kinh nghiẹm chứng minh bdt

Các bài toán về bất đẳng thức thờng khó nhng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú, cónhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt t duy sáng tạo, kĩ năng suy luận.. Trong phạm vi nh

Phần A: đặt vấn đề

I lí do:

Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lợng, hiệu quả của việc dạy vàhọc, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày một nâng cao Muốn đáp ứng đợc

yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: Phải dạy và học thế nào để

đạt hiệu quả cao nhất

Cùng với các môn học khác, môn toán là môn học giữ vai trò rất quantrọng Thông qua môn toán học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ đó có cơ sởthuận lợi để học các môn học khác, cũng nh ứng dụng các kiến thức đã học vàothực tiễn Dạy toán tức là dạy phơng pháp suy luận Học toán là rèn luyện khảnăng t duy logic Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích Nó giúp các em nắmvững thêm kiến thức, phát triển từng bớc năng lực t duy, hình thành kĩ năng kĩxảo

Đối với học sinh bậc trung học cơ sở hiện nay thì nhiều phần trong môn đại

số là rất khó Một trong các phần đó là phần bất đẳng thức Các bài toán về bất

đẳng thức thờng khó nhng lại hay, loại toán này rất đa dạng và phong phú, cónhiều ứng dụng, đặc biệt rèn luyện tốt t duy sáng tạo, kĩ năng suy luận Để giải tốtloại toán này cần vận dụng rất nhiều kiến thức một cách linh hoạt Trong sách giáokhoa không đề cập nhiều đến dạng toán này, tuy nhiên trong các đề thi học sinhgiỏi, thi vào trung học phổ thông thì lại thờng xuyên có loại toán này Bên cạnh đónếu học tốt các bất đẳng thức sẽ giúp học sinh học tốt hơn các phần khác Qua tìmhiểu thực tế tôi thấy học sinh rất “sợ” dạng bài chứng minh bất đẳng thức Trớcthực trạng nh vậy chúng ta không khỏi băn khoăn, trăn trở phải làm thế nào đểtháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các bài toán về bất đẳng thức

Trong phạm vi nhỏ hẹp này tôi xin đợc trình bày một số ý kiến nhỏ mà quathực tế giảng dạy tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho học sinh khi giải các bàitoán về bất đẳng thức, làm cho các em say mê, hứng thú học toán hơn

II Cơ sở lí luận và thực tiễn:

Bất đẳng thức là một vấn đề lớn trong chơng trình toán phổ thông Vấn đềnày đợc đa vào một cách xuyên suốt từ lớp một trở lên Nhng ở các lớp dới bất

đẳng thức cha đợc trình bày một cách cụ thể mà thờng đợc thể hiện dới dạng “ẩn”.

Cụ thể là:

- ở lớp một, lớp hai, lớp ba thể hiện dới dạng bài tập :

Điền dấu < , > , = thích hợp vào ô trống: 4 2

- ở lớp bốn, lớp năm còn có thêm dạng:

tìm số tự nhiên x biết rằng: 34 < x < 38

- ở lớp sáu, lớp bẩy bất đẳng thức thể hiện dới dạng: so sánh luỹ thừa, sosánh phân số, so sánh hai số hữu tỷ Trong hình học 7 thì có bất đẳng thức tamgiác

- Đến lớp tám, SGK mới chính thức dành riêng một mục trình bày địnhnghĩa và một vài tính chất của bất đẳng thức, thờng chỉ ở dạng đơn giản ngắn gọn.Cũng từ đó lợng bài tập về bất đẳng thức cũng nhiều và khó hơn, chẳng hạn:chứng minh biểu thức luôn dơng hay luôn âm, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa một biểu thức Do vừa mới đợc làm quen và cha đi sâu nghiên cứu về nó,SGK cũng không nêu ra các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức nên khi giảibài tập học sinh thờng mắc sai lầm và nhiều khi không biết bắt đầu từ đâu Vì thế,học sinh rất sợ các bài tập chứng minh bất đẳng thức Do đó giáo viên và học sinhrất vất vả trong việc nghiên cứu, su tầm và tuyển chọn các bài tập của dạng toánnày

Trong những năm trớc khi dạy ôn thi, bồi dỡng HSG thì phần bất đẳng thức tôichỉ hớng dẫn các em qua các bài tập cụ thể mà không tổng hợp, phân dạng cho các

em Với cách làm nh vậy, tôi thấy khi phải làm các bài tập khác tơng tự các em rấtlúng túng khi tìm lời giải, mặc dù vẫn có một số em làm đợc

Với mong muốn khắc phục tình trạng này một trong những biện pháp tôi đã

thử nghiệm thấy hiệu quả hơn đó là: đa ra phơng pháp giải rồi áp dụng Cách

làm đó tạo cho các em hiểu và ghi nhớ có hệ thống, từ đó sẽ dễ dàng hơn khi giảibài tập về bất đẳng thức

III đối tợng, phơng pháp ngnhiệm vụ

1 Đối tợng và phơng pháp nghiên cứu

*Đối tợng nghiên cứu : học sinh THCS

*Phơng pháp nghiên cứu :

+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

+ Thực nghiệm giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, 9

+ Trao đổi trong các nhóm chuyên môn

+ Điều tra, đánh giá kết quả của học sinh sau khi thực nghiệm đề tài

2 Nhiệm vụ của đề tài

- Đa ra những kiến thức cơ bản nhất về bất đẳng thức

- Đề xuất một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

- Rèn cho học sinh kĩ năng phân tích tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳngthức

- Rèn cho học sinh biết lựa chọn phơng pháp giải hợp lí cho mỗi bài toán.Muốn vậy phải rèn khả năng phân tích, xem xét bài toán dới nhiều góc độ khácnhau, cũng nh tính đặc thù của mỗi bài toán, từ đó mà lựa chọn cách giải phù hợp

Nó giúp phát huy khả năng t duy sáng tạo, linh hoạt, tạo đợc lòng say mê, tự tin vàkhông ngại ngùng khi gặp bài toàn về bất đẳng thức

IV.nội dung đề tài

I : Các kiến thức cần nắm vững

II : Một số phơng pháp thờng dùng để chứng minh bất đẳng thức

III : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

IV :

0) 2(ab b

a a

b 4.15

0) b 0, (a b a

4 b

1 a

1 4.14

>

≥ +

Mở rộng đối với n số không âm :

n 2 1

n n 2

n

a

a a

2 2

2 1

2 2 2 1

2 n

2 2

2 1

2 n n 2

2 1

1 + + + ≤ + + + + + + Dấu “=” xảy ra ⇔ = = = với a ≠ 0 ∀ i = 1; n

a

b

a

b a

b

i n

2

2 2

1 1

II: một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức thờng dùng

Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đa ra cách chứng minh bất đẳng thức dạng A > B, các bất đẳng thức dạng khác cũng chứng minh tơng tự

1 Dùng định nghĩa.

Để chứng minh A > B ta xét hiệu A- B và chứng minh A- B > 0

*Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b) 2 ≥4ab với mọi a, b ∈R

Hớng dẫn:

Xét hiệu: (a + b)2- 4ab = a2 + 2ab + b2 - 4ab

= a2 - 2ab + b2

= (a - b)2

Vì (a – b)2 ≥0 với mọi a, b ∈R nên (a + b)2 ≥4ab với mọi a, b ∈R

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Vậy (a + b) 2 ≥4ab với mọi a, b ∈R

*Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi a, b∈R ta có :

a 4 + b 4 ≥ a 3 b + ab 3

Hớng dẫn:

Xét hiệu : a4 +b4 – a3b - ab3 = a3 (a-b) - b3( a-b)

= (a-b) (a3- b3) = (a –b)2(a2 +b2 +ab)

= (a-b)2 0 a, b R

4

3b ) 2

b (a

(2) là bất đẳng thức đã có (đề bài cho hoặc là hằng bất đẳng thức)

1 1

Hớng dẫn:

9 b

1 b a

Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi là tơng đơng

Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.

*Ví dụ 4: Cho các số a, b > 0 chứng minh rằng:

4 ab

b a

ab 2

ab

≤ +

+

≤ +

⇔

0 b 2ab a

2b 2a b 2ab a

b a 2 b

a (1)

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

Ta thấy (2) đúng nên (1) đúng

Chứng tỏ a > 0; b > 0 thì a + b ≤ 2(a 2 + b 2)

Dấu “=” xảy ra ⇔a = b

3 Dùng các tính chất của bất đẳng thức

- Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi dữ kiện đề bài cho thành điều phải chứng minh

- Sử dụng tính chất bắc cầu

Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > … > M > B

Từ đó suy ra A > B

Chú ý: Một số bớc trung gian có thể xảy ra dấu “=” hoặc ≥

*Ví dụ 6: Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2

a2 – 2ab +b2 ≥ 0 với mọi a, b (1)

a2 – 2ac +c2 ≥ 0 với mọi a, c (1)

b2 – 2bc +c2 ≥ 0 với mọi b, c (3)

Do a + b + c = 1 (a b c)2 1

= + +

1 b)

Hớng dẫn:

Vì a > 0 , b > 0 nên 0

b

1

; 0 a

1 2 b

1 a 1

) 1 ( ab 2 b a

≥ +

≥ +

(Theo Côsi)Vì các vế của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dơng, nhân từng vế ta đợc:

ab

1 2 ab 2 b

1 a

1 ) b a

1 b)

*Ví dụ 8: Cho 0 < a, b, c, d < 1.

Chứng minh rằng: (1- a).(1- b).(1- c).(1- d) >1- a- b- c- d (1)

Hớng dẫn:

Ta có (1- a)(1- b) = 1- a - b + ab

Do a > 0; b > 0 nên ab > 0 từ đó suy ra: (1 - a)(1 - b)>1- a - b (1)

Do c <1 nên 1- c > 0 nhân cả hai vế của (1) với 1- c ta đợc :

) 2 )(

c b a ( abc c

b c a b a

) bc )(

ac ( ) bc )(

ab ( ) ac )(

ab ( c b c a b a

) 1 ( c b c a b a c b a

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 4 4 4

+ +

≥ +

+

⇒

+ +

≥ +

+

+ +

≥ + +

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

*Ví dụ 10: Chứng minh bất đẳng thức:

n n

1

2 n

1 1 n

1

2 2

n

1

n

1 n

1 n n

1

2 n

1 1 n

1

) n

; 1 k ( n

1 n

1 k n

1

2 2

2

2 2

+ + +

<

+ + + +

+ +

1

2 n

1 1 n

1

2 2

+ + + +

+ +

4 Sử dụng một số bất đẳng thứcđã biết

Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết nh bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpxki, … để chứng minh bất đẳng thức đã cho

Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức đã cho cần xét đến điều kiện.

* Ví dụ 12: Cho a, b là 2 số dơng Chứng minh (a + b) (ab + 1) ≥ 4ab.

1 ab 2 b

=

≥ +

≥ +

ab a

Vì 2 của các bất đẳng thức (1) và (2) đều dơng nên ta có

( a + b )( ab + 1 ) ≥ 2 ab 2 ab = 4ab

Vậy (a + b) (ab + 1) ≥ 4ab

Dấu "=" xảy ra khi a b 1

1 ab

* Ví dụ 13: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki chứng minh:

a - Cho x, y ∈ R thoả mãn x 2 + y 2 = 1 Chứng minh: − 2 ≤ x + y ≤ 2

b- Cho x, y ∈ R thoả mãn x + 2y = 2 Chứng minh:

5

4

y 2

≥ +

Đó là điều phải chứng minh:

b) Từ đầu bài x + 2y = 2 suy ra (x + 2y)2 = 4

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

y

x 2

2

1y

x

ra yxả

Dấura

5

4y ;5

2x22yx

mà 2

y1

) c

1 b

1 a

1 ( 2 c) - (p

1 b)

(p

-1 a)

(p

-1

+ +

≥ +

+

( 1) c

4 b) - (p a) - (p

4

b - p

1 a

-p

1

= +

≥ +

( 2) b

4 c) - (p b) - (p

4

c - p

1 b

4 4

1 1

⇒ x2 + y2 > 2 (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy giả sử trên là sai

Do đó nếu x2 + y2 ≤ 2 thì x + y ≤ 2

6 Dùng bất đẳng thức trong tam giác.

Tam giác ABC bất kỳ luôn có BC – AC < AB < BC + AC

*Ví dụ 16 :

Cho a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác Chứng minh rằng:

a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) ≤ a3 + b3 + c3 + 3abc

) 4(

c

1 b

1 a

1 c

p

-1 b - p

1 a -

p

1

)

c

1 b

1 a

1 b

p

-1 c - p

1 a - p

Vậy bất đẳng thức đã cho đã đợc chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Vậy chứng tỏ (1) đúng (Điều phải chứng minh)

7 Phơng pháp quy nạp

áp dụng với các bài tập tổng quát

Ta thử vào bất đẳng thức với giá trị nhỏ nhất theo dữ kiện của bài

Giả sử bất đẳng thức đúng với k

Chứng minh bất đẳng thức đúng với k + 1

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

*Ví dụ 18:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n > 1

13 n

1

2 n

1 1

1

2 k

1 1 k

+

+ +

Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

S2n

1

2n

11n

1

=+++

++

24

13 12

7 2 2

1 1 2

1

+

+ +

=

2

2k

1 1 2k

1

3

k

1 2

k

1 1) 2(k

1

2 1

k

1 1

1)(2k 2(k

1 1

k

1 - 2 2k

1 1

2k

1 S

-S

Xét

k 1

1

k khi 0 1) 1)(2k 2(k

1 S

S

-Hiện

k 1

+ +

= +

4 2

13 S

S

k 1

k + > >

Sau đó chứng minh bất đẳng thức theo biến mới là đúng.

Kết luận bất đẳng thức đã cho là đúng

*Ví dụ 21:

Cho a + b + c = 1 Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ 31

Hớng dẫn:

Đặt a = 13 +x, b =31 +y, c =31 +z Vì a + b + c = 1 nên x + y + z = 0.

a 2 + b 2 +c 2 = (31 +x) 2 +(13 +y) 2 +(31 +z) 2

z , y , x 3

1 z y x 3 1

z y x ) z y x ( 2 3 1

z z 2 9

1 y y 9

1 x x 9 1

2 2 2

2 2 2

2 2

2

∀

≥ + + +

=

+ + + + + +

=

+ + + + + + + +

a a

:

k a

a a

2 2 n 2

2 2

1

n 2

1

≥ + + +

= + +

chơng III một số bài toán chứng minh bất đẳng thức

Trong phần này tôi trình bày theo hớng sau:

1 Nêu các bài toán cụ thể, hớng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp, suy luận và đi đến áp dụng theo từng dạng đã đợc cụ thể ở phần II.

2 Với từng bài toán, lựa chọn các phơng pháp giải ngắn gọn, hợp với khả năng của học sinh.

3 Đi vào giải từng dạng cụ thể và đánh giá kết quả.

+ Cách 2 : Lựa chọn phơng pháp bất đẳng thức Côsi, kết hợp với tính chất của bất

đẳng thức

Hớng dẫn:

ở đây bất đẳng thức cần chứng minh là tích của hai tổng không âm vì a, b, c > 0

Do vậy chúng ta có thể kết hợp với tính chất của bất đẳng thức:

2 2k

1

1 2k

1

3

k

1

2

k

1 1) 2(k

1

2

1

k

1

1

1

k

1 S

1

k + = + + + + + + + + = + + + + + + + +

9)c

1b

1a

1(c)b(a

2)-b

cc

b(2)-a

cc

a2)-a

b(

b a

0 ac

c) - (a bc

c) - (b ab

b) -

≥ +

+

=

9c

1b

1a

1c)(

b

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng a, b, c và 3 số dơng ;1c

b

1

; a 1

Ta có:

3 3

c

1 b

1 a

1 3 c

1 b

1

a

1

abc 3 c b

a

≥ + +

≥ +

+

Nhân từng vế của (1) và (2) ta có:

Điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Nhận xét:

+ Học sinh phải biết suy đoán và tổng hợp các kiến thức cơ bản và các bất đẳng thức đặc biệt để áp dụng Dùng phơng pháp này ngắn gọn, nhng phải lý luận chặt chẽ đối với từng bài toán, tránh mắc phải sai lầm.

+ Mở rộng từ bài toán trên với 3 số a, b, c dơng ta có bài toán tổng quát sau:Cho a1, a2, a3 an là n số dơng thì ta có:

Bài số 2:

Cho a, b, c là cạnh của tam giác:

Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)

Hớng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Vì là 3 cạnh của 1 tam giác nên

(a + b) > c ⇔ (a + b) c > c2 (1)(a + c) > b ⇔ (a + c) b > b2 (2)(b + c) > a ⇔ (b + c) a > a2 (3)Cộng từ vế của (1); (2); (3) ta có:

a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) Điều phải chứng minh

Bài số 3:

9

)c

1b

1a

1c)(

b

n a

a a

"

"

Dấu n ) a

1

a

1 a

1 )(

a

a

n 2

1 n 2

Cho hàm số f(x) = (x + 3) (5 - x) với -3 ≤ x ≤ 5

Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất

* Sử dụng bất đẳng thức Côsi

Vậy áp dụng vào bài toán cụ thể trên ta có tổng hai số (x + 3) + (5 - x) = 8

là một hằng số thì tích (x + 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

x + 3 = 5 - x ⇔2x = 2

⇔ x = 1

Vậy với x = 1 thì f(x) = (x - 3)(5 - x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là:

fmax = 16

Bài số 4:

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2

Gọi S là diện tích của tam giác

Hãy chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc ≥ 2752

0 b a, với ab 2 b

- a)(1-(13

c)

- (1b)

- (1a)

-

(1) c)

b)(1-a)(1-(1

32

27

1abc-1-bcac

27

56abc2-bc)ac

⇔

27

56 2abc) c

b (a - c) b

⇔

27

56 2abc) c

b (a

⇔

(2) 27

52 2abc c

b

⇔

3b -a3

c)-b)(1-a)(1-(13

c) b(a -

⇔

c)-b)(1-a)(1-(13

13

2-

⇒

Khi có bất đẳng thức cần chứng minh có dạng tơng đơng sau:

Nhìn vào bài toán này học sinh có thể áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi

nh-ng sẽ phức tạp và sẽ khônh-ng đi đến lời giải đợc Vậy ở đây chúnh-ng ta giải nh sau: Vì a; b; c > 0 nên:

( ) (1) 4

1 a

1

1

4

1 b a ab

b a b 1

b a ab

⇔

+

≤ +

⇔

≥

+

xz)yz(xy-zyx3

4x-

2

cb

a a

1c11c

1b11b

1a1

+

++++

( ) ( )( ) ( ) 3

2

c b 4 1 c

1 b 1 1

c a 4 1 c

1 a 1 1

+

≤ +

+

≤ +

4 3

VËy nÕu n ≥ 3, n lµ sè tù nhiªn Th× n n > n + 1 n + 1

Bµi sè 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 + y2 + z 2 = x(y + z)

k)k

1

1 k)k

1(1)k

1

⇒

1 k)k

1(11

⇒

2

cb

a a

1c11c

1b11b

1a

1

+

++

++

k)k1

Hớng dẫn:

Ta chứng minh: x2 + y2 + z2≥ xy + xz (1)

Bất đẳng thức (1) ⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2xz ≥ 0

⇔ (x – y)2 + (y - z)2 + y2 + z2 ≥ 0 (2)Xảy ra dấu "=" ⇔ x = y = z = 0

Vậy x = y = z = 0 là nghiệm của phơng trình

Bài số 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dấu "=" xảy ra ⇔ (x - 2006)(2007 - x) ≥ 0

⇔ 2006 ≤ x ≤ 2007Vậy Min A = 1 ⇔ 2006 ≤ x ≤ 2007

Bài số 10: Cho x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của A = 3x + 4y

Hớng dẫn:

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki

(3x + 4y)2≤ (32 + 42)(x2 + y2) = 25 1 = 25

⇒3x + 4y≤ 5Max A = 5 ⇔ x2 + y2 = 1

Max A = 5 ⇔ (x, y) =

Bài số 11:

Chứng minh: Trong một tam giác ABC ta có h a + h b + h c ≥ 9r trong đó h a ,

h b , h c là 3 chiều cao của tam giác còn r là bán kính đờng tròn nội tiếp.

;4

y3

x=

5

4 5

3 ;5

4 5