BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ I/ CÁC BƯỚC KHẢO SÁT :
1 MXĐ
2 Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm ( Tính giá trị y tương ứng )
3 BBT : x -∞ x1 x2 +∞
y’ + 0 - 0 +
y y1 y2 +∞
-∞ CĐ CT
( Lưu ý : Trên BBT ghi đầy đủ ±∞ của x & y ; chiều biến thiên ; ghi rõ điểm cực trị )
4 Tính y’’.Cho y’’ = 0 tìm nghiệm, xét dấu y’’ tìm đ/u ( Hs bậc 3 và trùng phương) Tìm tiệm cận ( Đ/v Hs Phân thức )
5 Điểm đặc biệt : Tìm (C )∩ Oy : cho x = 0 ; (C )∩ Ox : cho y = 0 giải pt
Giải pt : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
Nếu : a + b + c + d = 0 Thì pt có 1 n o là x = 1 , chia đa thức để tìm n o còn lại
Nếu : a – b + c – d = 0 Thì pt có 1 n o là x = – 1 , chia đa thức để tìm n o còn lại
Giải pt : ax4 + bx 2 + c = 0 Đặt x2 = t > 0 ; và đưa về pt bậc 2 : at2 + bt + c = 0
6 Vẽ đồ thị : ( Nhìn BBT để vẽ đồ thị )
II/ KHẢO SÁT CÁC HS THƯỜNG GẶP :
Hs b3
y = ax 3 + bx 2 + cx + d
Hs trùng phương
y = ax 4 + bx 2 + c Hs y = ' '
2
b x a
c bx ax
+
+ + Hs y = a ax'x++b b'
* MXĐ : R
* Tính y’
y’=0⇒
→
→
CT k kep
n
hay
vn
CTri
pb
o o
2
no
* BBT : ( chú ý ctrị ; ±∞)
Ghi rõ điểm CTrị ( nếu có)
* Tính y’’
y’’=0⇒x =
a
b
3 có 1 đ/u
Lập bảng xét dấu y’’
( không xét tiệm cận )
* ĐĐB : (Lưu ý điểm tựa)
* Vẽ đồ thị :
* MXĐ : R
* Tính y’
→
→
CTri
CTri pb
1 n
1
3 n
o o
* BBT :
Ghi rõ điểm CTrị
* Tính y’’
y’’=0⇒
→
→
o
k
pb
o
o
n v
2 n
2
Đ /u
Lập bảng xét dấu y’’
( không xét tiệm cận )
* ĐĐB :
* Vẽ đồ thị :
* MXĐ :R
−
'
'
a b
* Tính y’
→
→
CTri k
CTri pb
o
o
o
n v
2 n
2
* BBT ( chú ý −a b'' )
Ghi rõ CTrị ( nếu có)
* 2T/c : Đứng : x =
'
'
a
b
−
Xiên : y = ax + b
(không có điểm uốn )
* ĐĐB :
* Vẽ đồ thị :
* MXĐ : R
−
'
'
a b
*Tính y’>0( hay y’<0 )
hs k o có cực trị
* BBT : ( chú ý −a b'' )
*2T/c :Đứng: x =
'
'
a
b
−
Ngang : y = a a'
(không có điểm uốn )
* ĐĐB :
* Vẽ đồ thị :
III/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HS :
BÀI TOÁN 1 : XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA đ/cong ( C) : y= f(x) và đ/t d : y = ax + b a) Hoành độ giao điểm của ( C ) và d là nghiệm của pt : f( x) = ax + b
b) Số giao điểm của ( C) và d là số nghiệm của pt : f( x) = ax + b
BÀI TOÁN 2 : VIẾT PTTT VỚI ĐƯỜNG CONG ( C ) PTTT có dạng : y = k( x – xo ) + yo
a) PTTT với ( C) TẠI M o ( x o ;y o ) là : y = k( x – xo ) + yo ; với k = f’(xo)
Trang 2b) PTTT với ( C) ĐI QUA M o ( x o ;y o ) : Gọi D ∋ Mo và có hệ số góc là k ptđt D là : y = k( x – xo ) + yo
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ pt :
=
+
−
=
) ('
) (
)
x f k
y x x k x
o
o y x x x f x
c) PTTT với ( C ) biết hệ số góc là k : Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt : f’(x) = k
BÀI TOÁN 3 : TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH MÀ ĐỒ THỊ ( C ) LUÔN ĐI QUA
Cho hs : y = f(x,m) có đồ thị là ( Cm) Và M o ( x o ;y o )
M o ( x o ;y o ) là điểm cố định của họ ( Cm) ⇔ pt : yo = f(x0 ,m) ẩn m nghiệm đúng với mọi m
(M o ( x o ;y o ) là điểm mà không có đồ thị nào của họ ( Cm) qua ⇔ pt : yo = f(x0 ,m) ẩn m vô n0 )
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
(xα)’ = α.xα−1 ; ( C )’ = 0
( 1x )’ = 2
1
x
− ; ( x )’ = 1
2
1
[( ax + b )n ]’ = na.(ax + b)n – 1
(uα)’ = α.uα−1.u’
( u1 )’ = 2
'
u
u
−
( )u u u
2
'
( sinx )’ = cosx
( cosx )’ = – sinx
( tgx )’ = cos 2 x
1
= 1 + tg2x ( cotgx) = sin 2 x
1
− = – (1 + cotg2x )
(sin(nx))’= ncos(nx) ; (cos(nx))’= – nsin(nx)
[sin(ax + b)]’ = a.cos(ax + b)
[cos(ax + b)]’ = – a.sin(ax + b)
( sinu )’ = cosu u’
( cosu )’ = – sinu u’
( tgu )’ = cosu2u
'
= (1 + tg2u ).u’
( cotgu) = sinu2 u
'
− = – (1 + cotg2u ).u’
( ex )’ = ex
(e ax+b)' =a.e ax+b
( ax )’ = ax.lna
(lnx)' =1x
1 '
( eu )’ = eu u’
( au )’ = au.lna u’
u
u
u
' '
CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
)' (uα = αuα− u’
' '
1
v
v
v = −
( u.v) ‘ = u’.v + v’.u
'.
'.
'
v
u v v u v