giản hơn

 Lưu ý: Biểu thức trong căn thức (căn thức lớn) chưa phân tích sẵn, ta cần phân

tích biểu thức này theo tởng của các biểu thức bên ngồi bằng đờng nhất thức quen thuộc

hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn



HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:

 Định nghĩa:

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ có dạng 1 1 1

( ) :I a x b y c

a x b y c

  



  



(1) (2) với

2 2

1 1

2 2

2 2

0 0

a b

a b

  



 



Cặp số ( ;x y o o) đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ

 Công thức nghiệm: Quy tắc Crame

Xét D Kết quả

0

0

D D x0 hoặc D y 0 Hệ vô nghiệm

0

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương

pháp thế, phương pháp cộng đại số

 Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm ( ; )x y của hệ ( )I là tọa độ điểm M x y( ; ) thuộc cả 2 đường thẳng:

( ) :d a x b y c  và ( ) :d2 a x b y c2  2  2.

 Hệ ( )I có nghiệm duy nhất  ( )d1 và ( )d2 cắt nhau

 Hệ ( )I vô nghiệm  ( )d1 và ( )d2 song song với nhau

 Hệ ( )I có vô số nghiệm  ( )d1 và ( )d2 trùng nhau

1 1

2 2

a b

2 2 2

2 2 2

a b c

y

x O

1 ( )d

2 ( )d

O

y

x

1 ( )d

2 ( )d

x O

y

1 ( )d

2 ( )d

M

o

x

o

y