Chứng minh BĐT BDHSG

Bài tập áp dụng.. Sử dụng phơng pháp làm trội... Sử dụng phơng pháp làm trội.. Sử dụng phơng pháp làm trội.. Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên.

Chuyên đề chứng minh bất thức

(Tham khảo của nhiều tác giả)

n

n n

b a a

b a a

b a a

n m

; 1

1 , 0

5 a>b≥ 0 ,c>d≥ 0 ⇒ac>bd 10

b a ab

b

a> , > 0 ⇒1<1

3.Một số hằng bất đẳng thức

1 A2 ≥ 0 với ∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

4 A B+ ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi

2 A ≥ 0 với A∀ (dấu = xảy ra khi A = 0 )

a

a

3 2 1 3

≥ + +

)(

(), ,

3 3 2

a b

a b

2 1

1

*Dạng đơn giản; ( )2 ( 12 22)( 12 22)

2 2 1

*Biến dạng: (a+c) 2 + (b+d) 2 ≤ a2 +b2 + c2 +d2

4.Một số bất đẳng thức đ ợc áp dụng:

1

2

1 1

b a

a

+

≥ +

+

2 1

2

+ +

>

a b

a

a

, ,

1 1

1 1

1 1

0

+

≤ +

⇒

+

≤ +

≤ +

a

bc ac

ab c

b a

3

4 1 1

c b a c b

1 1 4 1 ).

1 4 ( 1

2 4

b a ab

b a b a

ab ab

⇒

≥

xy y

x + − ≥ −

2 1

1 1

1

2 2

5

2 2

a

2

+ +

≥ +

6

ab b

b a

4

1

y x y

1

2 2

1

k k

k k

k k

+ +

>

+

=9

) 1 (

2 1

2 2

<

+

k k k k

k

18

=

2

1 [(x−y)2 +(x−z)2 +(y−z)2]≥0đúng với mọi x;y;z R∈ Vì (x-y)2 ≥0 với∀x ; y do đó dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 ≥0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 ≥0 với∀ z; y, dấu bằng xảy ra khi Vậy x2 + y2 + z2 ≥ xy+ yz +zx, dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz =( x –

y + z)2 ≥0 đúng với mọi x;y;z Vậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R∈ Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

c) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2 - 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2-2z +1 = (x-1)

c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n

Lêi gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu:

2 2

4

24

; DÊu b»ng x¶y ra khi a = b

b)Ta xÐt hiÖu:

2 2

2 2

9

1 a−b 2 + b−c 2 + c−a 2 ≥ VËy

2 2

2 2

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c

c)Tæng qu¸t

2 2

1 2 2

2 2

n

a a

a n

a a

4 4

4

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

02

02

02

m

q m p m

n m

m

m q

m p

m n

= + +

(A+B)3 =A3 + 3A2B+ 3AB2 +B3

Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng:

a) a +b ≥ab

4

2 2

b

a2 + 2 + 1 ≥ + + Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1

c) a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e) ⇔ 4( a2 +b2 +c2 +d2 +e2 )≥ 4a(b+c+d+e) ⇔ (a2 − 4ab+ 4b2) (+ a2 − 4ac+ 4c2) (+ a2 − 4ad+ 4d2) (+ a2 − 4ac+ 4c2)≥ 0

⇔ ( 2 ) (2 2 ) (2 2 ) (2 2 )2 0

≥

− +

− +

− +

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y ;Chứng minh x x+−y y

2 2

≥2 2

Lời giải:

y x

y x

−

+ 2

2

≥2 2 vì :x〉y nên x- y 〉 0 ⇒x2+y2≥ 2 2( x-y) ⇒ x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0

⇔ x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0 ⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

⇒(x-y- 2)2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

<

++

=

z y x z y x

z y x

111

1

Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1

x (vì1x+1y +1z< x+y+z theo gt) →2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 →x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

a a

3 2 1 3

2

1+ + + + ≥ Với a i > 0 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

( ) ( ) ( ) 2

221 1

2

2 2

2 1

2

2 2

c b a

⇒

3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

⇒

3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

+ +

+

c a c

b c b a

≥+

≥

≥

b a

c c a

b c b

2 2 2

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c

b

a

3

.

2 2 2 2

2 2

=2

3 3

1

=2 1

VËy

2

1

3 3 3

≥ +

+ +

+

c c a

b c

b

a

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=

3 1

VÝ dô 4:

Cho a, b, c, d > 0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

( ) ( ) ( ) 10

2 2 2

2

1

1 ≥ +

x

Ta cã 2 + 2 + 2 ≥ 2 ( + ) = 2 ( + 1 ) ≥ 4

ab ab cd

ab c

ac ab

d c a

d c a

2 +b +c =

a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1

1 + + <

Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab - ac - bc) 〉 0 ⇒ ac+bc-ab 〈 2

1( a2+b2+c2) ⇒ ac+bc-ab

6

5

≤ 〈 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã

c b a

1 1 1

⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd

⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh)

c a b

c a b

c a b

a d

c b

+ + +

+ + +

+ + +

<

b a d

d a d c

c d c b

b c b a a

Gi¶i :

Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã

d c b a

d a c b a

a c

b

a

a

+ + +

+

<

+ +

b a

a

+ + +

>

+ + (2)

d a

+++

+

(3) T¬ng tù ta cã

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

b

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

c b a d c

c d

c b a

c

+ + +

+

<

+ +

<

+ +

d c b a

c d b a d

d d

+

<

+ +

+ + +

+ + +

d a d c

c d c b

b c

b

a

a

®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 2 : Cho:b a <d c vµ b,d > 0 Chøng minh r»ng b a <b ab d cd < d c

+

+

2 2

ab <

d

c d

cd d b

cd ab b

2 ®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cñaa c +d bgi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : c a ≤d b Tõ :

c

a d

b

≤

d

b d c

b a c

d c

a

+ =999+

999

1khi a=d=1; c=b=999

2 2

1

+ +

=

n n

n

a

a a

a a

a a a

VÝ dô 1 :

Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

4

3 1

2

1 1

1 2

1

<

+ + + +

+ +

<

n n n

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

1

=

= + +

>

+ + +

+

n n n

n n

+ +

>

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1 1

1 1

3

1 2

1

1 1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

Ph ơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác

L u ý : Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng

c a b

c b a

)(

)(2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

− +

− +

− +

>

⇒

− +

− +

− +

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

+

c a c

b c b

a

(1)Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

; b =

2

y x

; c =

2

z y

x y

z y

x x

z x y

⇔( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2 ;

y

x x

y

+ ≥ 2

z

x x

z

; + ≥ 2

z

y y

12

1

2 2

+

++

= + +y z a b c

(1) ⇔1+1+1≥ 9

z y

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > Theo bất đẳng thức Côsi ta có

x+y+z≥3.3 xyz ; + + ≥

z y x

1 1 1

3 .3 1

xyz ; ⇒ (x+y+z) 1x+1y+1z≥ 9 Mà x+y+z < 1

Vậy 1+1+1 ≥ 9

z y

+

c a c

b c b a

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR ( m n p) (m n p)

b a

pc a c

nb c b

+

+ +

+ +

2

2 2

− +

−

=

y

y y y

Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n0ta thực hiện các bớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi

để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi n>n0

Ví dụ1:Chứng minh rằng 112 +212 + +n12 <2−n1 ∀n∈N;n> 1 (1)

Giải :Với n =2 ta có

2

1 2 4

1

1 + < − (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1

Thật vậy khi n =k+1 thì

(1) ⇔

1

1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2

2 + + +k + k+ < −k+ Theo giả thiết quy nạp

1 2 1

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

2 + + +k + k+ < −k+ k+ < −k+

1 1

1 1

1 ) 1 (

1

1

1

2 2

+

+ +

<

+ + +

⇔ 2 1 ( 2 ) ( 1 )2

) 1 (

1

1 < ⇔ + < + +

+

k k

k b a

⇔

2

2

b a b

k b a

(2) ⇔Vế trái (2) ≤

2 4

2

2

1 1 1

= +

k b a b a ab a b b a b

0 4

2

1 1

1

1

≥ + + +

(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b ⇔ k k k k

b a b

a < ⇔ < ⇔ (a k −b k).(a−b)≥ 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K”

phép toán mệnh đề cho ta :

Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó

Ta thờng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :

A - Dùng mệnh đề phản đảo : K− ⇒ G−

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

Ví dụ 1:

Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải :

Giả sử a ≤ 0 thì từ abc > 0 ⇒ a≠ 0 do đó a < 0, Mà abc > 0 và a < 0 ⇒ cb < 0

Từ ab+bc+ca > 0 ⇒ a(b+c) > -bc > 0, Vì a < 0 mà a(b +c) > 0 ⇒ b + c < 0

a < 0 và b +c < 0 ⇒ a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0, Vậy a > 0 tơng tự ta có b > 0 , c > 0

Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac ≥ 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

a2 < 4b , c2 < 4d

Giải :

Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 < 4b , c2 < 4d đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc, a2 +c2 < 4 (b+d)(1) Theo giả thiết ta có 4(b+d) ≤ 2ac (2), Từ (1) và (2) ⇒ a2 +c2 < 2ac hay (a−c)2 < 0 (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 < 4b và c2 < 4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai

Ví dụ 3 Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng

Nếu x+y+z > x1+1y+1z thì có một trong ba số này lớn hơn 1

Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – (1x+1y +1z) vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z > 1x+1y+1z nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

Phần II Bài tập áp dụng.

Bài tập 1 (Sử dụng phơng pháp làm trội)

Cho a,b,c là 3 số dơng chứng minh rằng:1 < 2

+

+ +

+ +

<

a c

c c b

b b a a

HD *Ta luôn có:

a c

c c b a

c c b

b c b a

b b a

a c b a

a

+

<

+ + +

<

+ + +

<

+

1

= + +

+ +

= + +

+ + +

+ + +

c c b a

b c b a

a a c

c c

c a b a

a b

a

a

+ +

c c b a

a b c b

b

+ +

+

<

+ + +

+

<

Cộng vế với vế ta đợc: 2( )=2.

++

++

=++

++++

++++

+

<

+

++

+

c b a c b a

b c c b a

a b c b a

c a a c

c c b

b b a a

Bài tập 2 (Sử dụng phơng pháp làm trội)

Chứng minh rằng với mọi n > 1 thì 1 1

5

14

13

12

1

2 2

2 2

1

11

1

5

14

14

13

13

12

12

11

11

5

14

2

2

−++

−+

−+

−+

−

<

+++

+

+

n

n n n

n n

Bài tập 3 (Sử dụng phơng pháp làm trội)

Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên

).

1 (

1

4 3

1 3

2 2

2 + + + + + < − n>

n n

3

51

4

13

5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1

1 ).

1 (

1

4 3

1 3 2

1 2

− +

− +

− +

−

=

− + + + +

n

n n n

n n

n n n

1211

11

1

5

14

14

13

13

12

12

11

11

5

14

2

2

−++

−+

−+

−+

−

<

+++

n

1 1

1 ).

1 (

1 1

11

1

11

1

5

14

14

13

13

12

12

11

11

5

14

−+

−+

−+

−

<

+++

3 3 3

n n

4

13

12

1

1

1

2 2

2 2

b a b a

b a

19992000

19961997

2 2

2 2

) ( ) )(

(

) )(

(

b a

b a b a

b a b a b a

b a b a b

+

−

= +

−

1999 2000

1999 2000

) 1999 2000 (

1999 2000

) 1999 2000 )(

1999 2000 (

) 1999 2000 )(

1999 2000 ( 1999 2000

1999 2000

Vì hai BT có tử thức bằng nhau và ( 2000 + 1999 ) 2 > 2000 2 + 1999 2

c)Tơng tự câu a

Bài tập 5.( Sử dụng BĐT Cô Si)

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

c b a c b

+ +

+

c a c

b c b

a

HD a) a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca⇔2a2 +2b2 +2c2 ≥2ab+2bc+2ca

0 ) ( ) (

)

⇔ a b b c c a vì (a−b) 2 ≥ 0 ; (b−c) 2 ≥ 0 ; (c−a) 2 ≥ 0với mọi a,b,c

b)Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có:

abc c

b a ca

bc ab a

c c

)

⇔ a b a b vì (a−b) 2 ≥ 0 ; (a− 1 ) 2 ≥ 0 ; (b− 1 ) 2 ≥ 0với mọi a,b

d) Với a,b,c dơng áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có:

⇒

≥ + +

≥

+

+

c b a

abc c

b a c b a c b a c b a abc c

(

C B

ta có:

3 1 1 1 ) (

2

1 3 1 1 1 ) (

3 3

1 1

+ + +

+

=

− +

+ + + +

+ + + +

+ +

=

− + + + + + + + +

= +

+ +

+

+

C B A C B A b

a a c c b c b

a

b a

c b a a c

c b a c b

c b a b

a

c a

c

b c

b

a b a

c a c

b c

2

3 3 2

9 − =

≥ +

+ +

+

c a c

b c b

y xy

x y x xy

y x xy y x

y

x

+

≥ +

⇔ +

≥ +

⇔ +

≥ +

⇔

≥ +

y xy

x y xy

y x xy x

y y

2 2

1 1

1

1 x− ≤ +x− = x y− ≤ +y− = y ,nên ta có:

1 2

1 2 1 1 2

1 2

1 1

= +

= +

x y

y

y

x

;Vậy x y− 1 +y x− 1 ≤xy

c) Với x≥ 0 ,y≥ 1 ,z≥ 2, nên ta có: + − + − ≤ ( + + ) ⇔

2

1 2

y x

0 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 0

2 2 1 2

Bài tập 7.( Sử dụng BĐT Cô Si)

Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a+b+c=1.Chứng minh:

với x,y không âm

2 2

1 1 ) 1 (

1 1 , 1 2 2

1 1 ) 1 (

1 1 ) 1 (

1 3

2

1 1 1

1

3 2 1 1

1 3

2 2 2 1 1

1

≤ + + + + +

⇔ +

≤ + + + +

+

⇔

+ + +

≤ + + + + +

⇔ + + +

≤ + + +

+

+

c b

a c

b

a

c b a c b

a c

b a c b

2 3 ) (

3

) (

) ( ) (

1 1 1 (

1

1

.

≤ + + + +

+

⇒

= + +

= + + + + +

≤ + + + +

+

⇒

+ + + + + +

+

≤ + + + +

+

a c c b

b

a

c b a a

c c b b a a c c b

b

a

a c c

b b

a a

c c b

1 1 1 1 1

HD Với a,b,c≥ 0, ta có: 1 +1+1≥ 1 + 1 + 1 ⇔ 2+2+2− 2 − 2 − 2 ≥ 0

ca bc ab c b a ca bc ab c b

0 1 1 1

1 1

b b

2 2

b b

ca c b

bc b a

+

+ +

+

HD.Ta có (a−b) 2 ≥ 0 ⇔a2 − 2ab+b2 ≥ 0 ⇔ (a+b) 2 ≥ 4ab⇔ (a+b)(a+b) ≥ 4ab

b a

ca a c c b

bc c b

+

≥

+ +

≥

2 ,

2

2

2

2 2 2 2

) (

2 2

2 2 2 2

2

c b a a c

ca c b

bc b a

ab c b a a c

ca c b

bc b

a

ab

a c

ca c b

bc b a

ab c

b a a c

ca c b

bc b a

ab a c c

b

b

a

+ +

≤ +

+ +

+ +

⇔ + +

+ +

≥ + +

⇔ +

+ +

+ +

≥

+ +

+

+

+

Bài tập 10 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)

Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức:

a)

2

2 2

b a

c a

+

b)

2

2 2

a c

c c

2

2

>

+ + +

≥ +

+ +

+ +

+

d c b a a d

d d c

c c

2 4 2

4

; 4 2

2 4 2

4

2 2

2

2 2

2

a c b a c

b b b a c a c

b a

a a a c b c b

a c

⇒

=

=

+ +

⇒

=

=

+ +

2 4 2

4

2 2

c b a

c c c b a b a

c b

2 2

c b a b a

c a c

b c b

+

+ +

+ +

2 2

2 2

c b a b a

c a

b a

c a c

b c b

+

+ +

+ +b)Tơng tự câu a) ta có:

; 4 2

2 4 2

4

; 4 2

2 4 2

4

; 4 2

2 4 2

4

2 2

2

2 2

2

2 2

2

a c c a c

c c c a c a c

c a

b b b c b c b

b c

a a a b a b a

a b

⇒

=

=

+ +

⇒

=

=

+ +

⇒

=

=

+ +

2 2

c b a a c

c c b

b b a

+

+ +

+ +

2 2

2 2

c b a a c

c c

a c

c c b

b b a

+

+ +

+

c) Làm tơng tự câu a, b

Bài tập 11 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)

Cho a, b, c là các số dơng.Chứng minh các bất đẳng thức:

2

>

+

+ +

+

c c

a c

b

a a

c b a a

c b

a

c

b

+ +

≥ +

⇒ + +

.

Tơng tự ta có:

c b a

c b

a

c c b a

b c

a

b

+ +

≥ + +

+

≥ +

2

;

2 ) (

2 2

2 2

= + +

+ +

= + +

+ + +

+ + +

≥ +

+ +

+

c b a c b a

c c

b a

b c

b a

a b

a

c c

⇒ +

c a b

c b a

, trái với giả thiết a,b,c là ba số dơng.Vậy đẳng thức

+

+ +

+

c c a

b c b a

Bài tập 12 ( Sử dụng BĐT Cô-Si)

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.Chứng minh rằng:

+

c a

0

0 ) (

0

b ab bc b

a c b c

b

a

a ac ab a

c b a a

Bài tập 13 ( Bài tập dùng định nghĩa)

HD 1) Cho abc = 1 và a3 > 36 Chứng minh rằng +

12

36

3 − >0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 ) Vậy : +

− +

x

H≥0 ta có điều phải chứng minh

b) Vế trái có thể viết H = (a− 2b+ 1) (2 + b− 1)2 + 1⇒ H > 0 ta có điều phải chứng minh

c) vế trái có thể viết H = (a−b+ 1) (2 + b− 1)2 ⇒ H ≥ 0 ta có điều phải chứng minh

Bài tập 14 ( Bài tập dùng biến đổi tơng đơng)

HD 1) Cho x > y và xy =1 Chứng minh rằng ( )

( )2 8

2 2 2

≥

−

+

y x

y x

2) Cho xy ≥ 1 Chứng minh rằng:

xy y

2 1

1 1

1

2 2

Giải : Ta có

xy y

2 1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

2

≥++

−+

++

−

xy y

y xy xy

x

x xy

⇔ ( ) ( ) (1 ).(1 ) 0

)(1

.1

)(

2

++

−+

++

−

xy y

y x y xy

x

x y x

12 2

2

≥++

+

−

−

xy y

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 15 ( Bài tập dùng bất đẳng thức phụ )

c b a c b

Giải : (1) ⇔ 1 + + + + 1 + + + + 1 ≥ 9

a

c a

c c

b a

b c

a b

b

c c

b a

c c

a a

b b a

áp dụng BĐT phụ + ≥ 2

x

y y

c b a c b

a

c b c

b

2 3

3

2 3

Giải :Ta thấy 31 11 < 11 ( )5 11 55 56

32 = 2 =2 <2 , Mặt khác 56 4.14 ( )4 14 14 14

2 =2 = 2 =16 <17 Vậy 3111 < 1714 (đpcm)

Bài tập 17 ( Bài tập dùng tính chất tỉ số)