CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁNDạng đại số của số phức6 dạng bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải Dạng 1: Cộng trừ số phức Dạng 2: Nhân chia số phức Dạng 3: Tìm

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁNDạng đại số của số phức

6 dạng bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Cộng trừ số phức

Dạng 2: Nhân chia số phức

Dạng 3: Tìm số phức liên hợp

Dạng 4: Tìm môđun của số phức

26 bài tập trắc nghiệm Số phức cơ bản chọn lọc có đáp án chi tiết

Tìm số phức thỏa mãn điều kiện

Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

6 dạng bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức trong đề thi Đại học có lời giải Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức

Dạng 2: Giải phương trình bậc 2 số phức

Trắc nghiệm giải phương trình bậc 2 số phức

Dạng lượng giác của số phức

4 dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải

Viết số phức dưới dạng lượng giác

Tập hợp điểm biểu diễn số phức

5 dạng bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Điểm biểu diễn số phức

Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn

Dạng 4: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một miền

Dạng 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip

135 câu trắc nghiệm Số phức có lời giải chi tiết (cơ bản - phần 1)

135 câu trắc nghiệm Số phức có lời giải chi tiết (cơ bản - phần 2)

135 câu trắc nghiệm Số phức có lời giải chi tiết (cơ bản - phần 3)

135 câu trắc nghiệm Số phức có lời giải chi tiết (cơ bản - phần 4)

100 câu trắc nghiệm Số phức có lời giải chi tiết (nâng cao - phần 1)

100 câu trắc nghiệm Số phức có lời giải chi tiết (nâng cao - phần 2)

100 câu trắc nghiệm Số phức có lời giải chi tiết (nâng cao - phần 3)

Ta có: z1 + z2 = z3nên (a + 8i) + ( 6 – 3i) =10 + bi

⇔ ( a + 6) + 5i = 10 + bi

Vậy a = 4; b= 5

Đáp án: C

Ví dụ 5: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?

A (√2 + i) - (1 + √2i) B ( 8 + 2i) + (- 8 + 2i)

C ( - 3 + i) – ( 3 - i) D (10 + 3i) – ( -10 – 3i)

Hiển thị đáp án

Ta xét các phương án:

* (√2 + i) - (1 + √2i)= (√2 - 1) - (1 - √2) không là số thuần ảo

* (8 + 2i) + (- 8 + 2i) = 4i là số thuần ảo

* (-3 + i) – (3- i) = - 3 + i – 3 + i= - 6 + 2i không là số thuần ảo

Ta có z = 5 - 3i ⇒ z− = 5 + 3i

Suy ra : 1 + z− + (z− )2 = 1 + (5 + 3i) + (5 + 3i)2

= (6 + 3i) + (25 + 30i - 9) = 22 + 33i

Ta có z = 4 - 3i nên số phức liên hợp với số phức z là : z− = 4 + 3i

Theo giả thiết ta có:

(1 + 3i)z-(2 + 5i) = (2 + i)z

⇔(1 + 3i-2-i)z = 2 + 5i⇔(-1 + 2i)z = 2 + 5i

mà | z| = √5 ⇔ = √5

⇔ a2 + b2 = 5 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

⇔ Vậy số phức cần tìm là z = 2 + i

Ví dụ 4: Có bao nhiêu số phức z có phần ảo gấp ba lần phần thực, đồng thời

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn của số phức z= 1 +

2i, B là điểm thuộc đường thẳng y=2 sao cho tam giác OAB cân tại O Tìm số zbiểu diễn B

A z = 1 + 2i B z = -1 + 2i.

C z = 3 + 2i, z = -3 + 2i D z = - 1 + 2i, z = 1 + 2i.

Hiển thị đáp án

Ta có, điểm A biểu diễn số phức z = 1 + 2i nên tọa độ A( 1; 2)

Do điểm B nằm trên đường thẳng y = 2 nên tọa độ B(x, 2); ( x ≠ 1 )

Để tam giác OAB cân tại O khi và chỉ khi OA = OB

Cho phương trình az + b= 0 (a ≠ 0 ) a, b là hai số phức ⇔ az = -b ⇔ z =

Sau đó, thực hiện phép chia số phức để tìm ra z

Ví dụ 2:Cho số phức z = a + bi và Mệnh đề sau đây là đúng?

Ví dụ 6: Cho số phức z = 2 + 4i Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = z - i

A Phần thực bằng -2 và phần ảo bằng -3i B Phần thực bằng -2 và phần ảobằng -3

C Phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 3i D Phần thực bằng 2 và phần ảobằng 3

Ta có: (2 - 3i).(1 + 2i) = 2 + 4i - 3i - 6i2 = 8 + i

Từ giả thiết : (1 + i)z + ( 2 - 3i)(1 + 2i) = 7 + 3i nên

(1 + i)z + (8 + i) = 7 + 3i hay (1 + i)z = -1 + 2i

w = 3z1 - 2z2 = 3(1 + 2i) - 2(2 - 3i) = 3 + 6i - 4 + 6i = -1 + 12i

Vậy phần ảo của số phức z là

=> phần thực của z là 2

Câu 5: Cho số phức z = 3 + 4i Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Điểm biểu diễn của z là M(3;4)

B Môđun của số phức z là 5

C Số phức đối của z là -3 - 4i

D Số phức liên hợp của z là 3 - 4i

Câu 7:Cho số phức z = 1 + i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Giải thích :

Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:(1 + i) - 1 - 3i = 0 Phần ảo của số

Câu 11:Tìm phần thực, phần ảo của số phức z

Câu 12:Cho số phức z thỏa Khi đó phần thực và phần ảo của z = 1 + i + i2 +

Số phức z là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội q = i Do đó :

Câu 13:Giá trị của biểu thức S = 1 + i2 + i4 + + i4k , k ∈ N* là

Câu 14:Cho số phức z = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + + (1 + i)26 Phần thực của sốphức z là

Z là số thuần ảo khi và chỉ khi m = 2k + 1

Mà

Với 25 giá trị của k cho ta tương ứng 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài

Câu 16:Cho số phức z = x + y.i thỏa mãn z3 = 2 - 2i Cặp số là(x;y)

Câu 18:Cho Tìm dạng đại sốcủa

Đáp án : A

Giải thích :

Câu 22:Cho hai số phức z1;z2 khác 0 thỏa mãn z12 - z1z2 + z22 Gọi A,B lần lượt làcác điểm biểu diễn cho số phức z1;z2 Khi đó tam giác OAB là:

A Tam giác đều B Tam giác vuông tại O

C Tam giác tù D Tam giác có một góc bằng 45o

Suy ra AB = OA = OB => ΔOAB đều

Câu 23: Cho hai số phức z1 = 1 + i; z2 = -5 + 2i Tính môđun của số phức z1 + z2

Câu 26:Với mọi số ảo z, số z2 + |z|2 là:

A Số thực âm B Số 0 C Số thực dương D Số ảo khác 0

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Do z là số ảo nên z có dạng: z = bi

Ta có: z2 + |z2| = (bi)2 + b2 = -b2 + b2 = 0

Tìm số phức thỏa mãn điều kiện

Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

A Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ 5: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = √2 và z2 là số thuần ảo ?

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.z1 và z2 là số thuần ảo B z2 là số thuần ảo

C z1 là số thuần ảo D z1 và z2 là số thực

Hướng dẫn:

Câu 2:Số phức z thỏa mãn: z - (2+3i) = 1 - 9i là

A.2+1 B.-2-i C.-4+i D.2-i

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi z = a + bi với a,b ∈ R ; i2 = -1 => = a - bi

z - (2 + 3i) = 1 - 9i

=> a + bi - (2a - 2bi + 3ai + 3b) = 1 - 9i

Hay a + bi - (2a - 2bi + 3ai + 3b) = 1 - 9i

Câu 5:Cho số phức z thỏa mãn (2z - 1)(1+i) + ( + 1)(1- i) = 2 - 2i Giá trị của |z|

<=>[(2a - 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) - bi](1- i) = 2 - 2i

>=< (2a - 2b - 1) + (2a + 2b -1) = (a - b + 1) - (a + b + 1)i = 2 -2i

Câu 6:Cho số phức z thỏa mãn z2 - 6z + 13 = 0 Giá trị của là:

A √17 hoặc 5 B -√17 hoặc √175

C √17 hoặc 4 D √17 hoặc √5

Câu 8:Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:

Câu 10:Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

Câu 11:Cho số phức z = a + bi thỏa mãn

Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

6 dạng bài tập Căn bậc hai, Phương trình bậc hai số phức trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức

1 Phương pháp giải

Cho số phức z= a + bi, ( a,b ∈ R) Tìm căn bậc hai của số phức z

Gọi ω = c + di, ( c,d ∈ R ) là căn bậc hai của z

Suy ra: z=ω 2 ⇒ a + bi = ( c + di)2

Gọi = a + bi, là căn bậc hai của số phức z

Suy ra: (a + bi)2 = - 5 + 12i

⇒ a2 + 2abi- b2 = - 5 + 12i

⇒ (a2- b2 + 5) + (2ab – 12) i =0

Từ phương trình trên ta có hệ phương trình :

Rút b từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất, ta có:

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0; (a,b,c ∈ R a≠0 ) Xét Δ = b2 - 4ac , tacó

• ∆ =0 phương trình có nghiệm thực : x = -b/2a

• ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi : x1,2 =

• ∆ < 0 phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi : x1,2 =

Phương trình đã cho có hai nghiệm phức là :

Dạng 3: Giải phương trình bậc cao trên tập số phức

1 Phương pháp giải

+ Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích, trong đó mỗi nhân tử làphương trình bậc nhất hoặc bậc hai Chú ý sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.+ Dùng phương pháp đặt ẩn phụ

az4 + bz2 + c=0(a ≠ 0) Đặt t = z2

+ Nhẩm nghiệm, phép chia đa thức cho đa thức

2 Ví dụ minh họa

z3 - 3( 1 + 2i).z2 + ( -3 + 8i)z + 5 – 2i =0 Tính tổng các nghiệm của phương trìnhtrên ?

(iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0.

⇔ -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i

Đồng nhất hoá hai vế ta được:

y = 2

Suy ra phương trình có nghiệm thuần ảo z = 2i.

* Vì phương trình nhận nghiệm 2i

⇒ vế trái của phương trình đã cho có thể phân tích dưới dạng:

Vậy phương trình trên có 4 nghiệm là :

Nhận xét: z = 0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z ≠ 0

Chia hai vế phương trình cho z2 ta được: (z2 + ) - (z- ) + Khi đó : t2 = z2 + = 0

* Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực:

Cho phương trình bậc hai az2 + bz + c= 0 có hai nghiệm phân biệt z1; z2 (thực hoặc

Trong cả hai trường hợp ta có

* Nếu số phức z0 = a + bi; là nghiệm phương trình A.z2 + Bz + C=0 (*) thì

z1 = a – bi cũng là nghiệm của phương trình (*)

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Biết phương trình z2 + az + b=0 ,(a,b ∈ R) có một nghiệm phức là z1= 1 + 2i Tìm a và b?

A B

C D

Hiển thị đáp án

Do z1 = 1 + 2i là nghiệm nên z2 = 1 -2i cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Ta có: (1)

z2 + az + b= 0 nên theo hệ thức Vi- et ta có:

(2)

Từ (1) và (2) ta có: ⇔

Chọn D

Ví dụ 2: Biết z1 = 2- i là một nghiệm phức của phương trình z2 + bz + c = 0; (b,c

∈ R) , gọi nghiệm còn lại là z2 Tìm số phức w= bz1 + cz2

A.w= 18 – i B.w= 18 + i

C.w= 2- 9i D.w= 2 + 9i

Hiển thị đáp án

Do z1 = 2 – i là một nghiệm phức của phương trình z2 + bz + c = 0; (c,b ∈ R) nên

z2 =2 + i cũng là 1 nghiệm của phương trình đã cho

Ta có: z1 = 2 – i là một nghiệm phức của phương trình z2 + bz + c = 0 nên ta có:( 2- i)2 + b.(2- i) + c=0

z12 + z22= -10 ⇔(z1 + z2)2 - 2z1z2 = -10

⇔ m2 - 2( 2m- 1) = - 10

Ví dụ 4:Cho số phức w và hai số thực a, b Biết rằng w + i và 2w – 1 là hai

nghiệm của phương trình z2 + az + b =0 Tính tổng S= a + b?

A B C D

Hiển thị đáp án

Giả sử w= x + yi, (x,y ∈ R)

Do w + i và 2w – 1 là hai nghiệm của phương trình z2 + az + b = 0 nên suy ra(w + i) và (2w – 1) là hai số phức liên hợp Nên ta có:

Ví dụ 5: Cho hai số thực b và c, (c > 0) Kí hiệu A, B là hai điểm biểu diễn hai

nghiệm phức của phương trình z2 + 2bz + c=0 trong mặt phẳng phức Tìm điềukiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ)

Do đó,2 điểm A và B biểu diễn hai nghiệm của phương trình đã cho nằm trên trụchoành

=> Ba điểm O, A, B thẳng hàng nên loại trường hợp này

+ Trường hợp 2 Nếu ∆’ < 0 thì b2 < c

Khi đó, hai nghiệm là

Tọa độ hai điểm A và B biểu diễn hai nghiệm của phương trình đã cho là

A(-b;- );B(-b; )

Nhận xét tam giác OAB luôn cân tại O

Do đó, để tam giác OAB vuông thì phải vuông tại O

Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x+ y.i của số phức w = a + bi.

Vậy số phức w có hai căn bậc hai là 2 + 3i và -2 - 3i

Ví dụ 2:Khai căn bậc hai số phức z = -3 + 4i có kết quả:

Hướng dẫn:

Giả sử w = x + yi là một căn bậc hai của số phức z = -3 + 4i

Ta có:

w2 = z <=> (x + yi)2 = -3 + 4i

Do đó z có hai căn bậc hai là:

Ví dụ 4: Cho z = 3 + 4i Tìm căn bậc hai của z.

Ví dụ 5: Căn bậc hai của số phức 4 + 6√5i là:

A.-(3 + √5i) B.(3 + √5i) C D 2

Hướng dẫn:

Giả sử w là một căn bậc hai của 4 + 6√5i Ta có:

Chọn đáp án A

Ví dụ 6:Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33 - 56i Phần thực của z là:

Ví dụ 7:Trong C , căn bậc hai của -121 là:

A -11i B 11i C -11 D.11i và -11i

A Phương pháp giải & Ví dụ

- Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0( a;b;c ∈ R;a ≠ 0).

Xét Δ = b2 - 4ac, ta có

+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x =

+ Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:

+ Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

+ Chú ý

phức (không nhất thiết phân biệt)

Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậchai ax2 + bx + c = 0( a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 (thực hoặcphức)

- Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1

+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình

có một nghiệm x= -1

– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân

tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia

đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

Với đa thức f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + + a1x + ao chia cho x - a có thương là

– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau

– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có)

– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn

mới

– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm

Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z2 - z + 1 = 0

Hướng dẫn:

Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b2 - 4ac = -3 < 0

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là

Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z2 + √5 = 0 là:

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 4:Trong C , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Trong C , phương trình (z2 + i)(z2- 2iz - 1) = 0 có nghiệm là:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A

Ví dụ 7:Trong C , phương trình có nghiệm là:

(1 ± √3)i B (5 ± √2)i C (1 ± √2)i D.(2 ± √(5)i)

Hướng dẫn:

nên phương trình có hai nghiệm phức là:

Câu 2:Trong C , phương trình z2 - z + 1 = 0 có nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Δ = b2 - 4ac = -3 < 0

Nên phương trình có hai nghiệm phức là:

Câu 3:Trong C , nghiệm của phương trình z2 = -5 + 12i là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = x + yi là một nghiệm của phương trình.

Do đó phương trình có hai nghiệm là

Câu 4: Trong C , phương trình z4-6z2 + 25 = 0 có nghiệm là:

Câu 7:Gọi z1;z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 - 4z + 5 = 0 Khi đó phầnthực của z12 + z22 là:

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z2 - 6z + 13 = 0 Tính

Vậy phương trình có 4 nghiệm phức

Câu 12: Cho phương trình z2 + mz - 6i = 0 Để phương trình có tổng bình phươnghai nghiệm bằng 5 thì m = +(a + bi) (a,b ∈ R) có dạng Giá trị a+2b là:

Theo Viet, ta có:

Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 Ta có:

Câu 13:Gọi z1;z2;z3;z4 là các nghiệm phức của phương trình Giá

Trắc nghiệm giải phương trình bậc 2 số phức

Câu 1:Trong C , phương trình |z| + z = 2 + 4i có nghiệm là:

Thay vào phương trình:

Câu 2:Hai giá trị x1 = a + bi ; x2 = a - bi là hai nghiệm của phương trình nào :

Câu 5:Trong C , phương trình z3 + 1 = 0 có nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Câu 6: Trong C , phương trình z4 - 1 = 0 có nghiệm là:

A ±1;±2i B ±2;±2i C ±3; ±4i D ±1;±i

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm

Câu 8: Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z2 + 2z + 2 = 0

nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực

Câu 9: Trong C , phương trình z4 + 4 = 0 có nghiệm là:

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Câu 10:Tập nghiệm trong C của phương trình z3 + z2 + z + 1 = 0 là:

A {-i ; i ; 1 ; -1} B {-i ; i ; 1 } C {-i ; -1} D {-i ; i ; -1}