Những điều cần lưu ý về dãy số và phương pháp chứng minh quy nạp

NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý VỀ DÃY SỐ VÀPHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP  Giới thiệu Trong chương trình THPT, chúng ta đã quen với 3 phân môn của Toán là: Đại Số, Hình Học, Số học..  Nhữ

NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý VỀ DÃY SỐ VÀ

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP



Giới thiệu

Trong chương trình THPT, chúng ta đã quen với 3 phân môn của Toán là: Đại Số, Hình Học, Số học Nhưng bên cạnh đó ta còn bắt gặp một phân môn mới có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như đời sống Đó là Giải Tích Đây là một nội dung phức tạp và đòi hỏi vận dụng nhiều, linh hoạt các kiến thức đã học được Mở đầu cho Giải Tích, ta đã được biết Dãy số và những vấn đề cơ sở liên quan Nội dung của nhóm sẽ không lặp lại những kiến thức đã biết này mà đi sâu vào phân tích một số vấn đề đáng chú ý; sau đó gợi mở một vài nội dung giúp các bạn nghiên cứu thêm Cụ thể là:

 Các vấn đề cần lưu ý:

(1) Cơ sở của phương pháp quy nạp.

(2) Phương pháp quy nạp hình học.

(3) Những hạn chế cơ bản trong việc đưa quy nạp vào chứng minh bất đẳng thức thông thường.

(4) Tìm công thức của dãy số cơ bản.

(5) Biểu diễn hình học của cấp số nhân, cấp số cộng.

(6) Chuỗi số.

 Những vấn đề gợi mở:

(1) Điều đặc biệt trong cách tính tổng các số hạng của một cấp số nhân.

(2) Tồn tại hay không một cấp số vừa nhân vừa cộng?

(3) Điều gì sẽ xảy ra nếu u1 = 0, Sn = 0?

(4) Xoay quanh việc tính tích các số hạng của cấp số nhân, cấp số cộng.

Nội dung:

A Những vấn đề cần lưu ý:

I - Cơ sở của phương pháp quy nạp:

1) Quy nạp và suy diễn thông thường:

Toán học phân biệt với nhiều môn khoa học khác là xây dựng đượïc lý thuyết suy diễn Đấy là phương pháp đi từ cái chung đến cái riêng

VD: Nếu nói mọi số chẵn đều chia hết cho 2 thì 4 cũng chia hết cho 2 vì 4 là số chẵn

Trong cuộc sống hằng ngày, ta thường nhận xét từ các quan sát, thực nghiệm thông thường để rút ra kết luận tổng quát, đúng cho mọi trường hợp Ta gọi đó là quy nạp Phương pháp này giúp ta có thể đề xuất hay bác bỏ những giả thuyết, đồng thời điều này còn cho ta một cách chứng minh cho những bài toán phức tạp

2) Các loại quy nạp:

Quy nạp hoàn toàn: Xét tất cả các trường hợp xảy ra; sau đó suy ra kết luận là đúng

Quy nạp không hoàn toàn: Chỉ xét đơn cử một vài trường hợp và đưa ra dự đoán

=> Những phương pháp này đều giúp ta tìm được những chân lý mới

3) Cơ sở quy nạp:

Cơ sở của quy nạp là tiên đề thứ 5 (còn gọi là tiên đề quy nạp) của hệ tiên đề Peano xây dựng từ thế kỷ XIX

Nội dung cụ thể đó như sau: “Nếu một tập hợp M các số tự nhiên có tính chất: M chứa 0 và nếu

M chứa a thì M cũng chứa a* (hiểu là a+1) thì M chính là ”

4) Quy nạp – phương pháp chứng minh tuyệt vời trong Toán Học:

Bên cạnh những phương pháp quen thuộc như: phương pháp phản chứng, phương pháp cực biên – nguyên lý khởi đầu cực trị, , phương pháp quy nạp đã là một công cụ mạnh, sắc bén trong giải toán, nhất là những bài toán rối rắm vô cùng

Cách đây gần 4 thế kỷ, bằng những cây thước, cái bàn, Pascal đã xây dựng nên lý thuyết quy nạp Từ đó trở đi, quy nạp đã trở thành một phương tiện giúp cho những người học toán trong công cuộc đi tìm những lời giải mà biến chứng minhphụ thuộc vào n  một cách hay và đẹp

Chúng ta nhiều khi tưởng rằng quy nạp thực chất cũng chỉ là đi theo một mô hình quen thuộc cho nên bỏ qua vài bước trong đó Chúng ta nên cẩn thận mà hiểu rằng đó là làm trái với tiên đề và như vậy tất nhiên sẽ không có cơ sở gì nói lên rằng chứng minh của ta là đúng Do đó, ta cần trình bày đầy đủ các bước cho một chứng minh quy nạp, điều này rất cần thiết

5) Các hình thức quy nạp: Có bốn hình thức:

 Loại 1:

- Chứng minh P(1) đúng

- Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng; k  1

 Loại 2:

- Chứng minh P(no) đúng

- Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng; k  no

 Loại 3:

- Chứng minh P(1) đúng

- Chứng minh nếu P(1), P(2), P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng

 Loại 4:

- Chứng minh P(no), P(no+1) đúng

- Chứng minh nếu P(k), P(k+1) đúng thì P(k+2) cũng đúng; k  no

- Với P(n) là mệnh đề cần chứng minh trong bài toán

- Ta thấy loại 1 là hình thức SGK đã sử dụng.

II - Quy nạp trong H ình H ọc:

1) Cơ sở lý thuyết:

Nội dung cũng giống như chứng minh quy nạp trong Đại Số

“Ta chứng minh A(no) đúng

Chứng minh nếu A(k) đúng thì A(k+1) đúng, k  no

=> đpcm.”

Ví dụ minh họa:

Cho n hình vuông bất kỳ Chứng minh có thể cắt n hình này thành nhiều mảnh để ghép lại được một hình vuông

Giải:

 Với n = 1, bài toán hiển nhiên

 Với n = 2, xét 2 hình vuông ABCD, A’B’C’D’ có cạnh là a, b (a  b) Trên cạnh của ABCD lấy

M,N,P,Q sao choAM = BN = CP = DQ =

a b 2

 Cắt hình vuông ABCD theo 2 đoạn

MP, NQ được 4 mảnh Đặt 4 mảnh cắt được lên A’B’C’D’ Ta dễ thấy có thể ghép thành 1 hình vuông mới có cạnh là a +b2 2

 Giả sử với n = k  2, bài toán đúng Ta chứng minh bài toán cũng đúng khi n = k+1

Thật vậy, trong k+1 hình vuông chọn ra k hình vuông và cắt thành 1 hình vuông mới

Ta còn lại 2 hình vuông Theo chứng minh n=2, ta thấy có thể cắt 2 hình vuông này thành hình vuông mới

 Bài toán đúng với n = k+1

Vậy ta có đpcm

 Nếu n hình vuông trên có cạnh là a1, a2, an thì hình vuông cắt được có kích thước là

a a  a

2) Các bài toán tham khảo:

Bài 1: Nếu cho n điểm không cùng thuộc một đường thẳng thì trong số các đường thẳng nối chúng với nhau có không ít hơn n đường thẳng phân biệt

Bài 2: Giả sử rn và Rn là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của đa giác đều 2n cạnh có chu

vi là 1 Cm:

rn+1 =1

2(Rn+rn)

Rn+1 = R rn n1

III - Những hạn chế cơ bản trong việc đưa quy nạp vào chứng minh bất đẳng thức

Ta thấy ở nhiều bất đẳng thức nếu ta thay vào kết luận nhiều giá trị của biến khác nhau thì bài toán vẫn đúng nhưng không biết tại sao lại chứng minh hoài không được và để tìm ra cách chứng minh đó cũng khó vô cùng

VD: Chứng minh 4 3 2

x  x x  x 1 0, x    

Ta thấy nếu x = 0 thì VT = 1

x = 1 thì VT = 1  > 0





B'

D'

A'

C'

B

C D

A

P

N

Q

M

b a

x = -1 thì VT = 5 Rõ ràng bài toán đúng nhưng làm sao giải đây?

Ta xét một trường hợp đơn giản hơn:

Chứng minh f (x) x 2 x 1 0, x    

Ta thấy nếu x < 0 thì – x > 0, khi đó kết luận bài toán là đúng khi x > 0

Ta thử dùng quy nạp:

 Với x = 0, VT = 1 > 0, đúng

 Giả sử x = k  0, bài toán cũng đúng

Ta chứng minhvới x = k+1, bài toán cũng đúng

Thật vậy: f (k 1) (k 1)   2 (k 1) 1 

2

f (k) 2k f (k)

 f(k+1)  0, đúng

Ta có đpcm

Rõ ràng cách chứng minh rất nhẹ nhàng tự nhiên nhưng nó vấp phải một thiếu sót rất cơ bản :

ta chỉ mới giải quyết được bài toán với x nguyên mà thôi, điều này cũng coi như vô ích

Do đó, muốn dùng ý tưởng quy nạp ta nên nhận thấy nguyên nhân cơ bản sau : ở bước quy nạp

ta chứng minh k thì k+1 đúng nên chỉ cho n nhận được giá trị nguyên thôi Muốn n nhận hết giá trị thực ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k   khi n = k đã đúng và  là một giá trị vô cùng bé nào đó để không có số thực nào xen giữa k và k +  hoặc k và k –  Rõ ràng  không tồn tại và quy nạp của ta vô giá trị khi biến n thuộc 

Trên thực tế, để chứng minh các bài toán đã nêu chỉ cần vận dụng các biến đổi đại số hoặc các bất đẳng thức quen thuộc mà thôi Quy nạp vẫn giúp ta giải quyết một số bài toán bất đẳng thức nhưng chỉ trong một số trường hợp mà thôi

IV - Công thức tổng quát của dãy số :

Qua SGK ta đã biết được rằng công thức tổng quát của một cấp số cộng là un = u1 + (n – 1)d, của một cấp số nhân là un = u1.qn-1

Công thức tổng quát giúp ta tính được mọi giá trị của dãy nếu biết trước u1, n và d hoặc q Vậy với dãy (un): 1

n 1, 2,









 (m,a, b,a 0) thì sao?

Thực ra cách này cũng đã được SGK đề cập đến Ta trình bày như sau:

- Nếu a = 1 hoặc b = 0 thì ta có cấp số cộng hoặc cấp số nhân

- Ta chỉ xét a  1, b  0

Trước tiên ta đưa dãy (un) về một cấp số nhân hoặc cấp số cộng để vận dụng công thức tổng quát đã biết

Xét (vn) có vn = un + ,   n =1, 2,

Từ un = aun-1 + b

 vn –  =a(vn-1 – ) + b

 vn = avn-1+b – (a – 1)

Chọn  = b

a 1 , được vn= avn-1

Dãy (vn): 1

b

a 1

v av 









 Đây là một cấp số nhân Công thức tổng quát là: n 1

n

b

a 1





n



 Ta còn có thể tìm thêm được công thức tổng quát của một số dãy số khác.VD:

2

u  u  a

u au  bn c

u au  bu 

Ý tưởng chung là đưa về một dãy số dạng cấp số nhân, cấp số cộng rồi liệt kê các giá trị

Đôi khi ta còn dùng thêm phương pháp liệt kê rồi cộng lại (phương pháp sai phân), phương pháp quy nạp (đoán) Thậm chí ta còn có thể tìm được số hạng tổng quát của một số dãy un = f(un-1)

ở một số trường hợp thuận lợi

Công thức tổng quát giúp ích rất nhiều trong Giải Tích, chẳng hạn như chứng minh tính chất nào đó, tìm limun, xác định n thỏa tính chất cho trước,

V - Biểu diễn hình học của cấp số nhân – cấp số cộng :

Trong SGK, SBT ta đã thấy nhiều bài đưa ra cách biểu diễn hình học của mợt cấp số nhân, cấp số cộng

1) Bài toán 1 :

Trong mặt phẳng tọa đợ Oxy, cho (C) là đờ thị hàm sớ y = ax + b

Với mỡi sớ nguyên dương n, gọi An là giao điểm của (C) và đường thẳng x = n

Xét dãy (un) với un là tung đợ của điểm An Chứng minh(un) là mợt cấp số cộng

Bài toán khơng khó, ta có thể dễ dàng chứng minh được

Ta chú ý đến kết quả của bài toán :

un = an + b

 (un) là mợt cấp số cộng có cơng sai là a

2) Bài toán 2 :

Trong mặt phẳng tọa đợ Oxy, cho (C) là đờ thị hàm sớ

y = ax + b

Trên (C) lấy A1 có hoành đợ m Qua A1 kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt   là phân giác của góc phần tư thứ nhất tại B1 ; tiếp tục gọi A2 là giao điểm của (C) với đường thẳng đi qua B1và song song với trục tung Với A2 ta thực hiện tương tự được A3 Cứ tiếp tục làm như vậy, ta được dãy

A1, A2, An Với mỡi sớ nguyên dương n, gọi un là hoành đợ của An Hãy xác lập dãy sớ un đã cho

C

D A

B

M

m

 Ta có :

 n 1

u :









3) Bài toán 3 :

Cho hình vuơng ABCD cạnh là 1 trên AB lấy M sao cho AM = m, m (0 ;1)

Qua M kẻ đường thẳng song song NC cắt AM ở M1 tiếp tụ thực hiện quá trình này ta có M2, M3,

Mn

Chứng minh đợ dài các đoạn M1A1, M2A2, MnAn lập thành mợt cấp số nhân

 Cấp số nhân cần tìm là    

 

1 n

u :





 



 Tởng của tất cả các sớ hạng của dãy chính là BM

 Ở đây ta xét những bài toán này nhằm mục đích thấy rõ quá trình thay đởi của dãy sớ Đờng thời chúng còn cho ta mợt sớ phương pháp giải đặc biệt cho những dãy sớ phức tạp

VI - Chuỗi số

Ta nói thêmvề dãy số Người ta còn có các kí hiệu:

un n 1

Dãy số thực chất là một loại hàm số:

n

, n u

1) Chuỗi số là gì?

Chuỗi số được xây dựng từ một dãy số Mỗi chuỗi số là một tổng các số hạng của dãy đã cho

Sn =

n i

i 1

u





Khi n lớn vô cùng, Sn tiến dần tới một điểm trên trục số thì chuỗi hội tụ, ngược lại ta có chuỗi phân kì

2) Chuỗi hàm:

Nếu trong một chuỗi các số hạng đều là những hàm số của x, ta có một chuỗi hàm

Nếu un(x) có dạng C(n)xn (C(n) là hệ số phụ thuộc vào n) ta có một chuỗi lũy thừa

Nếu x R mà chuỗi lũy thừa hội tụ

x R mà chuỗi lũy thừa phân kì

thì R là bán kính hội tụ của chuỗi

3) Ứng dụng:

Chuỗi số, chuỗi hàm còn giúp ta xây dựng những hàm số siêu việt, số siêu việt như ,e,

Ta có:

2n n

n 1

x ( 1) 2n!





sin x

2n 1 n

n 1

x ( 1) (2n 1)!











n

1

1

n





 



 k

k 1

4 1

2k 1







 



B Các vấn đề gợi mở

I - Điều đặc biệt trong cách tính tổng các số hạng của một cấp số nhân:

Ta biết một cấp số nhân có số hạng đầu tiên là u1, công bội là q thì tổng n số hạng đầu tiên là

n

1 q

1 q





 mà 1 qn

1 q



 bằng gì?

Ta có

n

1 q

1 q



Nếu n lẻ biểu thức (*) phân tích được thành nhân tử

1

i 0

u  q





 n

1

S

n 1

i

i 0

q







Đến đây ta thử suy nghĩ bài toán sau: “Cho một dãy số bất kì hữu hạn Có tồn tại hay không một số thựa k sao cho khi nhân k vào hoặc cộng k vào từng số hạng của dãy đó để được môt cấp số cộng hoặc một cấp số nhân?”

II - Tồn tại hay không cấp số vừa nhân vừa cộng?

Trong SGK nhiều lần đề cập đến điều này nhưng chỉ đơn thuần là chứng minh dãy số đó có tất cả các số hạng bằng nhau mà thôi, tức là một cấp số cộng có d = 0 hoặc một cấp số nhân có q = 1

Ta thử xét đến một cấp số cộng có d  0 (un) và một cấp số nhân có q  1 (vn) sao cho un = vn,



Ta có: u1 = v1 = a, a  0 (điều kiện cần)

u2 = v2  a+d = aq  a d

q 1





u3 = v3  a+2d = aq2 

Đến đây ta lại thấy một điều kiện cần nữa :

d

q 1 2

2d



 Với d  0, q  1 ta không thể nào có đẳng thức này

Ta chỉ có cấp số cộng – nhân khi n = 2 và u1  0 mà thôi Kết quả này quá hạn chế

Ta đã thấy tron SGK đã đề cập đến một bài toán như vậy nhưng thứ tự của dãy đã có khác đi và ràng buộc Dãy như thế tồn tại vô số với q = – 2

Nhưng ta thử tìm hiểu bài toán tổng quát sau: "tồn tại hay không một cấp số cộng sao cho các số hạng của nó theo thứ tự tùy ý lập thành một cấp số nhân ?" (Ở đây hiểu cấp số cộng có d  0, cấp số nhân có q  1)

III - Điều gì sẽ xảy ra nếu u 1 = 0, S n = 0?

Ta biết rằng trong một cấp số cộng : tổng n số hạng đầu tiên là

 Điều gì xảy ra nếu u1 = 0? Rõ ràng rằng :

  n

n n 1 d S

2





mà n n 1 

2



là tổng n – 1 số tự nhiên đầu tiên

 Sn = 1 2 3    n 1 d 

hoặc Sn = n



 Còn khi Sn = 0?

Dễ thấy u1 = – un Dãy đã cho đối xứng qua 0

IV - Xoay quanh việc tính tích các số hạng của cấp số nhân, cấp số cộng :

Trong SGK chỉ đề cập đến tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, cấp số cộng, ta thử bàn về việc tính tích Pn của chúng

Đối với cấp số nhân, ta có :

Pn = u1u2 un

=    2  n 1

u u q u q u q 

= n 1 2 n 1  

1

u q   

= n n n 12  1

u q



Thông thường trong Đại Số, các giá trị này không có ứng dụng gì nhưng với Số Học ta thấy giá trị qn n 12 



có ý nghĩa to lớn trong việc tìm số chính phương tổng quát Đồng thời, sử dụng được giải toán biện luận (Đi-rich-lê)

Còn với CẤP SỐ CỘNG, vấn đề thực sự khơng đơn giản :

Pn = u u1 1d u  12d u  1n 1 d  

Để đơn giản, ta xét n dạng 2t, t Dùng hằng đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b) ta có thể rút gọn được Pn

Nói chung, chúng ta nên tìm hiểu sâu những gì ta được biết rằng nó tờn tại vì đâu và như thế nào Nhiều khi thấy vơ ích nhưng cũng có lúc cần thiết vơ vùng

Kết luận :

Dãy sớ cũng như phương pháp chứng minh quy nạp là những vấn đề cơ sở của Giải Tích

Kiến thức cung cấp ở đây khơng nhiều, khơng quá khó hiểu nhưng các bài toán đề cập đến rất đa dạng, phong phú

Chúng ta cần vận dụng linh hoạt các kiến thức đã biết để vượt qua những bài toán hay bằng những lời giải đẹp