CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.. Hàm sô chỉ có đúng một điểm cực trị... Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm sô là: y =rx.. Bài t

CHUYÊN ĐỀ CỰ TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

Chủ đề:Cực trị của hàm sô

4 dạng bài Tìm cực trị của hàm sô trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1:Tìm cực trị của hàm sô

Trắc nghiệm Tìm cực trị của hàm sô

Dạng 2:Tìm tham sô m để hàm sô đạt cực trị tại một điểm

Trắc nghiệm Tìm tham sô m để hàm sô đạt cực trị tại một điểm

Dạng 3:Biện luận theo m sô cực trị của hàm sô

Trắc nghiệm Biện luận theo m sô cực trị của hàm sô

Dạng 4:Bài toán liên quan đến cực trị của hàm sô

Trắc nghiệm về cực trị hàm sô

100 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ nhận biết - Phần 1)

100 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ nhận biết - Phần 2)

100 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ nhận biết - Phần 3)

120 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 1)

120 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 2)

120 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 3)

120 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 4)

Chủ đề: Cực trị của hàm sô

4 dạng bài Tìm cực trị của hàm sô trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm sô.

I Phương pháp giải

Quy tắc tìm cực trị của hàm sô

* Quy tắc 1:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm sô

Bước 2 Tính y' Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

* Quy tắc 2:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm sô

Bước 2 Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3 là cácnghiệm)

Bước 3 Tính f''(x) và f''(xi)

Bước 4 Dựa vào dấu của f''(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi

II Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm sô y = x3 – 3x2 + 2 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm sô đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0

B Hàm sô đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0

C Hàm sô đạt cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 0

D Hàm sô đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2

Hiển thị đáp án

Ta có: y' = 3x2 - 6x = 0

Và y'' = 6x - 6

Suy ra: y''(0) = -6 < 0; y''(2) = 6 > 0

Do đó: hàm sô đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2

Suy ra chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm sô y = x4 – 2x2 + 3 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm sô có ba điểm cực trị

B Hàm sô chỉ có đúng 2 điểm cực trị

C Hàm sô không có cực trị

D Hàm sô chỉ có đúng một điểm cực trị

• Hàm sô đạt cực đại tại điểm x = 0

• Hàm sô đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và x = -1

Vậy hàm sô đã cho có 3 điểm cực trị

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm sô sau Khi

đó giá trị của biểu thức M2 – 2n bằng:

Suy ra: Hàm sô đạt cực đại tại x = -3 và yCĐ = -3

Hàm sô đạt cực tiểu tại x = - 1 và yCT = 1

⇒ M2 – 2n = 7

Suy ra chọn đáp án B

Ví dụ 4: Cho hàm sô:

Điểm nào trong các điểm sau là điểm cực trị của đồ thị?

Giải phương trình y' = 0 ⇔ x + 3 = 0 hay x = -3

Qua điểm x = 3, đạo hàm chuyển dấu từ âm sang dương

⇔ x = -3 là điểm cực tiểu của hàm sô

Mà y(-3) = 3 nên điểm cực trị của đồ thi hàm sô là M(-3; 3)Suy ra chọn đáp án C

Dạng 2: Tìm tham sô m để hàm sô đạt cực trị tại một điểm.

I Phương pháp giải

Cho hàm sô y = f(x; m) Tìm m để hàm sô đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm sô

* Bước 2: Do hàm sô đã cho đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của m thỏa mãn

* Chú ý: Nếu hàm sô đạt cực đại tại điểm M(x0; y0) thì y''(x0) < 0

Nếu hàm sô đạt cực tiểu tại điểm M(x0; y0) thì y''(x0) > 0

II Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham sô m để hàm sô y = x3 – mx2 + (2m – 3)x

-3 đạt cực đại tại x = 1

Ví dụ 2: Hàm sô y = a.sin2x + b.cos3x - 2x (0 < x < 2π) đạt cực trị tại x = π/2; x =

π Khi đó, giá trị của biểu thức P = 3b - 3ab là:

A 3 B -1

C 1 D -3

Hiển thị đáp án

Tập xác định D = R

+ Ta có: y' = 2a.cos2x – 3b.sin3x - 2.

Hàm sô đạt cực trị tại x = π/2; x = π nên ta có hệ phương trình:

Do đó, giá trị của biểu thức P = a + 3b - 3ab = 1

Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

+ Đồ thị hàm sô có điểm cực trị là gôc tọa độ ta có:

⇒ Hàm sô có dạng: y = ax3 + bx2

+ Đồ thị hàm sô có điểm cực trị là A(-1; -1) ta có:

Vậy hàm sô là: y = -2x3 – 3x2

Suy ra chọn đáp án B

Ví dụ 4: Cho hàm sô y = x3 – 3mx2 + (m2 - 1).x + 2 với m là tham sô Tìm m đểhàm sô đạt cực tiểu tại x = 2

A m = 2 B m = 1

C m = 11 D m < 2

Hiển thị đáp án

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y' = 3x2 – 6mx + m2 - 1 và y'' = 6x – 6m

Hàm sô đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi:

Vậy để hàm sô đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 thì m = 1

* Với m = 0 thì y' = 4x3 – 4x

⇒ y'(1) = 0 và y'' = 12x2 – 4; y''(1) = 8 > 0

Do đó; hàm sô đạt cực tiểu tại x = 1

Nên đạo hàm

* Vì hàm sô có đạo hàm tại các điểm x ≠ m nên để hàm sô đạt cực tiểu tại x = 1thì

* Với m = 0 thì y''(1) = 2 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm sô

Suy ra m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

* m = -2 ⇒ y''(1) = -2 < 0 nên x = 1 là điểm cực đại của hàm sô

Suy ra m = -2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy giá trị của m thỏa mãn là m = 0

Suy ra chọn đáp án D

Dạng 3: Biện luận theo m sô cực trị của hàm sô.

I Phương pháp giải

* Cực trị của hàm sô bậc ba

Cho hàm sô y = ax3 + bx2 + cx + d

Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c; Δ'= b2 – 3ac

Xét phương trình: 3ax2 + 2bx + c = 0 (*)

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm sô đã cho không có cựctrị

Vậy hàm sô bậc ba không có cực trị khi b2 – 3ac ≤ 0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm sô đã cho có 2 điểm cực trịVậy hàm sô bậc 3 có 2 cực trị khi b2 – 3ac > 0

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm sô y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C)

Đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx Xét phương trình y' = 0

Hay 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 0

Để đồ thị hàm sô đã cho có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 cónghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm

Để đồ thị hàm sô đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2nghiệm phân biệt khác 0 hay

II Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm sô y = (m - 1)x3 – 3x2 – (m + 1)x + 3m2 – m + 2 Để hàm sô cócực đại, cực tiểu xác định m?

Áp dụng công thức điều kiện để hàm bậc ba có cực đại, cực tiểu

Hàm sô có cực đại, cực tiểu khi

Suy ra chọn đáp án B

Ví dụ 2: Điều kiện để hàm sô y = ax4 + bx2 + c có 3 điểm cực trị là:

* Với m = 0 thì hàm sô trở thành y = -x2 + x - 1

⇒ y' = -2x + 1 = 0 khi x = 1/2 và y''(1/2) < 0

Do đó hàm sô đạt cực đại tại x = 1/2

Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán

* Với m ≠ 0 ta có:

Ta có y' = 0 khi và chỉ khi: mx2 – 2x + 1 – 2m = 0 (*)

Hàm sô đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệtkhác 1/m

⇔ 2m2 – m + 1 > 0 (luôn đúng với mọi m)

Vậy hàm sô đã cho luôn có cực trị với mọi m

Suy ra chọn đáp án D

Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm sô.

I Phương pháp giải

1 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm sô bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d

Ta có đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

• Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm hai điểm cực trị của hàm sô:

Đồ thị hàm sô có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệtx1, x2

Ta có: y = g(x).y'(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y cho y'

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm sô là: y =r(x)

(chú ý: Do x1, x2 là điểm cực trị nên y'(x1) = 0; y'(x2) = 0)

Bài toán: Tìm điều kiện của tham sô m để đồ thị hàm sô có hai điểm cực trị thỏamãn hệ thức T

+ Tìm điều kiện để hàm sô có cực trị

+ Phân tích hệ thức để áp dụng Viet cho phương trình bậc hai.

2 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương

Cho hàm sô: y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C)

1 Tam giác ABC vuông cân tại A

2 Tam giác ABC đều

3 Tam giác ABC có góc ∠BAC = α

4 Tam giác ABC có diện tích SΔABC = S0

5 Tam giác ABC có diện tích max (S0)

6 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rΔABC = r0

7 Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0

8 Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0

9 Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox

10 Tam giác ABC có 3 góc nhọn

11 Tam giá ABC có trọng tâm O

12 Tam giác ABC có trực tâm O

13 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RΔABC = R0

14 Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi

15 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp

16 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp

17 Tam giác ABC có cạnh BC = k.AB = k.AC

18 Trục hoành chia ΔABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

19 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành

20

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

II Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham sô m để hàm sô y = m/3.x3 + 2x2 +

mx + 1 có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ < xCT

Ví dụ 2: Tìm tất các giá trị thực của tham sô m để hàm sô:

y = 1/3.x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + m3 - m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn -1 <x1 < x2

Hiển thị đáp án

Đạo hàm y' = x2 + 2(m + 3)x + 4(m + 3)

Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham sô m để đồ thị hàm sô: y = x4 – 2m2x2 + 1 có bađiểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

A m = - 1 B m ≠ 0

C m = 1 D m = 1 hoặc m = -1

Hiển thị đáp án

Đạo hàm y' = 4x3 – 4m2x

Ta có: y' = 0 khi 4x(x2 – m2) = 0

* Hàm sô có 3 điểm cực trị ⇔ m ≠ 0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm sô là: A(0; 1), B(m; 1 - m4), C(-m; 1 - m4)

* Do tính chất đôi xứng, ta có tam giác ABC cân tại đỉnh A

Vậy tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh

Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham sô m để đồ thị hàm sô: y = x4 – 2mx2 + 2m +

m4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều

* Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm sô là:

A(0; m4 + 2m), B(-√m; m4 - m2 + 2m), C(√m; m4 - m2 + 2m)

Do tính chất đôi xứng, ta có tam giac ABC cân tại đỉnh A

* Vậy tam giác ABC đều chỉ cần AB = BC

Kết hợp điều kiện ta có: m = 3√3 ( thỏa mãn)

* Lưu ý: có thể sử dụng công thức:

Suy ra chọn đáp án C

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm sô

A Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1.Định nghĩa: Cho hàm sô y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a

là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b)

Nếu tồn tại sô h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì tanói hàm sô f(x) đạt cực đại tại x0

Nếu tồn tại sô h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì tanói hàm sô f(x) đạt cực tiểu tại x0

2.Điều kiện đủ để hàm sô có cực trị: Giả sử hàm sô y=f(x) liên tục trên

K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểmcực đại của hàm sô f(x)

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểmcực tiểu của hàm sô f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sôy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của hàm sô; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm sô, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm sô.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm

sô

3.Quy tắc tìm cực trị của hàm sô

Quy tắc 1:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm sô.

Bước 2 Tínhf'(x) Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định Bước 3 Lập bảng biến thiên.

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm sô.

Bước 2 Tính f'(x) Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3, )là các nghiệm

của nó

Bước 3 Tính f''(x) và f''(xi )

Bước 4 Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Vậy hàm sô đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm sô đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2

Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm sô y = x4 - 2x2 + 2

Hướng dẫn

Tập xác định D = R

Tính y' = 4x3 - 4x Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm sô đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm sô đạt cực đại tại x = 0, y = 2

Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm sô y =

Hướng dẫn

Tập xác định D = R\{2} Tính

Bảng biến thiên

Vậy hàm sô đã cho không có cực trị.

Vậy hàm sô đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm sô đạt cực đại tại x = 2,y = 0

Bài 2. Tìm cực trị của hàm sô y = -x3 + 3x3 - 3x + 2

Vậy hàm sô đã cho không có cực trị.

Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm sô y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1 Tìmtọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8), B(2;-19)

Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0

Bài 4. Cho hàm sô y = x3 - 3x2 có đồ thị (C) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của

đồ thị (C)và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó

Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8),B(2;-19) Khi đó AB =

Bài 5. Tìm cực trị của hàm sô y = x4/4 - x2 + 2

Vậy hàm sô đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 3/2 và hàm sô đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Bài 6. Tìm cực trị của hàm sô y = -x4 + 4x2 - 5

Vậy hàm sô đạt cực tiểu tại x = 0, y = -5 và hàm sô đạt cực đại tại x = ±√2, y = -1.

Bài 7. Tìm cực trị của hàm sô y =

Bài 8. Tìm cực trị của hàm sô y = x - 5 + 1/x

Vậy hàm sô đạt cực đại tại x = -1, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = -3

Trắc nghiệm Tìm cực trị của hàm sô

Câu 1: Cho hàm sô y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm sô y = f(x) có mấy điểm cực trị?

A 2 B 1 C 0 D 3

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Câu 2: Cho hàm sô y = x3 - 3x2 + 2 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm sô đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0

B Hàm sô đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0

C Hàm sô đạt cực đại tại x = -2và cực tiểu tại x = 0

D Hàm sô đạt cực đại tại x = 0và cực tiểu tại x = -2

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

y' = 3x2 - 6x = 0 ⇔

Lập bảng biến thiên ta được hàm sô đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0

Câu 3: Cho hàm sô y = x4 - 2x2 + 3 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm sô có ba điểm cực trị B Hàm sô chỉ có đúng 2 điểm cực trị

C Hàm sô không có cực trị D Hàm sô chỉ có đúng một điểm cực trị

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

y' = 4x3 - 4x = 0 ⇔

y(0) = 3; y(1) = y(-1) = 2 nên hàm sô có hai cực trị

Câu 4: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm

sô Khi đó giá trị của biểu thức M2 - 2n bằng:

A 8 B 7 C 9 D 6

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Hàm sô đạt cực đại tại x = -3 và yCD = -3

Hàm sô đạt cực tiểu tại x = -1 và yCT = 1

⇒ M2 - 2n = 7

Phương pháp trắc nghiệm:

Bấm máy tính:

Bước 2: Giải phương trình bậc hai :

Bước 3: Nhập vào máy tính

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm sô đạt cực đại tại x = -12

Câu 6: Cho hàm sô y = 3x4 - 6x2 + 1 Kết luận nào sau đây là đúng?

A yCD = -2 B yCD = 1 C yCD = -1 D yCD = 2

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

y' = 12x3 - 12x = 0 ⇔

Hàm sô đạt cực đại tại x = 0 và yCD = 1

Câu 7: Trong các hàm sô sau, hàm sô nào đạt cực đại tại x = 3/2 ?

"+" sang "-" khi x chạy qua 3/2 nên hàm sô đạt cực đại tại x = 3/2

Dùng casio kiểm tra: thì hàm sô đạt cực đại tại 3/2

Câu 8: Trong các hàm sô sau, hàm sô nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?

A Hàm sô có hai điểm cực trị B Hàm sô đạt cực tiểu tại x = 0

C Hàm sô đạt cực đại x = 2 D Hàm sô không có cực trị

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

TXĐ: D = (-∞;0]∪[2;+∞)

⇔ x = 1(l) y' không đổi dấu trên các khoảng xác định nên hàm sô không có cực trị

Câu 10: Cho hàm sô y = x7 - x5 Khẳng định nào sau đây là đúng

A Hàm sô có đúng 1 điểm cực trị B Hàm sô có đúng 3 điểm cực trị

C Hàm sô có đúng hai điểm cực trị D Hàm sô có đúng 4 điểm cực trị

f'(x) đổi dấu khi x chạy qua -1 và 3 nên hàm sô có 2 điểm cực trị

Câu 12: Cho hàm sô y = -x3 + 3x2 + 6x Hàm sô đạt cực trị tại hai điểm x_1,x_2 Khi đó giá trị của

biểu thức S=x12 + x22 bằng:

A -10 B.-8 C.10 D 8

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Dạng 2: Tìm tham sô m để hàm sô đạt cực trị tại một điểm

A Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm sô có đạo hàm tại x0.

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước

Bước 1 Điều kiện cần để hàm sô đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta

tìm được giá trị của tham sô

Bước 2 Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá

trị của tham sô vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hàm sô y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1)x + 2, m là tham sô thực Tìm tất cảcác giá trị của m để hàm sô đã cho đạt cực tiểu tại x = 2

Hàm sô đã cho đạt cực đại tại x = 2

Kết luận : Giá trị m cần tìm là m = 0 ,m = 2

Ví dụ 3 Tìm m để hàm sô y = x4 - 2(m + 1)x2 - 2m - 1 đạt cực đại tại x = 1

Hướng dẫn

Tập xác định D = R

Ta có y' = 4x3 -4(m + 1)x.

+ Để hàm sô đạt cực đại tại x = 1 cần y'(1) = 0 ⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m = 0

+ Với m = 0 ⇒ y' = 4x3 - 4x ⇒ y'(1) = 0

+ Lại có y'' = 12x2 - 4 ⇒ y''(1) = 8 > 0

⇒Hàm sô đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của m để hàm sô đạt cực đại tại x = 1

Với m = 1 thì y''(1) = 0 ⇒ hàm sô không thể có cực trị

Với m = 2 thì y''(1) = -2 < 0 ⇒ hàm sô có cực đại tại x = 1

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm

Bài 2. Cho hàm sô y = 1/3 x3 + (m2 - m + 2) x2 + (3m2 + 1)x + m - 5 Tìm m đểhàm sô đạt cực tiểu tại x = -2

Hiển thị đáp án

♦ Tập xác định: D = R

♦ Đạo hàm: y' = x2 + 2(m2 - m + 2)x + 3m2 + 1

Điều kiện cần:

Hàm sô đạt cực tiểu tại x = -2 ⇒ y'(-2) = 0

Điều kiện đủ:

Với m = 1, ta có: y' = x2 + 4x + 4, y' = 0 ⇔ x = -2

Lập BBT ta suy ra m = 1 không thỏa

Với m = 3, ta có: y' = x2 + 16x + 28, y' = 0 ⇔

Lập BBT ta thấy hàm sô đạt cực tiểu tại x = -2

♦ Vậy giá trị m cần tìm là m = 3.ρ

Bài 3. Cho hàm sô y = 1/3 x3 - (m+1) x2 + (m2 + 2m)x + 1 (m là tham sô) Tìm tất

cả tham sô thực m để hàm sô đạt cực tiểu tại x = 2

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Bài 4. Tìm tất cả tham sô thực m để hàm sô y = (m-1)x4 - (m2 - 2) x2 + 2016 đạtcực tiểu tại