Thiết lập công thức tương tự ta sẽ tìm được chân đường phân giác trong góc B, góc C 8 J là tâm đường tròn nội tiếp.. *Bước 1: Tìm D là chân đường phân giác trong A.[r]
Trang 1SỔ TAY TOÁN HỌC LỚP 10
Biên soạn: Thầy Nguyễn Ngọc Phong
Trung Tâm BDVH Hồng Chuyên
https://www.facebook.com/hongchuyen.edu.vn/
1 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT CHO
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a0 )
Phương trình có:
1 2 nghiệm trái dấu: x < 0 < x1 2P < 0
2 2 nghiệm dương:
0
0 < x x P > 0
S > 0
3 2 nghiệm âm:
0
x x 0 P > 0
S < 0
4 2 nghiệm cùng dấu: 0
P > 0
5 Có ít nhất 1 nghiệm dương:
+ TH1: x10 < x2 P 0
+ TH2: 2 nghiệm dương (số (2))
6 Có ít nhất 1 nghiệm âm:
+ TH1: x < 01 x2 P 0
+ TH2: 2 nghiệm âm (số (3))
7
2
0
0
x < k < x x k 0
(x k).(x k) 0
x k 0
8
2
0;S 2k
0;S 2k
k < x < x x k 0
(x k).(x k) 0
x k 0
9.
2
0; S 2k
0; S 2k
x < x k x k 0
(x k).(x k) 0
x k 0
Chú ý:
* Nếu 2 nghiệm phân biệt thì thay điều kiện 0
bằng 0
*
2
2
2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ;
A khi A 0
* A
A khi A 0
A B
* A B
A B
2
* A B
A B
A B
hoặc A 0
A 0
* A B 0
B 0
2
2
A 0
B 0
A 0; B 0
A B 2 A.B k
C 0
A B 2 A.B C
A B 2 A.B C D 2 C
ay :C 0; D
D 0
3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ P/T
* Dạng 1: A Ak
t At A
* Dạng 2: A B A.B k Đặt : t A Bt2 A B 2 A.B
A
A
* Dạng 4: 3A B k Với A B k ' Đặt:
3 3
3 2 2
a b k '
4 HẰNG ĐẲNG THỨC
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
a b a b a ab b
a b a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b ab b
a b a b ab a b ab
a b a ab b a b ab
5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Tính các định thức
1 2 2 1
2 2
1 2 2 1
2 2
1 2 2 1
2 2
*
*
*
x
y
Nghiệm của hệ phương trình
* Hệ có nghiệm duy nhất D0
nghiệm của hệ: Dx Dy
* Hệ vô nghiệm
y x
D 0
D 0 hay
D 0
D 0
* Hệ có vô số nghiệm DDx Dy 0
6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
Là hệ p/t mà khi thay đổi x và y cho nhau thì hệ p/t vẫn không thay đổi
Phương pháp giải:
* Biến đổi hệ p/t về dạng (x +y) và x.y
* Đặt: S = x + y; P = x.y Thế S, P vào hệ
* Giải hệ mới tìm S, P
* Áp dụng định lý Viét đảo Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0 (*)
* Nếu phương trình (*) có nghiệm X1, X2 thì nghiệm của hệ p/t là (X1; X2) và (X2; X1)
7 BẤT ĐẲNG THỨC
1) Tính chất
* Cộng 1 số: a b a c b c
* Nhân 1 số: a b a.c b.c (c 0)
a b a.c b.c (c 0)
* Cộng vế theo vế: a b a c b d
c d
* Nhân vế theo vế đối với 1 số dương:
a b
a 0; c 0 : a.c b.d
c d
2) Một số Bất Đẳng Thức “hiển nhiên đúng”
2 2
* a 0 ( a ); * a b 0 ( a, b )
* a b 2ab ( a, b )
3) Bất Đẳng Thức Cô-Si
* a, b0 : a b 2 ab Dấu “=” xảy ra khi a =b
3
* a, b, c0 : a b c 3 abc (dấu “=” xảy ra khi a = b = c)
* Hệ quả:
4) Bất Đẳng Thức Bunhiacopky (B.C.S)
2 2 2 2 2
*a, b, x, y : (axby) (a b )(x y )
2 2 2 2
*a, b, x, y0 : axby a b x y
* Dấu “=” xảy ra khi: a.y = b.x
* Hệ quả: (ab)22(a2b )2
5) Kiến thức mở rộng cần nhớ
* Hằng đẳng thức 3 số:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
(a b c) a b c 2ab 2bc 2ac (a b c) a b c 2ab 2bc 2ac (a b c) a b c 2ab 2bc 2ac
* Bất đẳng thức phân số:
a b c d a b c a b
* Bất đẳng thức căn bậc 2: a b ab
Trang 28 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1/ Cung liên kết
a Cung đối : ()
* cos( ) cos * sin( ) sin
* tan( ) tan * cot( ) cot
b Cung bù: ( )
* cos( ) cos * sin( ) sin
* tan( ) tan * cot( ) cot
c Cung phụ: ( )
2
d Cung hơn kém : ( )
* cos( ) cos * sin( ) sin
* tan( ) tan * cot( ) cot
2/ Công thức cộng
* sin( ) sin cos cos sin
* cos( ) cos cos sin sin
tan tan
* tan( )
1 tan tan
3/ Công thức nhân đôi
* sin 2 2sin cos
*cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
4/ Công thức hạ bậc – nâng cung
2 1 cos 2
* cos
2
a ; * sin2 1 cos 2
2
a
5/ Công thức biến đổi tích thành tổng
1
* cos cos [cos( ) cos( )]
2 1
* sin sin [cos( ) cos( )]
2 1
* sin cos [sin( ) sin( )]
2
6/ Công thức biến đổi tổng thành tích
* cos cos 2cos cos
* cos cos 2sin sin
* sin sin 2sin cos
* sin sin 2cos sin
* Đặc biệt: sin cos 2 sin( )
4
a a a
9 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông
2 2 2
*
*b a sin B a cos C c tan B c cot C
*c a sin C a cos B b tan C b cot B
(Với a = BC; b = AC; c = AB)
2/ Hệ thức lượng trong tam giác thường
Cho tam giác ABC có: a = BC; b = AC; c = AB
- m a ; m b ; m c : độ dài các đường trung tuyến hạ
từ các đỉnh tương ứng là A, B, C
- h a ; h b ; h c : độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng là A, B, C
- R, r: bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
- p nửa chu vi tam giác: ( )
2
a b c p
a Định lý cosin:
* a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
* b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
* c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
sin sin sin
c Công thức tính độ dài các đường trung tuyến
2
2
2
a b c
m
m
m
d Công thức tính diện tích tam giác
4
abc
R
10 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY
I Các tính chất của Vectơ:
Cho 2 vectơ a(a ; a ); b1 2 (b ; b )1 2
1 1 2 2
1 1
2 2
* a b (a b ; a b )
* k.a k(a ; a ) (k.a ; k.a ) (k )
a b
* a b
a b
* Độ dài Vectơ :a a12a22
* Hai 2 Vectơ a; b cùng phương:
1 2
1 2
1 2
a a
a k.b hay (b ; b ) 0
b b
* Tích vô hướng 2 Vectơ a; b : a.ba b1 1a b2 2 (a b a.b0)
II Các tính chất của điểm
Cho 2 điểm A(x ; y ); B(x ; y )A A B B
B A B A
* AB (x x ; y y )
* AB AB (x x ) (y y )
* I là trung điểm AB:
A B A B
* G là trọng tâm tam giác ABC:
G xA xB xC G yA yB yC
* A thuộc trục hoành (x’Ox): A(xA ; 0)
* A thuộc trục tung (y’Oy): A(0 ; yA)
III Phân loại các dạng bài tập thường gặp:
1) Ba điểm A, B, C thẳng hàng:
AB cùng phương AC
2) A, B, C là 3 đỉnh của tam giác:
AB không cùng phương AC
3) Chứng minh AB // CDABcùng phương
CD và AB không cùng phương AC
4) H là hình chiếu của A xuống BC:
AH BC AH.BC 0
H( )
H BC BH c.phuong BC
* Chú ý:
- H cũng là chân đường cao hạ từ A của ABC
- Nếu A’ đối xứng với A qua BC thì H là trung điểm của AA’ tọa độ điểm A’( )
5) K là trực tâm ABC :
AK BC AK.BC 0
K( )
BK AC BK.AC 0
6) I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC :
AI BI
I( )
AI CI
7) D là chân đường phân giác trongAcủa ABC
D ( )
(Thiết lập công thức tương tự ta sẽ tìm được chân đường phân giác trong góc B, góc C)
8) J là tâm đường tròn nội tiếp ABC :
*Bước 1: Tìm D là chân đường phân giác trongA
* Bước 2: Xét ABD, ta có J là chân đường phân giác trong của góc B:
J ( )
9) Tìm MOx sao cho MA + MB nhỏ nhất
Cho 2 điểm A, B nằm về 2 phía so với Ox
Ta có: MAMBAB (Bất đẳng thức tam giác)
(MA + MB) nhỏ nhất = AB
Dấu “=” xảy ra khi MOxABM( )
* Chú ý:
- Nếu A, B khác phía so với Ox thì tìm A’ đối xứng với A qua Ox (yA’ = -yA)
MOxA BM( )
- yA , yB cùng dấu thì A, B cùng phía so với Ox
- yA , yB khác dấu thì A, B khác phía so với Ox